影響薩克遜碗下沉?xí)r間各因素的研究

雷玉林 楊成曉 張震 周汪 劉慧

摘? 要：為了探究利用底部有孔的碗來(lái)進(jìn)行計(jì)時(shí)這種方式的效果，文章以2020年全國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽（CUPT）“撒克遜的碗”這一題目為基礎(chǔ)，基于薩克遜碗的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和流體模型得出該碗下落軌跡方程，再利用MATLAB軟件進(jìn)行了方程的求解預(yù)測(cè)理論軌跡，使用Tracker軟件對(duì)全過(guò)程實(shí)際運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)進(jìn)行了采集并與理論趨勢(shì)對(duì)比。并且還研究了碗底部孔的直徑、碗的直徑、液體的密度、碗的質(zhì)量以及碗進(jìn)入水中的高度對(duì)碗的下沉?xí)r間的影響。最終理論和實(shí)際符合較好。

關(guān)鍵詞：計(jì)時(shí)；孔；液體；下沉?xí)r間；MATLAB

中圖分類號(hào)：TP39；O351.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）04-0139-04

Research on the Factors Affecting the Sinking Time of Saxon Bowl

LEI Yulin1， YANG Chengxiao1， ZHANG Zhen1， ZHOU Wangyue2， LIU Hui1

（1.School of Advanced Manufacturing Engineering， Hefei University， Hefei? 230601， China;

2. School of biology， food and environment， Hefei University， Hefei? 230601， China）

Abstract： In order to explore the effect of timing with a bowl with a hole at the bottom， based on the topic “Saxon Bowl” of the 2020 National University Physics Academic Competition （CUPT）， the paper obtains a formula of the bowl's falling trajectory based on the kinematics model and fluid model of the Saxon bowl. MATLAB software is used to solve the formula and predict the theoretical trajectory. The Tracker software is used to collect the actual movement trend of the whole process and compare it with the theoretical trend. The effect of the diameter of the bowl with a hole at the bottom， the diameter of the bowl， the density of the liquid， the mass of the bowl and the height of bowl into water on the sinking time of the bowl is also studied.

Keywords： timing; hole; liquid; sinking time; MATLAB

0? 引? 言

我們每天都離不開(kāi)計(jì)時(shí)，如今我們可以通過(guò)手機(jī)來(lái)隨時(shí)隨地掌握時(shí)間，合理安排我們每一天的生活與學(xué)習(xí)。在一些比賽項(xiàng)目中，也有各種計(jì)時(shí)方法來(lái)確定每個(gè)人的成績(jī)。相對(duì)于現(xiàn)在，古時(shí)人們會(huì)利用物理規(guī)律來(lái)計(jì)時(shí)的裝置不在少數(shù)，例如我們所熟知的沙漏、香、刻漏等。

碗的來(lái)源可以追溯新石器時(shí)代，聰明的撒克遜人會(huì)在一個(gè)碗的底部打開(kāi)洞孔，水流會(huì)通過(guò)該洞進(jìn)入到碗中，此時(shí)碗和碗中的水構(gòu)成了一個(gè)新的整體，直到水完全淹沒(méi)碗體，碗會(huì)沉入水中。撒克遜人通過(guò)觀察該碗完全沉入水中來(lái)記錄時(shí)間[1]。并且可以制作不同種的碗，來(lái)達(dá)到記錄不同時(shí)間的效果。這種計(jì)時(shí)方式具有操作簡(jiǎn)便、制造方便、可重復(fù)使用的優(yōu)勢(shì)，在當(dāng)?shù)仄毡槭褂谩Ｆ鋵?shí)這個(gè)現(xiàn)象在我們?nèi)粘２⒉簧僖?jiàn)，小到孩童將物體扔入水中來(lái)觀察物體沉入水底，大到船只的沉落過(guò)程。均與該裝置有一定關(guān)系。近年來(lái)，人們對(duì)該現(xiàn)象也做了一些探索。王幸等人將其視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)并考慮液體的黏滯阻力修正來(lái)探究碗下沉?xí)r的情況[2]。王澳等人使用了牛頓運(yùn)動(dòng)定律和伯努利方程，通過(guò)對(duì)撒克遜碗進(jìn)行了建模分析，得出了碗的下沉?xí)r間與各種因素之間的關(guān)系[3]。鐘書(shū)河山和李辰然等人也做了類似的研究[4，5]。目前盡管對(duì)撒克遜的碗的研究已經(jīng)取得一定的結(jié)果，但是對(duì)于其確切的下沉過(guò)程的問(wèn)題仍值得進(jìn)一步研究。

本文將基于撒克遜人所用的計(jì)時(shí)碗為模型，以2020年全國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽（CUPT）中的一道探究撒克遜碗方面的試題為依據(jù)，并考慮影響碗下沉的相關(guān)因素，通過(guò)該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和流體模型相結(jié)合來(lái)進(jìn)一步研究下沉的碗的大致軌跡以及一些重要變量對(duì)沉沒(méi)時(shí)間的關(guān)系的問(wèn)題。同時(shí)利用多款軟件進(jìn)行輔助：并且利用MATLAB軟件進(jìn)行了方程的求解預(yù)測(cè)理論軌跡，使用Tracker軟件對(duì)全過(guò)程實(shí)際運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)進(jìn)行了采集并與理論趨勢(shì)對(duì)比使用Origin進(jìn)行作圖分析變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

1? 理論模型

一個(gè)底部有洞的碗放在水中會(huì)下沉，撒克遜人用這個(gè)裝置來(lái)計(jì)時(shí)。由于原本系統(tǒng)包含變量較多，為了便于研究碗下落的時(shí)間，我們可以忽略一些影響不大的變量，將碗簡(jiǎn)化為下部中心有一個(gè)半徑不同的圓形小孔的圓柱形來(lái)展開(kāi)研究。本次實(shí)驗(yàn)所采用的實(shí)驗(yàn)器材如圖1所示，我們采用了不同規(guī)格的碗來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。忽略碗本身厚度，我們可以建立如圖2所示的物理模型。其中碗的質(zhì)量為M、碗內(nèi)的水的質(zhì)量為m、碗的直徑為d、孔的直徑為b、碗所受的重力為G、碗陷入水槽的深度為H、碗內(nèi)水的深度為h、碗和碗內(nèi)的水所受的浮力為F浮、液體的密度為ρ。

我們通過(guò)一些基本的運(yùn)動(dòng)定律，可以建立通過(guò)建立起我們的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，如圖2所示。

動(dòng)力學(xué)模型可以用牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定律來(lái)分析。根據(jù)物理學(xué)教材中的定律[6]中的浮力公式，我們把碗和已經(jīng)進(jìn)入碗中的水可以看成一個(gè)整體，易得該整體所受浮力F為：

（1）

重力加速度設(shè)為g，此時(shí)系統(tǒng)所受的重力G為：

（2）

根據(jù)牛頓第二定律F=ma，a又等于位移的二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)受力關(guān)系我們可得碗第一個(gè)動(dòng)力學(xué)關(guān)系方程：

（3）

我們借助流體學(xué)的相關(guān)知識(shí)，可以建立該系統(tǒng)的第二個(gè)流體模型，如圖3所示。

設(shè)進(jìn)水前的流速為v0，雖然孔底的水會(huì)因?yàn)橥氲纳舷虏▌?dòng)而產(chǎn)生一定的初速度，但由于水流進(jìn)入孔之后會(huì)有較大的加速度，故該速度和進(jìn)入孔之后的速度相差較大。假定水進(jìn)入孔時(shí)的速度為0，進(jìn)水后的流速為v1；我們根據(jù)流體力學(xué)教材所提供的流體力學(xué)的方程[7]，再利用連續(xù)性方程得到式（4）：

（4）

忽略碗的厚度，由于（鹽）水的粘度較低，將其簡(jiǎn)化為理想液體，我們可以通過(guò)流體學(xué)中由簡(jiǎn)化的伯努利方程[8]得到式（5）：

（5）

其中為p1小孔處的壓強(qiáng)，p0為碗底處的壓強(qiáng)，代入方程式（5）可得到我們想要的第二個(gè)方程式，即流體學(xué)關(guān)系方程：

（6）

最終我們可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和流體模型得到（3）和（6）兩個(gè)式子，其中只有h和H兩個(gè)未知數(shù)，因此我們可以聯(lián)立這兩個(gè)方程并通過(guò)MATLAB可對(duì)該方程進(jìn)行求解。為了能夠得出碗的下沉軌跡，我們預(yù)設(shè)碗的質(zhì)量M為500 g、碗的半徑為30 mm、孔的半徑為5 mm，并使用MATLAB軟件對(duì)該方程求解，可以得到如圖4所示的圖像。由圖4中我們可以看出，h和H均和時(shí)間成正相關(guān)；并且碗的加速度震蕩減小。因此根據(jù)該結(jié)論，我們可以通過(guò)研究碗陷入水槽的深度H或者碗內(nèi)水的深度h為來(lái)計(jì)時(shí)。

2? 實(shí)驗(yàn)分析

2.1? 下沉軌跡研究

我們將實(shí)際該規(guī)格的碗放入水中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。由于光線等外界因素，碗內(nèi)水和碗的邊緣界限難以界定，故碗內(nèi)水的深度h檢測(cè)起來(lái)誤差會(huì)比較大，與是我們利用Tracker軟件的來(lái)持續(xù)追蹤了該碗的下落過(guò)程中碗陷入水槽的深度H的變化，得到了圖5數(shù)據(jù)。前期碗的振蕩幅度較大，這個(gè)現(xiàn)象和前期加速度較大相吻合，然后由于加速度震蕩減小，振幅越來(lái)越少自至穩(wěn)定。由于前期釋放時(shí)難以保持碗的完全平衡，故有一定偏差。后期受的外界因素影響較小，可見(jiàn)其軌跡和預(yù)測(cè)的趨勢(shì)基本相同，我們可以得出該經(jīng)驗(yàn)公式具有一定的適用性。

2.2? 影響下沉?xí)r間相關(guān)因素的研究

我們?cè)谕瓿蓪?duì)碗下沉的軌跡的研究之后，由于各變量之間關(guān)系復(fù)雜，對(duì)碗運(yùn)動(dòng)軌跡的影響我們難以探索。所以我們接下來(lái)，我們將使用控制變量法來(lái)研究一些主要變量對(duì)碗下落的時(shí)間的影響。由于我們的模型只研究了碗沒(méi)入水面的過(guò)程，對(duì)于碗完全沒(méi)入水中直到碗底接觸到盛水容器的底部這一過(guò)程并未研究，并且實(shí)際上這一過(guò)程相對(duì)于在液面上方而言，耗時(shí)也極短，所以為了確保實(shí)驗(yàn)的合理性，我們把碗底的邊緣完成沒(méi)入水下做為碗完成下落的標(biāo)志。下文中的下沉?xí)r間也默認(rèn)指代該時(shí)間。

2.2.1? 下沉?xí)r間與孔徑的關(guān)系

孔徑是本實(shí)驗(yàn)較為重要的變量，我們?nèi)“霃綖? cm、孔徑分別為2 mm、6 mm、8 mm、14 mm的碗來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，多次實(shí)驗(yàn)求平均值所得數(shù)據(jù)如表1所示。我們利用Origin軟件繪制其圖像，如圖6所示，可以得出t∝b-2，碗下落的時(shí)間與孔徑的平方呈反相關(guān)的關(guān)系?？讖皆酱?，所用下沉?xí)r間越少。

2.2.2? 下沉?xí)r間與碗的碗徑的關(guān)系

由于我們?cè)诟淖兺氲耐霃絛時(shí)，碗的質(zhì)量M也會(huì)隨著改變。但我們公式并沒(méi)有考慮碗徑改變對(duì)質(zhì)量的影響，因此為了避免質(zhì)量M改變對(duì)該變量的干擾，因此我們?cè)谕氲闹虚g放上密度較大的配重鐵塊（忽略鐵塊所受的浮力），以此來(lái)用來(lái)確保每一個(gè)碗的質(zhì)量均為158 g。多次實(shí)驗(yàn)求平均所得數(shù)據(jù)如表2所示。我們選取孔徑為6 mm，碗徑分別為4 cm、9 cm、11 cm的數(shù)據(jù)，利用Origin軟件可以繪制出t-d圖像，如圖7所示，可以得到t∝d2，碗下落時(shí)間是與碗徑的平方呈正相關(guān)。碗徑越大，所用下沉?xí)r間越多。

2.2.3? 下沉?xí)r間與液體密度的關(guān)系

考慮到液體會(huì)含有雜質(zhì)，為了驗(yàn)證水的密度對(duì)碗下沉?xí)r間的影響，我們?cè)谒屑尤肓瞬煌康氖雏}來(lái)達(dá)到改變液體密度的目的。由于在實(shí)驗(yàn)中，密度對(duì)下落時(shí)間的影響不明顯，故我們改用了孔徑更小的碗通過(guò)增加下落時(shí)間，來(lái)擴(kuò)大這一影響。最終我們采用了9 cm碗徑，2 mm孔徑的碗來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)的記錄。利用食用鹽將調(diào)節(jié)水的密度，再利用密度計(jì)測(cè)量所得液體密度。液體被分別調(diào)為1 g/cm3、31.034 g/cm3、1.071 g/cm3、1.109 g/cm3、1.148 g/cm3多次實(shí)驗(yàn)求平均所得數(shù)值如表3所示。利用Origin軟件繪制其圖像，如圖8所示，根據(jù)圖像可以得到t∝ρ1.009 7，碗下落時(shí)間是與液體的密度呈正相關(guān)。密度越大，碗受到的浮力越大，所用下沉?xí)r間越多。

2.2.4? 下沉?xí)r間與碗的質(zhì)量的關(guān)系

我們選取質(zhì)量M為158 g、碗的半徑為9 mm、孔的半徑為2 mm的碗來(lái)做為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，為了減少實(shí)驗(yàn)誤差，因此我們同樣采用密度較大的鐵塊來(lái)改變整體質(zhì)量（忽略鐵塊所受浮力），借此來(lái)完成實(shí)驗(yàn).將整體質(zhì)量分別調(diào)整為158 g、174 g、190 g、206 g、222 g。多次實(shí)驗(yàn)求平均所得數(shù)值如表4所示。利用Origin軟件繪制其圖像，如圖9所示，根據(jù)圖像可以得到t∝M-1.06，碗下落時(shí)間是與碗的質(zhì)量呈正相關(guān)。碗的質(zhì)量越大，碗受到的重力，所用下沉?xí)r間就會(huì)越短。符合日常規(guī)律和實(shí)驗(yàn)預(yù)期。

2.2.5? 時(shí)間t與碗進(jìn)入水的高度H之間的關(guān)系

前文我們已經(jīng)粗略探索了碗內(nèi)水的高度與時(shí)間t的關(guān)系，在這里我們將進(jìn)行定量的計(jì)算兩者之間的關(guān)系。為了便于觀察，我們?cè)谕氲耐饷鏄?biāo)上不同高度。但在實(shí)際取值中，由于碗在不斷上下波動(dòng)，會(huì)在一個(gè)高度來(lái)回橫穿，故我們采用了碗上下的擺幅的中心位置在標(biāo)線時(shí)進(jìn)行計(jì)時(shí)，為了減小該擺幅的影響，我們改用了碗徑9 cm，孔徑更大的6 mm的碗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。可以得到t∝H，大致呈正相關(guān)，如表5和圖10所示。

3? 結(jié)? 論

雖然本實(shí)驗(yàn)未考慮碗的厚度、液體粘度、水流水的表面張力等可能的影響因素，但我們從下落的過(guò)程出發(fā)，利用了伯努利方程、連續(xù)性方程以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)出碗下落路徑的經(jīng)驗(yàn)公式，并通過(guò)實(shí)際實(shí)驗(yàn)對(duì)理論進(jìn)行了驗(yàn)證。本實(shí)驗(yàn)還得出了四個(gè)主要變量對(duì)碗下沉所用時(shí)間的影響。結(jié)果表明：碗底小孔的直徑越大，下沉?xí)r間越短；碗的直徑越大，下沉?xí)r間越久；液體密度越大，下沉?xí)r間越久；碗的質(zhì)量越大，下沉?xí)r間越短；碗進(jìn)入水的高度越大，下沉?xí)r間越久。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論均基本一致。

參考文獻(xiàn)：

[1] GREER A，KINCANON E. An experiment with Saxon bowls [J]. The Physics Teacher，2000，38（2）：112.

[2] 王幸，黎秋航，侯吉旋，等.探究撒克遜碗的下沉：對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的修正 [J].大學(xué)物理，2021，40（11）：80-85.

[3] 王澳，史晨曦，王建達(dá)．基于牛頓運(yùn)動(dòng)定律和伯努利方程的撒克遜碗下沉研究 [J]．科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2021，18（3）：78-80+114.

[5] 李辰然，馮翠娣，朱泉水.撒克遜碗計(jì)時(shí)分析與研究 [J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，20（3）：19-23.

[6] 王秀娥.大學(xué)物理（上冊(cè)） [M].山東：中國(guó)石油大學(xué)出版社，2011.

[7] 聞建龍.工程流體力學(xué) [M].北京：機(jī)械工程出版社，2018.

[8] 邵友元.伯努利方程的準(zhǔn)確理解及應(yīng)用 [J].東莞理工學(xué)院報(bào)，2010（1）：99-102.

作者簡(jiǎn)介：雷玉林（2000—），男，漢族，河南駐馬店人，本科在讀，研究方向：自動(dòng)化；楊成曉（2000—），女，漢族，河北張家口人，本科在讀，研究方向：電子信息；張震（2001—），男，漢族，安徽合肥人，本科在讀，研究方向：智能制造；周汪玥（2000—），女，漢族，安徽合肥人，本科在讀，研究方向：食品科學(xué)；通訊作者：劉慧（1983—），女，漢族，安徽宿州人，教師，博士，研究方向：凝聚態(tài)物理。

收稿日期：2022-10-07

基金項(xiàng)目：安徽省教育廳質(zhì)量工程項(xiàng)目（2021kcszsfkc360）；大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（202111059019，202111059071，S202011059035，S202011059059，S202011059235）