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    指向“挑戰(zhàn)性”的高中數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)計(jì)

    2023-06-13 14:51:59劉鐵智
    關(guān)鍵詞:誘導(dǎo)性問題設(shè)計(jì)深度學(xué)習(xí)

    劉鐵智

    【摘 要】當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂提問普遍存在過度誘導(dǎo)的弊端,消除這些弊端的方法就是讓課堂提問充滿“挑戰(zhàn)性”,通過賦予問題真實(shí)的情境、結(jié)構(gòu)化的特征、更多的開放性使學(xué)生已有的認(rèn)知、傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式、數(shù)學(xué)思維的廣度與深度得到充分的發(fā)展。

    【關(guān)鍵詞】挑戰(zhàn)性;誘導(dǎo)性;問題設(shè)計(jì);深度學(xué)習(xí)

    問題既是思維的起點(diǎn),也是創(chuàng)造的前提,一切發(fā)明創(chuàng)造都是從問題開始的[1],數(shù)學(xué)教學(xué)就是以不斷地提出問題并解決問題的方式來實(shí)現(xiàn)知識建構(gòu)的過程。好的問題是打開學(xué)生思維的鑰匙、驅(qū)動學(xué)習(xí)進(jìn)程的動力之源,正所謂“問得好即教得好”“善教者必善問”。但在實(shí)際教學(xué)中,由于教師對數(shù)學(xué)問題的教學(xué)功能認(rèn)識不足,在問題設(shè)計(jì)上只強(qiáng)調(diào)“誘導(dǎo)性”,而忽視“挑戰(zhàn)性”,使得課堂提問無法取得預(yù)期的成效。下面筆者結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐來談?wù)勛约旱囊恍┛捶ā?/p>

    一、過度誘導(dǎo)引發(fā)的教學(xué)弊端

    心理學(xué)家梅耶認(rèn)為,當(dāng)問題解決者想讓某種情境從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N不同的狀態(tài),而且問題解決者不知道如何掃除兩種狀態(tài)之間的障礙時,就產(chǎn)生了問題;而解決問題的有效辦法就是通過課堂提問來啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的思維,使學(xué)生調(diào)動自身的知識儲備和思維來進(jìn)行問題的分析和探究。由此可見,“誘導(dǎo)性”是課堂提問中所要遵循的一個基本原則。但是課堂提問不能僅關(guān)注“誘導(dǎo)性”,也不能把“誘導(dǎo)性”作為問題設(shè)計(jì)的唯一準(zhǔn)則,否則會引發(fā)一系列教學(xué)弊端。

    (一)過度誘導(dǎo)削弱思考能力的形成

    問題是一種特殊的情境,是個體面臨一個不易達(dá)到的目標(biāo)和困難課題時的情境,必須運(yùn)用相關(guān)的理論或方法,在教師的引導(dǎo)與啟迪下,師生之間、學(xué)生之間通過思想交流、思維碰撞才能解決問題。因此,問題的一個重要功能就是引發(fā)學(xué)生的獨(dú)立思考,而過度誘導(dǎo)會讓學(xué)生失去思考的能力。

    例如,在“導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義”一課中,為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“導(dǎo)數(shù)的值就是切線的斜率”這一結(jié)論,教師設(shè)計(jì)了如下問題。

    問題1-1 平均變化率[ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx]的幾何意義是什么?

    學(xué)生都知道平均變化率表示的是割線P0P的斜率。

    教師首先讓學(xué)生在幾何畫板上動手操作,即拖動點(diǎn)P([x0+Δx],[f(x0+Δx)])沿著曲線f(x)趨近于點(diǎn)P0([x0],[f(x0)]),接著又提出了第二個問題。

    問題1-2 割線P0P與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系?

    教師在給出切線的一般定義后,又提出了下列問題。

    問題1-3 在初中時,我們怎樣定義圓的切線?

    在學(xué)生回答問題后,教師接著追問。

    問題1-4 圓的切線定義適合于任意曲線嗎?現(xiàn)在所學(xué)的切線的定義符合我們在初中學(xué)的圓的切線定義嗎?

    教師首先讓學(xué)生畫圖舉出反例,說明圓的切線定義不再適用任意曲線;接著再借助幾何畫板,讓學(xué)生驗(yàn)證現(xiàn)在的切線定義對任意曲線都適用。

    以上教學(xué)設(shè)計(jì),教師的意圖是以求導(dǎo)數(shù)的兩個步驟為依據(jù),從平均變化率的幾何意義入手,探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義,抓住[Δx→]0的聯(lián)系,在圖形上從割線入手來研究問題。教師讓學(xué)生在獲得直觀感知的基礎(chǔ)上,通過合作探索,親身經(jīng)歷一般曲線切線的發(fā)生、發(fā)展過程,上升到理性思維,形成切線定義,體會逼近的思想。

    教師的設(shè)計(jì)意圖沒錯,但是這樣的課堂提問方式能否起到預(yù)期的效果?我們發(fā)現(xiàn),無論是切線的定義還是對切線定義的驗(yàn)證,學(xué)生都是在教師的“指令”下完成的,例如,教師要求學(xué)生“把點(diǎn)P拖動到點(diǎn)P0”或要求學(xué)生類比圓的切線或直接告訴學(xué)生切線的定義,至于為什么這樣做?這樣做有何目的?學(xué)生根本不知道,教師也沒有給學(xué)生思考的機(jī)會,學(xué)生只是按照教師的指令行事,糊里糊涂地學(xué)。

    (二)過度誘導(dǎo)影響學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累

    傳統(tǒng)教學(xué)是以知識點(diǎn)為單位逐個實(shí)施教學(xué),并以獲得知識為最終目標(biāo)的一種教學(xué)方式。因此,傳統(tǒng)教學(xué)中提出的問題針對的就是教材中的特定內(nèi)容,答案也是唯一的或者是教師預(yù)設(shè)好的,目的就是引導(dǎo)學(xué)生在規(guī)定的時間內(nèi)順利發(fā)現(xiàn)與快速掌握有用的結(jié)論。這種“急于求成”的問題設(shè)計(jì)理念容易導(dǎo)致課堂提問出現(xiàn)過度誘導(dǎo),學(xué)生根本不用動腦筋也能解決問題。

    例如,在“基本不等式”一課中,教師為了能夠快速完成基本不等式的幾何證明,設(shè)計(jì)了下面兩個問題。

    問題2-1 如圖1,AB是圓O的直徑,過AB上一點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD,比較OD,CD長度的大小關(guān)系。

    問題2-2 設(shè)AC=a,BC=b,你能利用找到的OD,CD長度的大小關(guān)系解釋基本不等式嗎?

    如果教師已經(jīng)明確告訴學(xué)生用基本不等式[a+b2≥ab]進(jìn)行解釋,這兩個問題就無須思考,也無法達(dá)到讓學(xué)生掌握幾何證明的目的。在后續(xù)的教學(xué)中,當(dāng)教師讓學(xué)生從趙爽弦圖中提取基本不等式時,學(xué)生也許根本無從下手,因?yàn)樵谇懊鎯蓚€問題的解決過程中,學(xué)生沒有獲得從幾何圖形中提取不等關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)。因此,過度誘導(dǎo)反而影響學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累。

    (三)過度誘導(dǎo)讓學(xué)生“不會學(xué)”

    雖然問題的設(shè)計(jì)是在既定的目標(biāo)下,層層深入,由此及彼,從而驅(qū)動學(xué)生思考和實(shí)踐,但過度誘導(dǎo)容易讓學(xué)生對教師產(chǎn)生過度依賴。當(dāng)學(xué)生習(xí)慣于“教師問,學(xué)生答”的學(xué)習(xí)方式,學(xué)生思維就容易被禁錮在教師的問題中,從而逐步喪失提出問題的意識與能力,無法從“學(xué)會”走向“會學(xué)”。

    例如,在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”這節(jié)課中,有的教師就是按照以下設(shè)計(jì)問題來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”。

    問題3-1 觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象,并計(jì)算其零點(diǎn)所在的區(qū)間[2,4]和[-2,0]上端點(diǎn)處的函數(shù)值,并說出你有什么發(fā)現(xiàn)。

    在區(qū)間[2,4]上,零點(diǎn)左側(cè)的圖象在x軸下方,零點(diǎn)右側(cè)的圖象在x軸上方。相應(yīng)的函數(shù)f(x)的取值在零點(diǎn)左側(cè)小于0,在零點(diǎn)右側(cè)大于0,即函數(shù)在端點(diǎn)x=2和x=4的取值異號,f(2)f(4)<0,在區(qū)間[-2,0]亦然。

    問題3-2 對于一般的函數(shù)y=f(x),在其零點(diǎn)所在的區(qū)間[a,b]上,f(a)f(b)是否也有上面的結(jié)論?

    問題3-3 當(dāng)f(a)f(b)<0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的零點(diǎn)個數(shù)情況如何?

    問題3-4 當(dāng)f(a)f(b)>0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的零點(diǎn)個數(shù)情況如何?

    問題3-5 根據(jù)以上結(jié)論,函數(shù)y=f(x)滿足什么條件時,在區(qū)間(a,b)上就一定有零點(diǎn)?

    函數(shù)y=f(x)滿足以下兩個條件時,在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn):(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線;(2)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值異號,即f(a)f(b)<0。這個結(jié)論我們稱為函數(shù)零點(diǎn)存在定理。

    上述問題囊括了構(gòu)成“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”的三個關(guān)鍵點(diǎn):連續(xù)曲線、f(a)f(b)<0、有零點(diǎn)。換句話說,這些問題是為這三個關(guān)鍵點(diǎn)量身打造的,所起到的誘導(dǎo)效果應(yīng)該是比較好的,但能否把這些問題遷移運(yùn)用到其他類似定理的建構(gòu)當(dāng)中呢?或者說,學(xué)生經(jīng)歷了“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”的學(xué)習(xí),能否獲得運(yùn)用函數(shù)視角來研究方程問題的經(jīng)驗(yàn)?答案顯然是否定的。

    二、“挑戰(zhàn)性”的問題要“挑戰(zhàn)”什么

    神經(jīng)科學(xué)研究表明,“挑戰(zhàn)性”的問題能夠加快大腦中“網(wǎng)狀激活系統(tǒng)”的運(yùn)行,讓大腦分泌更多的多巴胺,讓學(xué)生持續(xù)保持高度興奮的學(xué)習(xí)狀態(tài)[2]。在這種狀態(tài)下,不僅問題解決的進(jìn)程得到加速,而且還會有更多的奇思妙想從學(xué)生頭腦中涌現(xiàn)出來。那么“挑戰(zhàn)性”的問題到底要“挑戰(zhàn)”什么?

    (一)挑戰(zhàn)學(xué)生已有的認(rèn)知

    皮亞杰的“平衡化”觀點(diǎn)認(rèn)為,認(rèn)知發(fā)展是平衡不斷建構(gòu)的過程,智力正是在有機(jī)體作用于環(huán)境(同化作用)和環(huán)境作用于有機(jī)體(順應(yīng)作用)兩種機(jī)能作用下,經(jīng)過不平衡—平衡—不平衡的不斷循環(huán)往復(fù),從低到高不斷得以發(fā)展和豐富[3]。在問題設(shè)計(jì)上,教師要提供與已有經(jīng)驗(yàn)相矛盾的內(nèi)容,挑戰(zhàn)學(xué)生已有的認(rèn)知,從而引起認(rèn)知沖突,打破原有的認(rèn)知平衡狀態(tài),促使其向新的平衡狀態(tài)發(fā)展。

    (二)挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式

    以聽講、記憶、模仿、練習(xí)為主要形式的學(xué)習(xí)方式,雖然能夠讓學(xué)生在較短的時間里獲得知識,但從長期來看,這種單一的單向傳授、被動接受、機(jī)械訓(xùn)練的學(xué)習(xí)行為容易削弱學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性與能動性。因此,教師應(yīng)通過設(shè)計(jì)“挑戰(zhàn)性”的問題,讓問題的解決變得不那么輕而易舉。例如,獨(dú)立思考、自主探究、動手實(shí)踐、合作交流等,都讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中由“被動”變“主動”,由簡單“學(xué)會”到“會學(xué)”。

    (三)挑戰(zhàn)思維的廣度與深度

    思維廣度指的是橫向思考的能力,思維深度則體現(xiàn)在集中思考的方向;思維廣度意味著學(xué)生要能夠從多角度獨(dú)立地思考與解決問題,思維深度則更注重通過事物的現(xiàn)象能夠挖掘出其內(nèi)在的本質(zhì)。“挑戰(zhàn)性”的數(shù)學(xué)問題,不僅問題域?qū)拸V,而且站在數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)的制高點(diǎn),直面思維的廣度與深度,需要學(xué)生通過對新知與已有心理圖式、認(rèn)知框架的整合來實(shí)現(xiàn)問題的解決,最終達(dá)到發(fā)展高階思維能力的目標(biāo)。

    三、如何賦予問題更具“挑戰(zhàn)性”

    美國心理學(xué)家蓋澤爾斯把數(shù)學(xué)問題大致分為三類:顯現(xiàn)型問題、發(fā)現(xiàn)型問題、創(chuàng)造型問題。顯現(xiàn)型問題的答案、求解思路均是現(xiàn)成的,學(xué)生只需照章辦事,無須想象與創(chuàng)造;發(fā)現(xiàn)型問題雖然有已知答案,但問題是由學(xué)生提出或發(fā)現(xiàn)的,對學(xué)生個體而言,是一種探索、獨(dú)立的發(fā)現(xiàn);創(chuàng)造型問題是人們從未提出過的,屬原創(chuàng)性問題[4]。顯然,顯現(xiàn)型問題不具備“挑戰(zhàn)性”,要使問題的設(shè)計(jì)體現(xiàn)“挑戰(zhàn)性”,需要在發(fā)現(xiàn)型問題與創(chuàng)造型問題上做文章。

    (一)賦予問題真實(shí)的情境

    賦予問題真實(shí)的情境,就是要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與真實(shí)世界的聯(lián)系,數(shù)學(xué)源于真實(shí)世界又應(yīng)用于真實(shí)世界。真實(shí)情境不僅有助于激發(fā)學(xué)生的求知欲,而且能促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維理解世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界;讓學(xué)生經(jīng)歷從真實(shí)世界中抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程,挑戰(zhàn)的是學(xué)生的創(chuàng)新意識與質(zhì)疑精神。

    例如,在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”這節(jié)課中,教師可以這樣改進(jìn)問題的設(shè)計(jì)。

    情境:如圖2所示,觀察這兩幅圖,回答以下問題。

    (1)小馬是否過了河,請說明理由。

    (2)如果小馬過了河,小馬的行走路線與河流呈現(xiàn)什么關(guān)系?(行走路線穿過河流)

    (3)如果把河流看成x軸,如何用代數(shù)式表示小馬行走的路線“穿過”河流?

    “小馬過河”與函數(shù)零點(diǎn)存在定理的意象相通,通過類比過河的條件,建立數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系,為數(shù)學(xué)定理的抽象奠定認(rèn)知基礎(chǔ),明確探究的方向。對學(xué)生而言,要把“穿過”這個幾何現(xiàn)象用代數(shù)式進(jìn)行刻畫非常具有“挑戰(zhàn)性”。首先,教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考“穿過前”與“穿過后”函數(shù)值的變化趨勢,從而發(fā)現(xiàn)f(a)f(b)<0這一結(jié)論;接著,教師再組織學(xué)生對結(jié)論從充分性與必要性的角度進(jìn)行質(zhì)疑與辨析,從而獲得完整的定理表述。

    (二)賦予問題結(jié)構(gòu)化的特征

    在對數(shù)學(xué)知識整體把握的基礎(chǔ)上,從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā),以科學(xué)性和梯度性為原則,將孤立、分散的小問題整合成具有邏輯關(guān)聯(lián)和綜合性、開放性的核心問題,讓學(xué)生圍繞核心問題進(jìn)行深度思考和交流,感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)與聯(lián)系。核心問題結(jié)構(gòu)化著力于建構(gòu)一個系統(tǒng)結(jié)構(gòu),引領(lǐng)學(xué)生挑戰(zhàn)知識的整體關(guān)聯(lián)建構(gòu),形成系統(tǒng)方法和思維。

    例如,在“導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義”一課中,核心問題就是“如何認(rèn)識切線”,圍繞這個核心問題可以設(shè)計(jì)以下問題。

    (1)當(dāng)[Δx→]0時,[ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx]的幾何意義是什么?請用你的方式進(jìn)行說明。(既可以從數(shù)與形兩個角度進(jìn)行說明,也可以借助信息技術(shù))

    (2)請說明割線與切線之間的聯(lián)系。

    (3)與函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)的直線是切線嗎?反過來對不對?

    (4)能否給切線重新下個定義?

    以上教學(xué)設(shè)計(jì),通過結(jié)構(gòu)化的核心問題作用于學(xué)生主體,按照“切線”內(nèi)部各要素之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行連接、組合,使各部分之間的聯(lián)系條理化、清晰化,從而實(shí)現(xiàn)對切線概念的整體建構(gòu)。

    (三)賦予問題更多的開放性

    涂榮豹教授認(rèn)為,啟發(fā)探究最重要的就是在教學(xué)中盡可能多采用一些元認(rèn)知問題,即通過提高問題的開放性來激發(fā)學(xué)生探究的積極性。數(shù)學(xué)問題的開放性是相對于傳統(tǒng)的“條件完備、結(jié)論確定”的封閉性而言的,主要體現(xiàn)在條件開放、結(jié)論開放、解決問題的策略開放等方面。問題具備一定的開放性和自由度,能夠給學(xué)生的獨(dú)立思考和主動探究留下更多的時間與空間,提高學(xué)生用自己的數(shù)學(xué)觀念解決問題的能力。例如,在探索“基本不等式”的幾何證明中,可以設(shè)計(jì)以下開放性問題:在弦圖中,利用面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)重要不等式[a2+b22≥ab],那么你能否從線段長度的視角構(gòu)造幾何圖形來解釋基本不等式[a+b2≥ab]?

    這個問題的結(jié)論具有開放性,構(gòu)造圖形的思想和途徑可能因人而異,靈活多樣。但正是因?yàn)檫@樣,才有利于教師捕捉?jīng)_突點(diǎn)、引發(fā)思維碰撞,有助于學(xué)生建構(gòu)知識,使每個學(xué)生在原有基礎(chǔ)上獲得相應(yīng)的發(fā)展。

    當(dāng)然,“挑戰(zhàn)性”并不等同于“高難度”,不能認(rèn)為“高難度”的問題更具有“挑戰(zhàn)性”。“挑戰(zhàn)性”問題是那些真實(shí)鮮活的、能激發(fā)學(xué)生高階思維且能促進(jìn)知識整合與靈活遷移的問題,它常常以“為什么”“如何”“從哪些方面”等詞語作為開頭,意在激發(fā)學(xué)生的探究欲望,并從不同角度對問題進(jìn)行持續(xù)不斷的思考。設(shè)計(jì)富有“挑戰(zhàn)性”的問題,不僅能激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動機(jī),而且還能為挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)的開展奠定基礎(chǔ)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]朱德全.基于問題解決的處方教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高等教育研究,2006(5):83-88.

    [2]劉徽,徐玲玲.大概念和大概念教學(xué)[J].上海教育,2020(11):28-33.

    [3]陳國平.皮亞杰的“平衡化”觀點(diǎn)及對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2011(3):1-4.

    [4]王光生.問題設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2006(2):29-31.

    (責(zé)任編輯:陸順演)

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