基于模糊鄰域差分進(jìn)化算法求解非線性方程組

陳馨 韋慧

摘 ?要：討論模糊鄰域概率函數(shù)選擇策略對算法尋根率和成功率的影響.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，凸函數(shù)類型的概率選擇函數(shù)較適用于求解多根和搜索空間較廣問題，定值概率選擇函數(shù)較適合于求解含有大量線性方程的問題.選用適當(dāng)概率選擇函數(shù)可以提高模糊鄰域差分進(jìn)化算法尋根率和成功率.

關(guān)鍵詞：差分進(jìn)化算法；非線性方程組；模糊鄰域；概率選擇函數(shù)

[ ? 中圖分類號 ? ?]O241.7 [ ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 ? ] ?A

Solving Nonlinear Equation Systems via Fuzzy Neighborhood

Differential Evolution Algorithm

CHEN Xin， WEI Hui

（School of Mathematics and Big Data， Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， China）

Abstract：The influence of fuzzy neighborhood probability selection strategies on algorithm root ratio and success rate is discussed.The experimental results show that convex functions are suitable for solving problems with multiple roots and wide search space problems， fixed-value probability selection functions are suitable for solving problems containing large number of linear equations. Choosing an appropriate probability selection function can improve the root ratio and success rate of the fuzzy neighborhood-based differential evolution with orientation algorithm （FNODE）.

Key words：differential evolution； nonlinear equation systems； fuzzy neighborhood；

probability selection function

在科學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域中的很多問題會涉及到非線性方程組（nonlinear equation systems，NESs）求解.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，智能優(yōu)化算法也日趨成熟，近年來被廣泛應(yīng)用于非線性方程組的求解[1-2]，如蟻群算法、布谷鳥算法、粒子群算法等.

Storn和Price[3]在1997年提出的差分進(jìn)化算法（differential evolution，DE）是一種高效的啟發(fā)式并行搜索技術(shù)， 具有收斂快、控制參數(shù)少且設(shè)置簡單等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)應(yīng)用在電力系統(tǒng)[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]中.DE算法優(yōu)化參數(shù)的選擇要兼顧探索能力與開發(fā)能力，不當(dāng)?shù)膮?shù)選擇策略往往容易造成種群個(gè)體早熟收斂、搜索停滯等問題.針對這個(gè)問題，Qu[6]等提出了一種基于鄰域小生境技術(shù)的差分進(jìn)化算法（NCDE），將原始種群劃分為多個(gè)子種群，從而擴(kuò)大種群搜索范圍和保持種群多樣性.Gong[7]等引入加法排斥技術(shù)調(diào)整目標(biāo)函數(shù)，將加法排斥技術(shù)與差分算法相結(jié)合，從而提高了算法在單次運(yùn)行時(shí)的搜索能力.許[8]等采用一種新的變異策略和邊界處理方法來提高搜索解的多樣性，提出了多模態(tài)多目標(biāo)差分進(jìn)化算法.He[9]等提出基于模糊鄰域的定向差分進(jìn)化算法（FNODE），根據(jù)模糊規(guī)則和個(gè)體分布選擇合適的個(gè)體以形成鄰域，并將鄰域個(gè)體遷移的方向信息融合到變異中，從而提高了算法的開發(fā)和探索能力.本文討論模糊鄰域技術(shù)中鄰域內(nèi)概率選擇函數(shù)對算法求解非線性方程組的尋根率和成功率的影響，并給出適當(dāng)?shù)母怕屎瘮?shù)選擇策略.

1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

算法參數(shù)設(shè)置：NP=100，F(xiàn)=0.5，CR=0.9，m=11，如果方程組的維數(shù)[n≤5]，則[ε=10-6]，否則[ε=10-4].每種方法獨(dú)立運(yùn)行20次，最后結(jié)果取平均值.實(shí)驗(yàn)環(huán)境：M1處理器macOS操作系統(tǒng)，8 GB，Matlab 2018 a.

2 概率選擇函數(shù)與評價(jià)指標(biāo)

對不同的非線性方程組進(jìn)行研究和討論，選擇文獻(xiàn)[7]中的7個(gè)測試函數(shù).這些測試函數(shù)具有多根、高維、搜索空間大等特點(diǎn)，用于驗(yàn)證算法在一次運(yùn)行中定位多個(gè)根的能力.為了驗(yàn)證算法的性能，根據(jù)文獻(xiàn)[10]中兩個(gè)常用的評價(jià)指標(biāo)尋根率（root ratio，RR）和成功率（success rate，SR）來判斷.在實(shí)驗(yàn)部分采用如下三種不同類型的5個(gè)概率選擇函數(shù)：

類型I-線性函數(shù)：（P1） [P=1-‖xj-xi‖d，if‖xj-xi‖≤d0，? ? ? ? ? ?otherwise] ? .

類型II-非線性函數(shù)：（P2） [P=1-‖xj-xi‖d2，if‖xj-xi‖≤d0， ? ? ? ? ? ? ? ?otherwise] ? .

（P3） [P=12+12cosπd‖xj-xi‖，if‖xj-xi‖≤d0，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?otherwise] ? .

（P4） [P=xj-xid-12，if‖xj-xi‖≤d0， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?otherwise] ? .

類型III-均勻分布函數(shù)：（P5） [P=12， ? if‖xj-xi‖≤d0， ? ?otherwise] ? .

其中，[d]為模糊鄰域內(nèi)個(gè)體與中心個(gè)體的最大距離，通過距離[d]計(jì)算個(gè)體[xj] 被選中在中心個(gè)體[xi]最終鄰域的概率[P].

3 概率選擇函數(shù)對比分析

為了分析不同概率選擇函數(shù)下算法的性能，對每個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行獨(dú)立20次實(shí)驗(yàn)，表1和表2為5種不同概率選擇函數(shù)下算法的尋根率和成功率.FNODE-1～FNODE-5分別表示（P1）-（P5）概率選擇函數(shù)的FNODE算法.

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可得到如下結(jié)論：

（1）對于較多包含線性方程的高維優(yōu)化問題，如F19，采用P5概率函數(shù)即取定值時(shí)算法的尋根率和成功率最好，采用P2和P3增大靠近中心個(gè)體的概率值可有效提升尋根率和成功率；對于不包含線性方程的高維優(yōu)化問題F01，P5的效果不佳，選用其他4個(gè)動態(tài)變化的概率選擇函數(shù)結(jié)果良好.

（2）對于具有較大搜索空間的優(yōu)化問題F04和F23，采用P4效果較好，此概率選擇公式在接近中心個(gè)體的附近概率值下降速度快，使得個(gè)體之間概率值對比明顯.其次是P1，P3和P2，而P5固定的概率顯然不適用于求解這個(gè)問題.

（3）對于多根問題F04，F(xiàn)12，F(xiàn)13，F(xiàn)17和F23，采用P4和P1效果較好，P2，P3的結(jié)果相當(dāng)，P5最不理想.

綜合上述分析，P4的計(jì)算效果比較穩(wěn)定.

表3和表4分別給出了Wilcoxon和Friedman檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.在Wilcoxon檢驗(yàn)中將FNODE-4與采用其他概率選擇公式的算法結(jié)果相比，可以看出R+的值比R-值好，說明FNODE-4在RR和SR值的結(jié)果較優(yōu).FNODE-4的結(jié)果明顯優(yōu)于FNODE-5，因?yàn)閜-value小于0.05.在Friedman檢驗(yàn)中FNODE-4獲得了最好的RR和SR排名，F(xiàn)NODE-1和FNODE-3比FNODE-4稍差，分別排名第二、第三.FNODE-2排名第四，而FNODE-5排名最低.進(jìn)一步說明選用不同概率選擇公式可以使得算法獲得更好的結(jié)果.

4 結(jié)論

本文主要利用He等提出的模糊鄰域定向差分進(jìn)化算法求解非線性方程組，將非線性方程組求解問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)最小值優(yōu)化問題，討論生成個(gè)體模糊鄰域時(shí)不同概率選擇函數(shù)對算法的影響.針對多根、高維、大搜索空間等問題，討論5個(gè)不同概率選擇函數(shù)情形下算法的尋根率和成功率，并進(jìn)行Wilcoxon和Friedman檢驗(yàn).對于包含較多線性方程的高維優(yōu)化問題，選用定值概率選擇函數(shù)可以獲取更優(yōu)的效果；對于多根或具有較大搜索空間的優(yōu)化問題，選用凸函數(shù)類型的非線性概率選擇公式可以獲取更優(yōu)的效果.對于本文中不同類型的優(yōu)化問題，使用P4的計(jì)算效果更加穩(wěn)定.未來將致力于研究設(shè)計(jì)混合多種技術(shù)的算法求解非線性方程組，如排斥技術(shù)、聚類技術(shù)、多目標(biāo)技術(shù)等，以進(jìn)一步優(yōu)化算法性能，提高尋根率和成功率.

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編輯：琳莉