一種商空間理論下信息熵的屬性權(quán)重確定方法

閻紅燦,姚美紅,郭小雨

(1. 華北理工大學(xué) 理學(xué)院,河北 唐山 063210;2. 河北省數(shù)據(jù)科學(xué)與應(yīng)用重點實驗室,河北 唐山 063210)

引言

現(xiàn)如今,評價某件事物的好壞已經(jīng)不再通過單一的屬性進行判斷,事物的性質(zhì)多由多個屬性指標(biāo)共同決定。因此,如何準(zhǔn)確利用所給的多個屬性數(shù)據(jù),正確地對事物進行分類或排序問題不容小覷。屬性權(quán)重體現(xiàn)了屬性的重要程度,影響事物的排序結(jié)果,因而,準(zhǔn)確客觀地確定多屬性權(quán)重的方法顯得尤為重要。

自1965年查德提出模糊集合理論[1]的概念后,模糊綜合評判法便越來越廣泛地被應(yīng)用到多屬性權(quán)重確定。其中,模糊綜合評判法的權(quán)重向量確定大多采用專家經(jīng)驗法或?qū)＜医?jīng)驗法與層次分析法[2](AHP)相結(jié)合的指標(biāo)權(quán)重確定方法,這需要一定的背景知識,無法直接從所給數(shù)據(jù)得到想要的結(jié)果,因而在一些實際問題應(yīng)用中存在一定的局限性。商空間[3]是粒計算三大主要模型與計算方法其中之一。商空間理論通過等價關(guān)系劃分等價類,將等價類看成新元素,由這種新元素構(gòu)成的空間就叫做商空間。不同的等價關(guān)系,可以劃分不同的等價類,進而構(gòu)成不同的商空間。在多屬性權(quán)重的確定上,周丹晨把商空間理論與粗糙集理論結(jié)合應(yīng)用于工作績效綜合評價[4]或系統(tǒng)日志挖掘[5]。前者不具有決策屬性,通過樣本之間的相似關(guān)系,利用模糊集的截集性質(zhì),建立分層遞階的商空間族,分析刪除各屬性后的等價類與商空間族的關(guān)系,以此得到屬性的重要度。后者具有決策屬性,但由于核屬性集為空,無法用前者方式進行屬性權(quán)重的計算與賦值,文章中采用條件熵的形式得到相對約簡集,在相對約簡集的基礎(chǔ)上,進行識別規(guī)則的判斷,得到不同樣本的差異性。從后者可以看出,核屬性集為空的狀態(tài)下,無法進行多屬性的權(quán)重賦值工作,只能通過置信度和覆蓋度的差異得到不同樣本之間的對比。

研究既無決策屬性又無核屬性時屬性權(quán)重的計算問題。利用商空間理論下的分層遞階結(jié)構(gòu)和信息熵的物理意義,在商空間基礎(chǔ)上利用信息熵賦予屬性以科學(xué)權(quán)重。提出的商空間理論上利用信息熵計算屬性權(quán)重的方法,不需要背景知識,可以直接采用該方法對所給數(shù)據(jù)計算獲得屬性的客觀權(quán)值,得到關(guān)于多目標(biāo)方案的優(yōu)劣排序。最后將此方法應(yīng)用到油田開發(fā)的實例,將所得的油田開發(fā)排序結(jié)果與模糊綜合評價法開發(fā)結(jié)果比較,驗證該項研究所用方法的有效性和可靠性。

1相關(guān)理論

1.1 商空間

商空間理論用三元組(X,f,T)描述問題。X代表論域,f代表屬性函數(shù),T代表論域X的拓撲結(jié)構(gòu)。按照等價關(guān)系對集合元素進行劃分,把劃分為同一類的元素整體看成一個新元素,由這種新元素構(gòu)成的集合就是商集。通過劃分,把原來的三元組(X,f,T)映射成(X1,f1,T1)。衡量構(gòu)成的商空間是否符合需要解決的問題粒度時,可以借助效用函數(shù)(如近似精度與?；潭?進行判斷[6]。

不同的等價關(guān)系可以劃分不同的商集。對于同一問題,可以在(X1,f1,T1)、...(Xn,fn,Tn)進行不同層次上的分析,最后對這些分析結(jié)果進行綜合,得到關(guān)于問題的最佳解決方案。

定義1[7]:設(shè)R是X上的一個模糊等價關(guān)系,令Rλ={(x,y)|R(x,y)≥λ},0≤λ≤1}則Rλ是X上的一個普通等價關(guān)系,稱Rλ為R的截關(guān)系。令等價關(guān)系Rλ對應(yīng)的商空間為X(λ),可得到如下性質(zhì):若0≤λ2≤λ1≤1則Rλ1≥Rλ2,X(λ2)是X(λ1)的商集。于是,商空間族{X(λ)|0≤λ≤1}按照商集的包含關(guān)系構(gòu)成一個有序鏈,稱{X(λ)|0≤λ≤1}為X上的一個分層遞階結(jié)構(gòu)。

1.2 信息熵

信息熵用來衡量不確定程度,即可以通過計算信息熵來判斷一個事件的隨機性及無序程度,也可以用來判斷某個指標(biāo)的離散程度[8]。熵通常被用來表述體系的混亂程度,熵越大,不確定程度越大,包含的信息量越小。

2商空間下信息熵的定義

商空間理論的思想就是從多個維度上對問題進行?；治?降低處理問題的復(fù)雜度。商空間理論不僅對論域進行分類,同時也對屬性和結(jié)構(gòu)進行分類,某種層面上體現(xiàn)了拓撲結(jié)構(gòu)思想[10]。通過選取不同的閾值得到對應(yīng)不同截集下的空間,這些空間構(gòu)成了分層遞階結(jié)構(gòu)的商空間。因此,在無決策屬性的情況下,可以通過得到的商空間結(jié)果,作為決策分類結(jié)果。信息熵[11,12]是用來衡量系統(tǒng)混亂程度的指標(biāo),熵值越大分布越混亂,提供的信息量越小。因此,在對屬性重要度進行分析與計算時,可以通過衡量屬性的信息熵得出屬性的權(quán)重。

屬性權(quán)重的計算可以通過衡量刪除屬性前后等價類產(chǎn)生的變化[13],就是比較U/ind(C)與U/ind(C-ai)分類中樣本所在等價類發(fā)生改變的個數(shù)。在無核屬性的數(shù)據(jù)類型中,刪除單個屬性等價類不發(fā)生改變,考慮商空間理論下運用信息熵確定屬性權(quán)重。

定義3:將閾值λ確定的商空間分類記為{X1,X2,...Xn},其中Xi代表等價類,數(shù)據(jù)的屬性值類別記作sj。在閾值為λ的商空間中,屬性的信息熵計算公式為:

(1)

|Xi|代表等價類中樣本個數(shù),|Xi(sj)|代表在Xi等價類下,屬性的數(shù)據(jù)類別為sj的個數(shù)。通過計算Hλ,可以得到在閾值λ的空間下,屬性所屬類別在等價類中分布的混亂程度。Hλ越大,說明屬性對該空間分類的貢獻度越低,進而在該空間下的權(quán)重應(yīng)越小。運用商空間下信息熵的方法計算屬性權(quán)重,可以直接對等價類分析確定權(quán)重,保證方法的普適性。

3屬性權(quán)重計算過程

3.1 數(shù)據(jù)的規(guī)范化處理

由于最初數(shù)據(jù)存在屬性量綱不同的問題,導(dǎo)致屬性數(shù)據(jù)之間處于不對等地位,因此在對屬性重要度分析之前,首先要對數(shù)據(jù)進行規(guī)范化處理,使不同屬性間的數(shù)據(jù)處于同一層面上時,才能對屬性值進行操作,進而科學(xué)地得出各個屬性的重要度。對于最初的數(shù)據(jù),按屬性是成本型或是效益型進行規(guī)范化處理,保證數(shù)據(jù)的整體統(tǒng)一性與處理便捷性。

屬性值越小,對于綜合評價時的樣本起到正面影響的屬性,稱之為成本型屬性,按公式(2)處理。

(2)

屬性值越大,對于綜合評價的樣本起到正面影響的屬性,稱之為效益型屬性,按公式(3)進行處理。

(3)

3.2 樣本相似度計算

對于樣本之間的相近程度,利用公式(4)余弦相似度計算每個樣本之間的相似度rij(0≤rij≤1)。樣本之間屬性取值越接近,則樣本間相似度越大。通過對樣本相似度的計算,得到樣本間的相似度矩陣R。

(4)

3.3 構(gòu)造商空間

3.3.1構(gòu)造分層遞階的商空間

對相似度矩陣進行傳遞閉包的計算,得到樣本間的等價關(guān)系矩陣。利用樣本之間的等價關(guān)系rij,取閾值λ,當(dāng)rij≥λ時,將這2個樣本劃在一個等價類中,否則就在不同的等價類中,以此規(guī)則得到閾值為λ的商空間結(jié)構(gòu)X(λ)。

取不同的λ,可以得到不同的分類,對應(yīng)商空間中的不同層次,按閾值大小對層次排列,構(gòu)成商空間的分層遞階結(jié)構(gòu)。閾值越大,商空間中元素個數(shù)越多,λ=1時,每個樣本單獨一類。

3.3.2商空間多層結(jié)構(gòu)下屬性權(quán)重的計算

得到分層遞階結(jié)構(gòu)后,利用定義的信息熵公式按3步計算屬性權(quán)重。

(1)對規(guī)范化后的樣本劃分數(shù)據(jù)類別,即確定sj。通常按照[0,25),[25,50),[50,75),[75,100]分別對應(yīng)1,2,3,4進行分類,例如xi=36則xi→2。對樣本的屬性空間做四分類處理,把商空間中的等價類元素由原始的x1,x2,x3,...形式,變成1,2,3,4,...形式。

(3)利用信息熵計算屬性權(quán)重。屬性在所有層次下的信息熵取平均值,作為屬性的信息熵。信息熵越大,屬性的重要度越小。對屬性信息熵取倒數(shù),作為屬性重要度,為確保屬性權(quán)重和為1,對屬性重要度歸一化處理,得到屬性權(quán)重。

采用上述步驟處理可以做到直接對等價類分析確定屬性的重要度,對比以往查看刪除屬性前后分類變化的方法,商空間下信息熵計算屬性權(quán)重的方法對于無核屬性的數(shù)據(jù)同樣適用。

4應(yīng)用算例與結(jié)果分析

為驗證商空間理論下信息熵確定屬性權(quán)重方法的可操作性和合理性,對某地區(qū)的8個油田,分別記為A、B、...、H,進行開發(fā)排序。油田的初始數(shù)據(jù)見表1所示。

表1 原始數(shù)據(jù)表

(1)其中:滲透率、孔隙度、含油飽和度、探明地質(zhì)儲量、含油面積、內(nèi)部收益率屬于效益型屬性,采用(5)式進行計算處理。

(5)

剩余4個指標(biāo)(原油黏度、產(chǎn)能建設(shè)投資、投資回收期、平均的單位成本)屬于成本型屬性,采用(6)式計算處理,得到表2。

(6)

采用上述方法處理原始數(shù)據(jù),可以消除不同屬性數(shù)據(jù)量綱的影響,為之后劃分數(shù)據(jù)類別和確定等價類做基礎(chǔ)。

將上述經(jīng)過公式(5)與公式(6)計算后的數(shù)據(jù),按照[0,25)、[25,50)、[50,75)、[75,100]分別對應(yīng)1、2、3、4劃分數(shù)據(jù)類別,得到表3。

表3 屬性類別表

通過夾角余弦法如公式(7)計算,得到樣本之間的模糊相似矩陣。

(7)

(8)

(2)利用模糊相似矩陣,建立傳遞閉包得到等價矩陣(9),建立分層遞階結(jié)構(gòu)的商空間。

(9)

表4 樣本商空間

通過計算刪除各個屬性后的等價類發(fā)現(xiàn),分類結(jié)果不改變?nèi)缡?10),因此無法使用刪除屬性后的分析等價類變化確定屬性權(quán)重的方法。

(10)

在利用商空間理論得到分層遞階商空間結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,利用定義的信息熵公式計算屬性ai在某個截集結(jié)構(gòu)λ商空間下的信息熵Hλ。最后計算商空間族下的平均值,作為屬性ai的信息熵H(ai),權(quán)重處理后歸一化確定各屬性的權(quán)重。

(11)

(12)

利用上述公式,舉例屬性a2在商空間λ5中的信息熵計算過程:

(1)通過表4查看商空間λ5樣本聚類結(jié)果,通過表3查看屬性a2的樣本類別值。

商空間λ5的樣本聚類結(jié)果:

λ5=X(0.803 4) {x2,x3,x4,x5,x8},{x1,x6},{x7}

樣本的a2屬性類別值:

x1=4,x2=4,x3=2,x4=2,x5=2,x6=2,x7=1,x8=1

(2)通過上步結(jié)果寫出商空間等價類中屬性的類別結(jié)果a2/λ5,利用商空間下信息熵公式計算。

商空間λ5下對屬性a2的聚類結(jié)果為:a2/λ5={4,2,2,2,1},{4,2}{1}

故a2在λ5下的信息熵為:

以此方法所有屬性在商空間下的信息熵,得到表5。

表5 屬性在商空間下的信息熵/%

利用公式(11)取商空間信息熵總和的平均作為屬性 在商空間下的信息熵,之后利用公式(12)進行權(quán)重處理以及歸一化,得到屬性的權(quán)重為:

利用屬性權(quán)重對上述8個油田排序,排序結(jié)果與按照層次分析法和專家調(diào)查法綜合[14]得到的排序結(jié)果相同。這進一步說明在商空間確定的分層遞階結(jié)構(gòu)上通過定義信息熵計算屬性權(quán)重的方法是合理科學(xué)的,并且該方法可以直接應(yīng)用到客觀數(shù)據(jù)上,不需要決策者有油田領(lǐng)域的背景知識,保證處理問題的方法具有便捷性和普適性。

5結(jié)論

提出了一種商空間理論上利用信息熵確定屬性權(quán)重的方法,該方法成功地解決了多屬性多目標(biāo)排序問題中既無決策屬性又無核屬性的情況。通過將該方法應(yīng)用于油田開發(fā)方案優(yōu)選實例中,科學(xué)地對油田開發(fā)方案進行了排序。下一步將會在屬性權(quán)重的基礎(chǔ)上,研究屬性約簡。