習(xí)題教學(xué)也可積累經(jīng)驗

瞿德軍

【摘 要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)該一直被片面地認(rèn)為是對知識的連續(xù)累加，真正有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該能夠訓(xùn)練學(xué)生的思維，讓學(xué)生的思維在一次次的邏輯推理中變得嚴(yán)謹(jǐn)周全；促進(jìn)學(xué)生的經(jīng)驗積累，讓學(xué)生在經(jīng)歷一個個探究活動和一道道習(xí)題的訓(xùn)練后，全面加深解題思路分析和積累策略制定的經(jīng)驗。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是創(chuàng)新性學(xué)習(xí)，學(xué)生的思維品質(zhì)才能得到質(zhì)的改善，創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力才能慢慢復(fù)蘇，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能得到全面提升，為學(xué)生的成長成才打下基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】習(xí)題教學(xué) 經(jīng)驗積累 思維訓(xùn)練

經(jīng)驗積累的重要性已經(jīng)得到廣大教師的認(rèn)同，并且得到一定程度的推廣和落實。但是，經(jīng)過調(diào)研，筆者還是發(fā)現(xiàn)一些問題：教師只是片面地對數(shù)學(xué)思想方法滲透、數(shù)學(xué)活動體驗、空間觀念發(fā)展、邏輯思維訓(xùn)練等進(jìn)行大力推進(jìn)，但是，這些動作只停留在新授環(huán)節(jié)。教師在新授環(huán)節(jié)還是可以做到盡心盡責(zé)的，但是一到了習(xí)題練習(xí)環(huán)節(jié)就松懈了，面對習(xí)題教學(xué)，大家普遍認(rèn)為測評方式只是注重結(jié)果，也就是最終的得數(shù)，于是覺得吃力不討好，既然無論怎么努力都無法將新理念設(shè)計到練習(xí)題教學(xué)中，那么干脆走老路繼續(xù)之前的教法。這種風(fēng)氣，從根本上否認(rèn)了習(xí)題教學(xué)中可以滲透新理念的可能，也忽視了習(xí)題對積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積極作用。教師如果一直抱著這種心態(tài)去處理習(xí)題教學(xué)，那么就無法發(fā)揮習(xí)題教學(xué)的巨大潛力。

事實上，數(shù)學(xué)教學(xué)是離不開習(xí)題的，沒有習(xí)題的數(shù)學(xué)就不再是真正的數(shù)學(xué)，習(xí)題的重要地位不單體現(xiàn)在它有檢驗、反饋、評判學(xué)生課堂所學(xué)的功用，從長遠(yuǎn)發(fā)展來看，長期練習(xí)可以改善學(xué)生的思維品質(zhì)，積累大量的邏輯推導(dǎo)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)化思考模型。從經(jīng)驗的形成機(jī)制來看，經(jīng)驗不是一蹴而就的，其形成需要對一個過程反復(fù)進(jìn)行深入的反思和分析以及不斷地批判和歸納。這樣，思維經(jīng)過多條路徑的探索，經(jīng)過正誤難易的辨析、權(quán)衡、取舍，最終對有價值的部分反復(fù)印證，獲得思維經(jīng)驗。下次遇到類似的問題和情境時，回顧反思，提取經(jīng)驗，解決問題時再運(yùn)用、檢驗、加工、豐富，并產(chǎn)生新的經(jīng)驗。經(jīng)驗的積累就是在循環(huán)往復(fù)中慢慢完成的。因此，習(xí)題教學(xué)對經(jīng)驗的積累、修正、完善起到了舉足輕重的作用。從教材的編寫來看，習(xí)題中滲透了大量的數(shù)學(xué)思想，融合數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的設(shè)計屢見不鮮。因為學(xué)生知識體系的構(gòu)建單靠一節(jié)課的講授和一道例題的示范是無法實現(xiàn)的，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累是需要長期堅持的，而且需要方方面面執(zhí)行到位。

一、猜想驗證，催化經(jīng)驗再生長

許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)結(jié)論是可以通過觀察總結(jié)出來的，而不是依靠邏輯推理一步步證明出來的。這種通過觀察總結(jié)出來的結(jié)論雖然有一定的依據(jù)，但是很大程度上還是靠直覺，未必正確，卻還是有其合理性，且符合人的認(rèn)知規(guī)律和思維習(xí)慣，因此，這種結(jié)論有時為我們指明了研究的方向，也提供了參考。在觀察總結(jié)的過程中，由于缺乏嚴(yán)密、可靠、詳細(xì)的理論依據(jù)，學(xué)生的思路中會出現(xiàn)很大的“真空地帶”，這些“真空地帶”就需要學(xué)生用自己的合理想象和創(chuàng)造元素去填補(bǔ)，這也正是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的一種重要途徑。

在教學(xué)中，教師組織學(xué)生進(jìn)行觀察，學(xué)生通過觀察和初步思考，得出一些模糊、抽象、片面的結(jié)論，然后帶著這些結(jié)論片段去交流評析、引發(fā)猜想，再結(jié)合各方面的信息猜想出完整的結(jié)論。這個過程培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，更重要的是，學(xué)生在猜想時，原有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗被激活并運(yùn)用，且在反思質(zhì)疑中得到修正補(bǔ)充，而對猜想結(jié)論的驗證，又催生了新的經(jīng)驗。

例如，筆者執(zhí)教的“小數(shù)乘整數(shù)”一課（蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊P56“練一練”第1題）：

編者的原意是通過練習(xí)讓學(xué)生直觀地看出因數(shù)小數(shù)位數(shù)與積小數(shù)位數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，然后初步猜想出完整結(jié)論。教學(xué)設(shè)計時，一個問題反復(fù)浮現(xiàn)在筆者腦海里：如何實現(xiàn)這道題的價值最大化？那就要給這道題增加一點(diǎn)額外“職能”，這個附加“職能”雖然是無形的，但是有利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。

于是，筆者打亂了出題順序，最先出示較為復(fù)雜的算式：14.8×23=。面對這個“下馬威”，學(xué)生倍感吃力，于是忙不迭用筆算，此時筆者出面解圍：“大家可以不用筆算就知道結(jié)果，老師可以事先告知某一個算式的乘積。”

當(dāng)筆者出示148×23=3404時，學(xué)生豁然開朗，不僅做出了第一道例題，而且脫口而出0.148×23與148×（ ）=34.04的結(jié)果。此時，筆者再趁熱打鐵，出示小數(shù)乘小數(shù)的算式14.8×2.3，引導(dǎo)學(xué)生有依據(jù)地猜想。筆者出示正確結(jié)果后，再次讓學(xué)生猜測小數(shù)乘小數(shù)的計算法則。這里的兩次猜想截然不同：第一次猜想是憑借先前的經(jīng)驗靠著直覺和創(chuàng)新精神大膽推測，所有的經(jīng)驗都是來自小數(shù)乘整數(shù)的探究經(jīng)歷，是對原有經(jīng)驗的補(bǔ)充和再生，增長新經(jīng)驗；第二次猜想則完全是對猜想的驗證，是對前一次經(jīng)驗的回顧、審視、修正和完善。兩次猜想讓學(xué)生感知到猜想其實是一種創(chuàng)造性思維活動，而不是瞎蒙、亂猜，他們逐漸形成數(shù)學(xué)猜想的意識。

二、數(shù)形結(jié)合，注重思維方式的培養(yǎng)

學(xué)習(xí)數(shù)時，離不開形的直觀演示；學(xué)習(xí)形時，少不了數(shù)的精確印證。這是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征。而小學(xué)生的心理規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)又決定了他們對圖形的依賴性。因此，一旦遇到非常抽象且數(shù)量關(guān)系又特別復(fù)雜的題目時，教師務(wù)必幫助學(xué)生畫出圖形。但是，這只是教師的一種強(qiáng)制性行為，不是學(xué)生的一項技能。如何將數(shù)形結(jié)合的思想植入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，讓數(shù)形結(jié)合成為學(xué)生的一種內(nèi)在意識，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系繪圖或者根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)量分析的動手能力呢？

例如，以下這道拓展題：

此題旨在引導(dǎo)學(xué)生將梯形面積公式與等差數(shù)列求和掛鉤，也就是通過知識遷移，將面積公式與數(shù)列求和公式統(tǒng)一起來，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，發(fā)散學(xué)生的思維。如果教師只是按照常規(guī)教學(xué)，分別總結(jié)出兩個公式后，再進(jìn)行形式上的對比歸納，就題論題，那么學(xué)生只會生硬機(jī)械地套用公式，達(dá)到表面上的數(shù)形結(jié)合，而且很快就會遺忘，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也沒有得到很好的訓(xùn)練。

如果按照常規(guī)教學(xué)，聽懂的學(xué)生只是少數(shù)，一個經(jīng)典題型也就成為擺設(shè)。因此，教師如何充分挖掘題目價值，才能讓全體學(xué)生都有所獲益，都能對梯形面積公式與等差數(shù)列求和的共通之處有清醒的認(rèn)知？

筆者嘗試改編原題，創(chuàng)作出一個梯形，將梯形的上底分成若干單位長度，下底也分成若干單位長度，如上底為4、下底為8、高為5的梯形（見圖1），我們可以將上底分為4條線段，將下底分為8條線段，然后將高分成5層，這樣梯形就被分成一個個“磚塊”，這些磚塊的數(shù)量就是梯形的面積。于是，梯形的面積首次實現(xiàn)數(shù)字化，再將這些“磚塊”一層一層相加，磚塊數(shù)層層遞增，每層增加1個，得出總數(shù)，然后得出梯形的總“磚塊數(shù)”為4+5+6+7+8=30。此時，學(xué)生就會驚奇地發(fā)現(xiàn)，這就是一個等差數(shù)列，等差數(shù)列的和等于梯形面積。

雖然“磚塊”拼湊成的不是一個標(biāo)準(zhǔn)的梯形，有一條斜腰“凹凸不平”，但是，用凸出三角形去割補(bǔ)對應(yīng)的凹入三角形（A割補(bǔ)A1，B割補(bǔ)B1，C割補(bǔ)C1），剛好可以轉(zhuǎn)化成一個標(biāo)準(zhǔn)的梯形。

三、捕捉生成，比較反思中積累經(jīng)驗

課堂永遠(yuǎn)是生成的，習(xí)題教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常會想出一些稀奇古怪的解法，也許這種思路與正常思路大相徑庭，甚至匪夷所思。這時，教師就要釋放更大的空間，讓學(xué)生來反思和改造自己的經(jīng)驗，或者重新組合原有的經(jīng)驗。教師也要機(jī)智地捕捉生成性資源，對教學(xué)過程中的“節(jié)外生枝”因勢利導(dǎo)，將一些打亂正常秩序、超出預(yù)設(shè)的想法及時引入正軌。

因此，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累需要注重教學(xué)過程的寬松度，放慢教學(xué)的節(jié)奏，釋放開放、個性化思考的空間，讓學(xué)生有足夠的時間去活動、感悟、反思。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)二年級上冊“觀察物體”一課中有這樣一道題：

針對第（2）問，學(xué)生想出了四種擺法（見圖2）。

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括分類，在形成有序錯位拼擺的思維過程中，學(xué)生想到增加錯誤幅度，改一個側(cè)面重合為一條棱重合，于是催生了擺法5（見圖3）。

此時，筆者對學(xué)生的這種擺法大加贊賞，并且肯定他們的思維路徑，因為從學(xué)生的思維出發(fā)，只要有一條棱相連，這些方塊還算是一個整體，是一個有機(jī)組合?！耙皇て鹎永恕?，受此啟發(fā)，更多新奇的擺法如雨后春筍般冒出來（見圖4）：

面對這些充滿創(chuàng)造性的想法，筆者引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行分類、比較、總結(jié)，最終，他們列舉了所有合乎要求的擺法。在此過程中，交流、展示和質(zhì)疑、評價，都能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

總之，對于習(xí)題教學(xué)，教師要一改以往只追求結(jié)果的思想，要更多關(guān)注過程中的活力與寬容度，在此過程中錘煉學(xué)生的思維品質(zhì)，同時不斷積累活動經(jīng)驗。

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