縱垂式波浪能裝置的最大輸出功率設(shè)計(jì)

羅焙琢 羅洋洋 楊亞洲

摘? 要：波浪能分布廣泛，儲(chǔ)量豐富，具有可觀的應(yīng)用前景。文章對(duì)波浪能轉(zhuǎn)換能量裝置的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，并就其作用機(jī)理分析了裝置在波浪能下的最大輸出功率現(xiàn)狀。同時(shí)，對(duì)海平面產(chǎn)生波浪時(shí)，裝置在受力情況下的垂蕩運(yùn)動(dòng)模型與縱搖運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行研究，利用牛頓第二微分定律與微分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定律尋找兩種運(yùn)動(dòng)模型的關(guān)聯(lián)性與限制條件；在此基礎(chǔ)上，對(duì)功率進(jìn)行積分得出裝置在兩種不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的輸出功率，最后再將兩個(gè)功率相加構(gòu)建出最終功率輸出模型，并找到裝置產(chǎn)生最大功率時(shí)對(duì)應(yīng)的各部件參數(shù)結(jié)果。

關(guān)鍵詞：受力分析；牛頓第二微分定律；微分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定律；功率積分

中圖分類號(hào)：TM619；TP39? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）05-0054-06

Design of Maximum Output Power of Vertical Wave Energy Device

LUO Beizhuo， LUO Yangyang， YANG Yazhou

（Sichuan University Jinjiang College， Meishan? 620860， China）

Abstract： Wave energy， with its wide distribution and abundant reserves， has considerable application prospects. This paper studies the basic structure of the wave energy conversion device， and analyzes the current situation of the maximum output power of the device under the wave energy according to its mechanism. At the same time， the heave motion model and pitch motion model of the device under the force condition when waves are generated at the sea level are studied， and the correlation and restriction conditions of the two motion models are found by using Newton's second law of motion and Law of differential moment of inertia; On this basis， the output power of the device under two different motion states is obtained by integrating the power. Finally， the final power output model is built by adding the two powers， and the corresponding component parameter results when the device generates the maximum power are found.

Keywords： force analysis; Newton's second law of motion; Law of differential moment of inertia; power integration

0? 引? 言

隨著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展，人類面臨能源需求和環(huán)境污染的雙重挑戰(zhàn)，發(fā)展可再生能源產(chǎn)業(yè)已成為世界各國的共識(shí)。占地球總面積71%的海洋首先進(jìn)入開發(fā)者的視線，目前被主要關(guān)注的海洋能包括潮汐能潮流能、波浪能、溫差能和鹽差能等，而波浪能分布廣泛，儲(chǔ)量豐富，具有可觀的應(yīng)用前景。波浪能裝置的能量轉(zhuǎn)換效率是波浪能規(guī)?；玫年P(guān)鍵問題之一。

波浪能是指海洋表面波浪所具有的動(dòng)能和勢(shì)能，按波浪能的利用方式，波浪能發(fā)電可大致分為利用波浪能的垂直運(yùn)動(dòng)、利用波浪能的水平運(yùn)動(dòng)、利用波浪的水壓、利用波浪水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等形式。按基本原理又可分為利用物體在波浪作用下產(chǎn)生的振蕩和搖擺運(yùn)動(dòng)、利用波浪壓力的變化、波浪沿岸爬升時(shí)產(chǎn)生的水勢(shì)能三種方式，而這三種方式也就是我們通常所指的氣動(dòng)式、液動(dòng)式和蓄水式。本文將利用波浪能對(duì)裝置產(chǎn)生的垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)方式時(shí)的功率輸出進(jìn)行分析。

1? 垂蕩運(yùn)動(dòng)模型的構(gòu)建

1.1? 平衡模型

本文研究的裝置如圖1所示。

因?yàn)楦∽优c振子的重量占總裝置質(zhì)量過大，所以可以忽略中軸，底座及PTO的質(zhì)量，以此方便我們進(jìn)行研究，此外由于研究的裝置內(nèi)各個(gè)系統(tǒng)之間采用了摩擦系數(shù)很低的配件，所以整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生的較小摩擦力也能忽略不計(jì)。仿真模型各零件參數(shù)設(shè)置如表1所示。

然后我們根據(jù)實(shí)際研究得出相關(guān)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)如表2所示。

我們?cè)O(shè)置初始狀態(tài)下，整個(gè)裝置在重力和浮力兩個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，可求出裝置露出水面的高度：

V=1/3πR2（h-h1）+πR2（H-H1）? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

R為圓柱半徑，h為圓錐高度，h1為圓錐高出水面的高度，H1為圓柱露出水面的高度，可以算出平衡狀態(tài)下浮子露在空氣上的高度H1。

1.2? 垂蕩運(yùn)動(dòng)受力分析

1.2.1? 浮子運(yùn)動(dòng)

因?yàn)槌跏紶顟B(tài)下浮子受外力作用，使之做垂蕩運(yùn)動(dòng)（由于浮子一開始就從平衡狀態(tài)下開始運(yùn)動(dòng)，因此在分析合力時(shí)可以不再考慮浮子的重力和浮力）我們?cè)诟∽映跏嘉恢锰幗⑷S直角坐標(biāo)系，規(guī)定沿Z軸方向?yàn)檎较?，如圖2所示。

根據(jù)研究，浮子在運(yùn)動(dòng)過程中受力有如下情況：

（1）波浪激勵(lì)力fd=fcosωt。浮子在受該力的作用下其方向?qū)⒏鶕?jù)時(shí)間的變化而變化。

（2）靜水恢復(fù)力F。因?yàn)楦∽幼陨磉\(yùn)動(dòng)使其浸水部分的體積發(fā)生變化而產(chǎn)生的。根據(jù)其實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，可以求出浮子在運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位置變化時(shí)受到的靜水恢復(fù)力。該力方向始終為浮子的初始狀態(tài)時(shí)刻重力與浮力的平衡點(diǎn)處，此時(shí)先分析F為正的情況：

下沉?xí)r浮子的柱體在水中的體積增大，此時(shí)靜水恢復(fù)力大小為浮子的浸水體積增加部分的同體積水的重量ρgv排水，方向向上為正方向。

F=ρgπR（H-H1）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

上浮時(shí)需要分解成為兩種情況：第一種情況是浮子浸水體積減小，最大上浮高度可以使水面剛好沒過柱體的下底部分，此時(shí)柱體將完全露出水面，靜水恢復(fù)力大小（方向向下）：

當(dāng)上浮時(shí)浮子浸水體積減小并達(dá)到浮子柱體靜止最大過程。

浮子柱體完全出水后，即為錐體露出水面的過程。由此推出：

F=ρgπR2（H-H1）-ρg{1/3πR2h-[1/3πR2（h-h1）+πR2（H-H1）]}（3）

（3）興波阻尼力fw。即浮子做垂蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，波浪產(chǎn)生造成對(duì)浮子運(yùn)動(dòng)的阻力。興波阻尼力與垂蕩運(yùn)動(dòng)的速度成正比，并且方向相反。分析可知：

（4）

其中B為阻尼系數(shù)， 為浮子相對(duì)速度。

（4）振子反作用力fa。但是要從內(nèi)部振子分析fv，先得到振子的運(yùn)動(dòng)方程。

1.2.2? 振子運(yùn)動(dòng)

為了受力分析以及計(jì)算數(shù)據(jù)量的方便，設(shè)振子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移量為。以振子底座為XOY的平面，中軸Z軸構(gòu)建三維坐標(biāo)面，如圖3所示。

振子將受到彈力和直線阻尼器（發(fā)電裝置）的合力作用，并結(jié)合微分牛頓第二定律，振子的反作用力：

（5）

其中? 為振子加速度，K為直線阻尼器系數(shù)，R為彈簧剛度。

根據(jù)式（5），振子運(yùn)動(dòng)時(shí)受力情況如圖4所示。

因?yàn)閒a=-fv，我們得到了浮子在垂蕩方向的運(yùn)動(dòng)模型：

1.3? 垂蕩運(yùn)動(dòng)模型

綜上，裝置在垂蕩運(yùn)動(dòng)的完整運(yùn)動(dòng)方程：

（6）

為了求解微分方程，根據(jù)探究，我們將阻尼系數(shù)分為兩種情況。

情況1的K阻尼系數(shù)是一個(gè)常數(shù)為10 000，代入式（6）得到的結(jié)果如圖5、圖6所示。

情況2是K阻尼系數(shù)為 ，于是把這兩個(gè)不同的阻尼系數(shù)代入方程求解，最終得到模型結(jié)果如圖7、圖8所示，可看出阻尼系數(shù)變化對(duì)整體上的運(yùn)動(dòng)改變不大。

2? 縱搖運(yùn)動(dòng)模型的構(gòu)建

振子也是從靜止?fàn)顟B(tài)開始運(yùn)動(dòng)，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，先分別列出浮子和振子的合外力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度之間函數(shù)的關(guān)系。以椎體底部為轉(zhuǎn)軸支點(diǎn)，以整個(gè)浮子的幾何軸心為旋轉(zhuǎn)定軸，規(guī)定浮子逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)，如圖9所示。

2.1? 縱搖運(yùn)動(dòng)受力分析

2.1.1? 浮子縱搖

先對(duì)整個(gè)垂蕩運(yùn)動(dòng)下的浮子進(jìn)行分析，建立浮子的合外力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積的等式，浮子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示為：

（7）

其中Σ1、Σ2、Σ3為浮子錐體表面積、柱體側(cè)面積、柱體上圓面積，ds為面積微元，ρf為面密度。

得到浮子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，我們?cè)偃シ治龈∽釉诳v搖過程中受到的多種力矩。力矩分類如下：

（1）波浪激勵(lì)力矩Td。為周期性波浪震蕩產(chǎn)生的力矩設(shè)其表達(dá)式為Td=cosωt。

（2）靜水恢復(fù)力矩TF。其大小與浮體相對(duì)于靜水面的轉(zhuǎn)角成正比，比例系數(shù)稱為縱搖靜水恢復(fù)力矩系數(shù)，該力矩的表示公式為：

TF=-Cθ

其中C為縱搖靜水恢復(fù)力系數(shù)，θ為浮體相較于靜水面的轉(zhuǎn)角。

（3）興波阻尼力矩TX。興波阻尼力矩與搖蕩運(yùn)動(dòng)的角速度成正比，方向相反，比例系數(shù)稱為縱搖興波阻尼系數(shù)，力矩的表達(dá)式為：

TX=-Gθ

其中G為縱搖行波阻尼系數(shù)。

（4）浮子的重力力矩Tg，根據(jù)受力分析可以看出在求解重力力矩前需要先把浮子的重心位置找到，重心位置Zg：

（8）

我們可以將重力矩的大小表達(dá)出來：

（9）

扭轉(zhuǎn)彈簧和扭轉(zhuǎn)阻尼器所構(gòu)成的PTO系統(tǒng)產(chǎn)生的力矩TPTO。

（5）振子重力矩對(duì)浮子產(chǎn)生的“反作用”力矩To1，這里不能單一地把振子的重力矩取反，而是還要考慮到浮子相較于振子，振子的重心發(fā)生了變換，增加一個(gè)圓錐h的長(zhǎng)度：

（10）

（6）浮子還存在振子的彈簧、直線阻尼器和靜水恢復(fù)力矩的反作用力矩Tx，如圖10所示。

2.1.2? 振子縱搖

（1）由扭轉(zhuǎn)彈簧和旋轉(zhuǎn)阻尼器所構(gòu)成的PTO系統(tǒng)發(fā)生縱搖，并且該系統(tǒng)將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)扭矩，可以看作是整個(gè)振子系統(tǒng)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

（13）

其中Ωv為振子的垂蕩區(qū)域，ds為振子表面積的微元，ρv為振子的密度；?Z1為關(guān)于t的一個(gè)函數(shù)，且目標(biāo)積分體積Ωv隨著t發(fā)生著改變。所以得到的振子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iv是關(guān)于t的一個(gè)函數(shù)。

振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量得到后，可求振子的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩TPTO：

（14）

N1為旋轉(zhuǎn)彈簧的剛度，K1為旋轉(zhuǎn)阻尼器的系數(shù)。

（2）振子也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)重力力矩To，同理，在求解振子本身的重力力矩時(shí)，利用彈簧的伸長(zhǎng)變換量找出振子的重心位置，振子的質(zhì)量是均勻分布的，即重心的位置如圖11所示。

因振子本身質(zhì)量很大，彈簧本身被其壓縮，故壓縮高度為Z0=mvg/N，此外振子本身有一個(gè)實(shí)際的位移?Z1，所以就得到了彈簧的伸縮量變化hs-Z0+?Z1，于是重心的位置： hs-Z0+?Z1＋（1/2）h0，所以振子的重力矩公式：

（15）

2.2? 縱搖運(yùn)動(dòng)模型

通過求出的力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量再利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得振子縱搖運(yùn)動(dòng)模型：

（16）

同理得出浮子的縱搖運(yùn)動(dòng)模型：

（17）

3? 裝置實(shí)際運(yùn)動(dòng)模型建立

根據(jù)垂蕩與縱搖運(yùn)動(dòng)模型的結(jié)合，可以知道運(yùn)動(dòng)裝置完整的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并得出浮子與振子的微分方程組：

（18）

（19）

已經(jīng)得到了振子和浮子的運(yùn)動(dòng)方程情況下，先將二階微分方程組降階處理，我們?nèi)〔介L(zhǎng)為stp=0.002來離散，代入4階的Rung-Kutta特解方程組將浮子與振子的垂蕩位移與速度和縱搖角位移與角速度求解出來，得出浮子與振子的運(yùn)動(dòng)模型，如圖12至圖15所示。

取第10 s，20 s，40 s，60 s，100 s的數(shù)據(jù)如表3所示。

4? 確定直線阻尼器的最優(yōu)阻尼系數(shù)的數(shù)學(xué)模型

基于浮子做垂蕩運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上，直線阻尼器在振子中做類似切割磁感線的作用（楞次定律），形成了機(jī)械能轉(zhuǎn)化成電能的過程。功率最大情況的計(jì)算，圓頻率即為波浪的頻率ω（角頻率）。此外還需要考慮縱搖運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的功率，兩種功率相加即為裝置最終輸出功率，并由此確定直線阻尼器的最大系數(shù)。由于存在轉(zhuǎn)動(dòng)角微分的情況，故采用功微元法，利用積分來計(jì)算P=FV縱搖的輸出功率。

4.1? 直線阻尼器做功

由角速度公式：T=ω/2π，計(jì)算n個(gè)完整周期內(nèi)直線阻尼器做功的情況。由于存在運(yùn)動(dòng)位移微分的情況，故采用功微元法，利用積分去求解做功 ，因?yàn)?s是關(guān)于t的一個(gè)函數(shù)，所以d=d/d（t）×d（t），又因?yàn)?，所以求得垂蕩時(shí)阻尼器平均做功功率為：

（20）

4.2? 旋轉(zhuǎn)阻尼器做功

還是利用P=FV計(jì)算縱搖產(chǎn)生的輸出功率，F(xiàn)=TRDD， ，縱搖運(yùn)動(dòng)輸出的平均功率的積分方程則為：，代入? 后，得出：

（21）

由已求解出的阻尼器垂蕩運(yùn)動(dòng)輸出的平均功率表達(dá)式：

可得阻尼器輸出的總功率：

（22）

4.3? 最大功率與最佳系數(shù)

（1）將K1所在的區(qū)間[0， 100 000]和N1所在的區(qū)間[0， 100 000]分別進(jìn)行步長(zhǎng)為stp=100進(jìn)行網(wǎng)格化操作，每個(gè)離散的Ki，N1i為Ki=（i-1）stp，（i=1， 2， 3，…，1 000），N1i=（i-1）stp，（i=1， 2， 3，…，1 000）。

（2）針對(duì)每一個(gè)Ki，Ni我們用Runge-Kutta法求出它所對(duì)應(yīng)的振子和浮子的垂蕩速度。

（3）將得出的振子和浮子的垂蕩和縱搖速度代入? 中利用黎曼和方法算出輸出功率數(shù)值積分。

（4）挑出最大輸出功率所對(duì)應(yīng)的最大阻尼系數(shù)。

前面的步驟我們用步長(zhǎng)為stp=100從1 000個(gè)數(shù)據(jù)中粗濾，找到了最大輸出功率，現(xiàn)在我們將對(duì)區(qū)間[Ki-100， Ki+100]和[N1i-100， N1i+100]進(jìn)行步長(zhǎng)stp=1對(duì)上述（1）～（4）步驟進(jìn)行精細(xì)搜索，得出最大輸出功率。

我們得出了阻尼系數(shù)K的最優(yōu)解為3.763 5×104，旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)N1最優(yōu)解為2.458 5×105，且輸出功率最大為2.759 8×10124。

5? 結(jié)? 論

裝置利用波浪能做的垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)進(jìn)行詳細(xì)分析，在此基礎(chǔ)上，裝置內(nèi)部產(chǎn)生的最大發(fā)電功率和相應(yīng)部件參數(shù)的求解，同時(shí)提供一定的波浪能發(fā)電裝置的設(shè)計(jì)指標(biāo)。主要結(jié)論有如下：

（1）裝置的外形設(shè)計(jì)是圓錐形和圓柱形的結(jié)合形成浮子，內(nèi)部設(shè)計(jì)是中軸底座固定于隔層的中心位置，中軸架通過轉(zhuǎn)軸鉸接于中軸底座中心，中軸繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，PTO系統(tǒng)（彈簧和直線阻尼器）連接振子和轉(zhuǎn)軸架，并處于中軸與轉(zhuǎn)軸所在的平面。除了直線阻尼器，在轉(zhuǎn)軸上還安裝了旋轉(zhuǎn)阻尼器和扭轉(zhuǎn)彈簧，直線阻尼器和旋轉(zhuǎn)阻尼器共同做功輸出能量。

（2）裝置的最大輸出功率為2.759 8×10124以及產(chǎn)生最大功率時(shí)的直線阻尼系數(shù)為3.763 5×104和旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)為2.458 5×105。

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作者簡(jiǎn)介：羅焙琢（2001—），男，漢族，四川眉山人，本科在讀，研究方向；大數(shù)據(jù)分析；羅洋洋（2001—），男，漢族，四川射洪人，本科在讀，研究方向；機(jī)器學(xué)習(xí)；楊亞洲（2005—），男，漢族，四川成都人，本科在讀，研究方向：近海海洋動(dòng)力環(huán)境觀測(cè)與模擬。

收稿日期：2022-10-11