基于梯度傅里葉級數的四量子比特計算機驗證

劉嘉輝 董強

摘 ?要：提出一種基于梯度傅里葉級數的四量子比特糾纏計算機驗證方法.通過數字量化的量子編碼，擬合梯度劃分策略，在傅里葉級數求解編碼中θ和φ的最大似然估計，解決了四量子比特糾纏在計算機條件下的狀態(tài)鑒別過程；依據梯度策略實現量子解除糾纏、弱糾纏、弱強糾纏、強糾纏不同狀態(tài)的劃分條件.分析結果證明，基于梯度傅里葉級數的四量子比特糾纏計算機驗證方法，能夠有效地識別量子信息是否處于糾纏狀態(tài).

關鍵詞：量子比特；量子糾纏；量子編碼；傅里葉級數

[ ? 中圖分類號 ? ?]TP309，O413 [ ? ?文獻標志碼 ? ] ?A

Computer Verification of Four Qubits Based on Gradient

Fourier Series

LIU Jiahui，DONG Qiang

（ School of Computer Science and Technology，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China ）

Abstract：A computer verification method for four-qubit entanglement based on a gradient Fourier series is proposed. Through quantum coding of digital quantization，fitting gradient partition strategy，and maximum likelihood estimations of θ and φ in coding solution with Fourier series are applied to solve the state identification process of four qubits entanglement under computer conditions. According to the gradient strategy，the division conditions of disentanglement status，weak entanglement status，weak-strong entanglement status and strong entanglement status are realized. The analysis results show that the computer verification method of four-qubit entanglement based on gradient Fourier series can effectively identify whether quantum information is entangled.

Key words：qubit； ?quantum entanglement； ?quantum code； ?Fourier series

量子計算在實驗和理論上已經獲得突破性成果.梯度是一種量子信息傳輸中量子糾纏態(tài)區(qū)別的有效策略.基于梯度策略的傅里葉級數四量子比特糾纏的數字量化方法，可以有效驗證量子信息是否處于量子糾纏.筆者提出一種基于梯度傅里葉級數的四量子比特糾纏計算機驗證方法，在計算機系統(tǒng)中可以實現有效的量子狀態(tài)鑒別，使用四量子比特的布洛赫球面表示形式，將四粒子16種形態(tài)按基數4進行分組，按梯度劃分為4種狀態(tài)，給出每種狀態(tài)的特征.引入歐拉公式，將四量子比特的布洛赫球面表示形式按照傅里葉級數展開.通過φ表達式計算偏導，以其最大似然估計的數值和eiφ的結果進行梯度求解.數字化得到的信息編碼能夠初步對量子疊加態(tài)進行鑒別，再與量子疊加態(tài)的標準特征進行擬合計算，根據獲得的擬合值完成計算機條件下狀態(tài)的鑒別.通過計算平方和或者對四量子比特的布洛赫球面被數字量化的θ，求解最大似然估計值，進一步區(qū)別不同類別狀態(tài)下的疊加態(tài)條件.通過數字量化的量子編碼，擬合梯度劃分策略，在傅里葉級數求解編碼中θ和φ的最大似然估計，解決了四量子比特糾纏在計算機條件下的狀態(tài)鑒別過程；依據梯度策略實現量子解除糾纏（DS）、弱糾纏（WES）、弱強糾纏（WSES）、強糾纏（SES）不同狀態(tài)的劃分條件.

1 方法研究

信息在數字量化編碼后，通過量子信息信道進行傳輸.按照基于梯度策略，計算機實現四量子比特糾纏驗證分為五步：

（1）把四量子比特的形式化改寫為四量子比特的布洛赫球面數學形式；

（2）引入歐拉函數，并將（1）中的表示形式按照傅里葉級數展開；

（3）對（2）中展開公式中的φ計算偏導數，求解最大似然估計，并按照計算結果舍去e iφ；

（4）計算后的數字化規(guī)則可以擬合所給公式的量子疊加態(tài)，當滿足所給公式時，鑒別其所屬狀態(tài)；

（5）通過計算平方和或對（1）中的公式對θ計算偏導數，求解其最大似然估計，鑒別其滿足哪種狀態(tài)的疊加態(tài)特點，結束形式化驗證過程.

1.1 量子信息編碼

本文采用4量子團簇態(tài)：定義|1111>，|0011>，|0000>和|1100>為4量子比特的基本狀態(tài).量子糾纏的數學描述形式為四粒子團簇態(tài)，表達式為

|ψ> = a|0000> + b|0011> + c|1100> - d|1111>. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

在量子傳輸之前，把計算機的二進制信息量化為基于量子糾纏的計算機編碼形式.基于量子糾纏的計算機編碼形式為：

Sgn（符號位M N（a2，b2，c2，d2））（mp2，mq2），（np2，nq2） . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

式（1）中，符號函數Sgn（myvalue）定義為當數值myvalue小于0時，符號函數Sgn（myvalue）的返回值為0.當數值myvalue大于0時，符號函數Sgn（value）的返回值為1.使用糾纏量子對產生一個四量子糾纏態(tài)，位距離N是糾纏量子對兩個量子之間的距離；實現多組信息傳輸，按照每四個信息劃分成一組，即每四位形式化為一個四量子糾纏態(tài)的特征，假定M組距離是各組與鄰近組的位移.

在二進制編碼（p1，p2，…，pi，…，pn）2中，由于信息較長，規(guī)定將信息每四位分為一組，（p1，p2，p3，p4）為第一組，（p5，p6，p7，p8）為第二組，依次類推，定義第一組的組距離M的標準值為1單位；第二組M組距離的標準值為2單位；同理，設置i單位是第i組的M組距離數值，n單位設置為最后一組的M組距離數值.

形式化（p1，p2…pi…pn）2的計算機編碼，設置處于第1位的二進制位記為p1，由低位到高位依次記為pi（i=1，2，…），最后一位記pn.由初始值1開始賦值p1的位距離N的數值，位距離N的p2的數值初始化為2；依次類推，數值i賦值給pi的位距離N，pn最后一位的位距離N設定為n.

基于梯度策略計算機編碼的各組與其鄰近組均會存在量子糾纏，假設鄰近的信息組出現糾纏態(tài)：

|φ> = mp|0> + mq|1> . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

假設觀測量子比特1的概率為|mq|2，量子比特0觀測的概率定義為|mp|2，滿足理想條件：

|mp|2 + |mq|2 = 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

基于梯度策略計算機編碼的各位與其鄰近位均滿足量子糾纏條件，鄰近的信息位滿足糾纏態(tài)條件：

|φ> = np|0> + nq|1>. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

假設，觀測量子比特1的概率為|nq|2，觀測量子比特0的概率為|np|2，且滿足理想條件：

|np|2 + |nq|2 = 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

1.2 最大似然估計驗證

為了方便求出最大似然估計，引入布洛赫球.在布洛赫球中，量子糾纏的數學描述形式為

|φ> = cos（θ/2）|0> + eiφsin（θ/2）|1>. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

完成信息編碼后，發(fā)送方需要計算使量子糾纏的可能性達到最大的最大似然估計.可以改寫為：

|φ> = （cos（θ1/2））4|0000> + （cos（θ1/2））2（sin（θ1/2））2 e2iφ1|0011> +

（cos（θ1/2））2（sin（θ1/2））2e2iφ1|1100> -（sin（θ1/2））4 e4iφ1|1111>. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

根據傅里葉級數：a0/2 + ∑k=1∞（akcoskx + bksinkx）. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

展開傅里葉級數，對φ1求最大似然估計.形式化L（φ1）似然函數，并計算似然函數中的φ1的偏導數.當φ1屬于區(qū)間[0，2π]時，利用f（φ1）的參數估計出：實際上φ1在編碼中的量子糾纏影響很小，計算過程中，eiφ1部分在最大似然估計里可以忽略.

鄰近組和相鄰位的量子糾纏形式化按照（θ2，φ2）值選取，相鄰位參照（θ3，φ3），隨后展開傅里葉級數形式，并進行最大似然估計φ2和φ3，對φ2和φ3進行鑒別.由展開式可得，φ2和φ3的計算并沒有受量子糾纏影響；同理，eiφ2和eiφ3部分在最大似然估計中的計算過程可以忽略.

1.3 狀態(tài)驗證

以弱強糾纏狀態(tài)為例.當處于弱強量子糾纏狀態(tài)時，按相似度將弱強量子糾纏狀態(tài)分為兩組，第一組為：

|ψ> = a|0000> + b|0001> + c|1110> - d|1111> . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

|ψ> = a|0000> + b|0100> + c|1011> - d|1111>. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

第二組為：

|ψ> = a|1100> + b|1101> + c|0010> - d|0011>. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

|ψ> = a|0011> + b|0111> + c|1000> - d|1100> . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（13）

（1）獲得value_1=a2+b2+c2+d2.推得第1組value_1屬于區(qū)間[0.25，1]，第2組value_1∈[0，0.25）.

（2）假設最大似然估計a2，b2，c2，d2中θ1為value_2.推得第1組θ1的最大似然估計value_2=1/2π，第2組value_2=1/2π.

對比可見，最大似然估計二組的值相同，因此，難以通過最大似然估計鑒別二組疊加態(tài).所以，通過value_1來鑒別二組疊加態(tài)，當value_1∈[0.25，1]，量子疊加態(tài)判定為（10）式和（12）式，當value_1∈[0，0.25），量子疊加態(tài)判定為（11）式和（13）式.推證第1和2組中的2種量子疊加態(tài)沒有明顯區(qū)別.同理，SES，WES和DS的疊加態(tài)存在一致的方法鑒別.

發(fā)送方在發(fā)送信息之前，四量子比特糾纏表達式按照（7）式進行改寫，改寫后的布洛赫球面形式由（θ1，φ1）確定，按照（4）式進行傅里葉級數展開，計算最大似然估計φ1.（θ3，φ3）確定相鄰位，由公式（9）展開傅里葉級數，分別計算φ2和φ3的最大似然估計；分析推得量子糾纏條件下φ2和φ3受影響很小，因此，eiφ2，eiφ3部分在最大似然估計中可以忽略.

2 應用實例

2.1 接收端判斷發(fā)送端發(fā)送量子信息的糾纏性

計算機發(fā)送端向計算機接收端傳送的信息設置為（01101001）2，信息編碼采用8位，4位劃分為1組，發(fā)送方設置位距離、組距離，劃分為2組的二進制編碼分別是1（p1，p2，p3，p4）2，2（p1，p2，p3，p4）2，組距離M分別為1和2.在兩組中，位于第1位的二進制位為p1，由低位到高位分別記為p2和p3，最后一位是p4，即n=4.設定p1位距離的初始值為1，p2位置距離為2，以此類推.

在傳輸信息前發(fā)送方需要將信息編碼中的各位利用公式（2）形式化，各位二進制形式化表示量子糾纏態(tài)公式（1）的形式.根據（1）式展開傅里葉級數，并按照最大似然法對φ1求偏導.量子糾纏條件在φ1的作用下影響非常小，因此，eiφ1部分在最大似然估計中可以忽略.

鄰近組和相鄰位的量子糾纏表達式按照（7）式進行重寫，重寫后的布洛赫球面形式中由（θ2，φ2）確定鄰近組，（θ3，φ3）確定相鄰位，按照公式（4）展開傅里葉級數，并分別計算φ2和φ3的最大似然估計，可以推得，受φ2和φ3的量子糾纏的條件影響很小，eiφ2和eiφ3部分在最大似然估計中可以忽略.

計算機發(fā)送端把各位信息編碼按公式（2）形式化，sqrt代表計算平方根，假設四量子糾纏中的概率特點sinθ1/2=sqrt（3）/2=sv，cosθ1/2=1/2，假設mq2=0.8，mp2=0.2，nq2=0.9，np2=0.1.描述展示為：

第1組信息1（0110）2：

p1=（-1 1（（（1/2）4）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9）.

p2=（-1 2（（（1/2）4）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p3=（-1 3（（（1/2）4）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p4=（-1 4（（（1/2）4）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

接收端測量到的信息為：

第1組信息：

p1=（-1.2 1（（（1/2）4）2，（（1/2）3（sv））2，（（1/2）3（sv））2，（1/2）2（sv）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p2=（1 2.1（（（1/2） （sv）3）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）（sv）3）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p3=（1.5 3.2（（（1/2）4）2，（（1/2）3（sv））2，（（1/2）3（sv））2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p4=（-1 4（（（1/2）（sv）3）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）（sv）3）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

使用平方差的方法判定接收方的組距離M和位距離N：

|（c_M）2 - （b_M）2| < 2（b_M+1）-1 ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

|（c_N）2 - （b_N）2| < 2（b_N+1）-1 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

其中，c_M和c_N為實際條件下觀測的位距離N值和組距離M，b_N和b_M為理想情況下觀測的位距離N值和組距離M.第1組信息中，p1，p2，p3，p4存在差錯.

組距離M在p1中產生了差錯，同時，c_M的測量值是1.2，鑒別該組距離的值實例化：

|（c_M）2 - （b_M）2| =|1.22 - 12|=0.44 < 2（b_M+1）-1=2（1+1）-1=3 .

|（c_M）2 -（b_M）2| =|1.22 - 22|=2.56 < 2（b_M+1）-1=2（2+1）-1=5 .

比較二個平方差：0.44<2.56.因此，鑒別組距離M在p1中的值1是正確的. 觀測可以取得p1的四粒子疊加態(tài)為：

|φ> = a|0000> + b|0001> + c|0001> -d|0011> ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

該疊加態(tài)可以直接寫成張量積的形式：

|φ> =|00>（a|00> + b|01> + c|01> -d|11>） ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （17）

說明該疊加態(tài)處于解除量子糾纏狀態(tài)，即p1在出現誤差的情況下與相鄰位已經解除量子糾纏狀態(tài).通過DS判斷p1，必須繼續(xù)判斷p1的量子疊加態(tài)的實際表達式值，首先獲得value_1的值，value_1的值計算結果為0.062 5，然后計算a2，b2，c2，d2中θ1的最大似然估計，可得θ1的最大似然估計為0.33π.

DS的疊加態(tài)條件分為二種情況：二組疊加態(tài)value_1的取值范圍相同，由此難以通過value_1的取值范圍判斷2組疊加態(tài)條件.在此，可以利用疊加條件中θ1的最大似然估計來判斷2組疊加態(tài)，θ1的最大似然估計值是0.33π，可以判斷其量子疊加態(tài)條件滿足DS.

同理，參照同樣的過程對第1組編碼信息中的p2，p3，p4驗證，容易推得第1組信息中的位距離p2的值是2，當出現差錯的情況下與相鄰位處于解除糾纏狀態(tài)條件，其疊加態(tài)的具體表達式為DS.p3的組距離的值為1，位距離的值為3，且在出現誤差的情況下與相鄰位處于弱糾纏狀態(tài)，其疊加態(tài)的具體表達式為WES.p4在出現誤差的情況下與相鄰位處于弱糾纏狀態(tài)，其疊加態(tài)的具體表達式為WES.第二組信息的判定方式與第一組相同，以此類推.

通過上述步驟，實現基于梯度傅里葉級數的四量子比特糾纏驗證方法，通過量子信息的編碼和傳輸后觀測，闡述了滿足量子糾纏態(tài)條件的鑒別過程.

2.2 本文驗證方法與其他方法的對比

2.2.1 基于量子糾纏和假設檢驗的計算機驗證方法

每一位二進制信息被表示為兩量子比特糾纏態(tài)形式.發(fā)送端在傳輸信息前需要定義符號函數Sgn（myvalue）.相鄰的二進制信息位（pi，pj）2處在量子糾纏態(tài)，量子糾纏態(tài)形式為：|φ> = ip|0> + iq|1>，|ip|2和|iq|2為對應|0>和|1>量子比特的測量概率.發(fā)送的每一位信息具有統(tǒng)一的形式：

Sgn（符號位H （ε2，μ2） ），（ip2，iq2） . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

距離H的數值計算過程.規(guī)則同在梯度傅里葉級數中的4量子比特糾纏的規(guī)則驗證方法中確定位距離N相同.接收端測量ε和μ的數值，在實際測量中，按照|ε|2+|μ|2-1<= lf 驗證該二進制信息位是否滿足糾纏態(tài)的條件（lf是給定的測量的誤差），以判定該二進制信息位的測量值是否準確.當該二進制信息位不滿足糾纏態(tài)條件時，使用假設檢驗驗證ε.

2.2.2 具體說明

基于量子糾纏和假設檢驗的計算機驗證方法在驗證量子編碼傳輸后情況：（1）傳輸后，參數μ，ε出現差錯，ip和iq正常傳輸.（2）在信息傳輸后，ip和iq出現差錯，ε和μ傳輸正確.（3）信息傳輸過程中iq和ip出現差錯，μ和ε出現錯誤.既在信息傳輸后，ε和μ出現誤差，ip和iq正常傳輸.

進行二進制信息位滿足糾纏態(tài)的條件鑒別.當差錯介于（-lf，lf）條件下，鑒別量子糾纏的條件，推得在傳輸后量子信息滿足量子糾纏狀態(tài)的條件；當差錯介于（-∞，-lf]或[lf，+∞）條件下，難以鑒別量子糾纏條件，利用假設檢驗對μ和ε分別進行計算，以鑒別在傳輸后量子信息滿足WES或DS.

當二進制編碼位難以判斷糾纏態(tài)條件時，利用假設檢驗對μ和ε分別進行計算.可以推得，當差錯局部值的概率處在（-P_ε，P_ε）范圍時，可以接受A0，如果偏差在（-∞，-P_ε]，[P_ε，+∞）變化時，拒絕A0.而且，當誤差臨界值的概率位于（-P_μ，P_μ）時，應接受A0，當差錯位于[P_μ，+∞）或（-∞，-P_μ]時，拒絕A0.當ε和μ有一個滿足接受A0條件時，推得在傳輸后量子信息可以鑒別為弱量子糾纏狀態(tài)條件，當μ和ε均滿足拒絕A0條件時，推得在傳輸后量子信息滿足解除量子糾纏狀態(tài)條件.

2.2.3 兩種方法的對比

基于梯度傅里葉級數的四量子比特糾纏的計算機驗證方法稱為方法A，基于量子糾纏和假設檢驗的計算機驗證方法稱為方法B.將兩種方法進行對比，得出以下結論：

（1）方法B中量子糾纏形式為二粒子糾纏，方法A中的量子糾纏形式為四粒子糾纏，與一般二粒子糾纏態(tài)相比，四粒子在糾纏度、穩(wěn)定性方面更勝一籌，是可靠和安全的.

（2）方法B中對量子信息糾纏態(tài)的判斷方法為假設檢驗，方法A中為梯度傅里葉級數和最大似然法.方法B驗證量子糾纏更快，計算量小，但誤差較大，精度較低；方法A在驗證量子糾纏時雖然較慢而且計算量大，但誤差小，精度高，判斷量子信息在傳輸后是否處于量子糾纏上更準確.

3 結 論

提出一種基于梯度傅里葉級數的四量子比特糾纏的計算機驗證方法.在計算機中采用量子數字化編碼方案，利用梯度策略展開傅里葉級數，在難以滿足條件下通過鑒別量子糾纏態(tài)條件實現計算機編碼中的最大似然估計，通過概率參數的編碼鑒別量子疊加態(tài)，給出滿足DS，WES，SES和WSES等條件，完成量子在計算機編碼中的傳輸過程.

與已有的計算機量子驗證方法相比，此方法雖然計算量稍大，但是具有高精度、更穩(wěn)定、誤差小，可以有效地實現目前計算機環(huán)境下傳輸后判斷量子信息滿足四種糾纏狀態(tài)的條件，達到模擬和測試的目的.

致謝 特別感謝俄羅斯莫斯科大學計算數學與控制系超級計算機與量子信息教研室的Ожигов Юрий Игоревич教授.在莫斯科大學訪學期間，本論文中關于計算機的數學驗證方法獲得了Ожигов教授指導，在此，對Ожигов教授所給予的無私幫助表示衷心的感謝！

參考文獻

[1] 公丕鋒，朱孟正，張金鋒.關于量子光學中壓縮態(tài)的探討[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2019（03）：32-35.

[2] 宋大華，宋大全，章慧鳴.Logistic方程混沌周期點與精度研究[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2020（01）：22-26.

[3] 彭承志，潘建偉. 量子科學實驗衛(wèi)星——“墨子號”[J]. 中國科學院院刊，2016，31（9）：1096-1104.

編輯：琳莉