從整體建構(gòu)的視角處理教材帶星號習(xí)題

周美清

各種版本的數(shù)學(xué)教材中都出現(xiàn)了帶星號的習(xí)題。在對教材中帶有星號的習(xí)題進(jìn)行研究的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，如果孤立地呈現(xiàn)一道帶星號的習(xí)題，讓學(xué)生獨立完成，大部分學(xué)生會有困難。但如果教師站在整體建構(gòu)的角度去解讀習(xí)題，將習(xí)題加工成有邏輯意義的學(xué)習(xí)材料來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，帶星號的習(xí)題不僅不難，還能幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系。下面，筆者以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級上冊第五單元練習(xí)十五中帶星號的第16題“有一根繩子長31.4米。小紅、小林和小東分別想用這根繩子在操場上圍一塊地，怎樣圍面積最大”為例，闡述如何從整體建構(gòu)的角度處理帶星號的習(xí)題。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)興趣

為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，筆者將習(xí)題中的問題融合在故事情境中。課件呈現(xiàn)故事：從前，一位將軍為國家立下大功。國王為了嘉獎他，決定獎勵他一塊土地。這一天，國王召見將軍，拿出了3根長度不一的繩子，對將軍說：“你為國家做出了非常大的貢獻(xiàn)，朕決定獎勵你一塊土地。這塊土地的大小需要用你的智慧來做出決定。我這里有3根繩子，它們的長度分別是100米、200米、400米，從中選出一根繩子，用它圍成一塊長方形或者圓形的土地，你能圍多大，得到的土地就多大。”

問題1：如果你是將軍，你選哪根繩子？和同桌分享你的理由。

學(xué)生一致選擇400米的繩子，理由是繩子越長圍成的圖形面積會越大。

問題2：選400米的繩子，你準(zhǔn)備圍成長方形還是圓形呢？

生：圍成圓形只有一種情況，但圍成長方形有無數(shù)種情況。需要算一算再比較。

生：可是要把圍成的各種不同情況的長方形面積算出來，情況太多了，每種長方形的面積都得計算，好麻煩。

在學(xué)生已經(jīng)感受到“400米”這個數(shù)據(jù)給探究帶來困難的情況下，教師利用課件出示：我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚爺爺說：“當(dāng)我們遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，可以把它轉(zhuǎn)化成簡單的數(shù)學(xué)問題來探究，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再去解決復(fù)雜的問題就很容易了?！?/p>

師：讀了華爺爺這段話，你們有沒有新的想法？

生：我們可以把繩子的長度換成較小的數(shù)，這樣圍成的長方形情況會少，計算起來容易。

在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師以問題引發(fā)沖突，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，引導(dǎo)學(xué)生體會：周長越長，面積越大。進(jìn)而思考：周長相同時，什么圖形的面積最大呢？引導(dǎo)學(xué)生用到化難為易的數(shù)學(xué)思考方法。

二、化難為易，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識是學(xué)習(xí)者在一定的情境下，借助他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過意義建構(gòu)的方式獲得的。所以，能幫助學(xué)生獲得意義建構(gòu)的學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)就顯得尤為重要。

教師利用課件呈現(xiàn)學(xué)習(xí)單中的學(xué)習(xí)材料一：用一根16厘米長的鐵絲圍長方形，你們能想到幾種不同的圍法（長與寬取整厘米數(shù)）？有序思考，算一算每個圖形的面積，把結(jié)果填入如下表格中，觀察表格，和同桌分享你的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生在探究分享的過程中發(fā)現(xiàn)，可以圍成的長方形有四種不同的情況：長7厘米，寬1厘米；長6厘米，寬2厘米；長5厘米，寬3厘米；長與寬都是4厘米。從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：當(dāng)周長一樣的情況下，長與寬越接近時，長方形面積越大，如果長與寬相等時，就是一個特殊的長方形，即正方形，它的面積是最大的。

在這個教學(xué)過程中，教師通過學(xué)習(xí)材料引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，為后面應(yīng)用規(guī)律解決“將軍圍地”的問題提供了必要的思維支架。

三、學(xué)以致用，應(yīng)用規(guī)律

有了對周長為16厘米的各種長方形面積的比較得出的規(guī)律，進(jìn)而解決學(xué)習(xí)單中材料二的問題：將軍選400米的繩子，圍成長方形還是圓形呢？

學(xué)生通過計算得到如下兩種情況。

1.如果圍長方形，要讓圍成的長方形面積最大，長與寬是：400÷4=100（米），面積是：100×100=10000（平方米）。

2.如果圍成圓形，面積是：3.14×（400÷2÷3.14）2≈12741（平方米）。

所以400米長的繩子，圍成的圓形面積比長方形的面積大，將軍應(yīng)該選擇用它圍成圓形。

這一教學(xué)過程，實際上是學(xué)生對前面簡單問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的利用，是對化難為易數(shù)學(xué)思考方法的深刻感悟。

四、追本溯源，解釋規(guī)律

經(jīng)過兩次利用學(xué)習(xí)材料探究，學(xué)生感悟到：1.在周長相等的長方形中，長與寬越接近，面積越大，其中長與寬相等（即正方形）時的面積最大；2.周長相等的正方形和圓形，圓的面積大于正方形的面積。但這一感悟是基于特定的數(shù)據(jù)探究得到的，如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，需要教師引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

師：學(xué)習(xí)到這里，你們有新的思考與疑問嗎？

生：我想知道，如果繩子的長度是別的數(shù)據(jù)，圍成的圓形面積還是最大嗎？

生：我的問題與他一樣，為什么周長相等時，圓形的面積比正方形的面積大？

師：我給你們的問題點贊。通過探究，我們得到了一個正確的結(jié)論，這還不夠，當(dāng)我們進(jìn)一步自發(fā)地思考這個結(jié)論背后的原因時，我們的思考才更加深入。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是不斷地在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生新的疑問的過程。那么，你們會如何解答他們提出的這個問題呢？

教師利用課件呈現(xiàn)學(xué)習(xí)單中的學(xué)習(xí)材料三：周長相等時，圓形的面積一定大于正方形的面積嗎？學(xué)生想辦法證明，完成后和同桌分享想法。在這個過程中，很多學(xué)生再次用舉例子的方法，也有少部分學(xué)生用證明的方法。

生：我是再舉了一個例子，為了方便計算，我把周長定為是314米時，正方形的面積是：（314÷4）×（314÷4）=6162.25（平方米），圓形的面積是：3.14×（314÷2÷3.14）2≈7850（平方米）。圓形的面積大于正方形的面積。

生：我可以不用具體的數(shù)據(jù)計算。周長一定的情況下，正方形的面積=（周長÷4）2=周長2÷42=周長2÷16；圓的面積=（周長÷3.14÷2）2×3.14=（周長÷6.28）2×3.14=周長2÷6.282×3.14=周長2÷12.56。所以，周長相等時，圓的面積大于正方形的面積。我這樣證明了無論周長是多少，圓形的面積都會大于正方形的面積。

至此，在整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生通過教師針對帶星號題深度加工的學(xué)習(xí)材料，完成了對帶星號題的系統(tǒng)探究，經(jīng)歷了從問題情境中感受用化難為易的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律、解釋規(guī)律的全過程。從而完成對“周長一定的長方形、正方形及圓形面積比較”這一知識的整體建構(gòu)，既復(fù)習(xí)了長方形、正方形、圓形三種平面圖形面積的計算方法，又在計算中發(fā)現(xiàn)它們的面積與周長之間的關(guān)系，有思考又有聯(lián)系。

當(dāng)我們從整體建構(gòu)的角度去處理帶星號的習(xí)題時，避免了習(xí)題點狀化、碎片化給學(xué)生探究帶來困難的情況，有效地幫助了不同層次的學(xué)生“跳一跳摘到果子”，增強(qiáng)了學(xué)生挑戰(zhàn)難題的勇氣與信心，使他們獲得素養(yǎng)與思維的提升。

（作者單位：江西省萬年縣第二小學(xué)）