基于數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化的概念教學(xué)

李武

【摘要】在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化設(shè)置實(shí)驗(yàn)操作、強(qiáng)化概念的多元表征、運(yùn)用具象結(jié)合和數(shù)形結(jié)合策略，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化概念的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的概念探究能力和構(gòu)圖能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化；概念多元表征；具象結(jié)合

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，是一種數(shù)學(xué)的思維形式，是數(shù)學(xué)之本、解題之源。如果我們在學(xué)習(xí)的過程中沒有對概念有著深刻的認(rèn)識(shí)，透徹的理解和熟練掌握，那么在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中將會(huì)遭遇很多困難，甚至無法進(jìn)行更深入的學(xué)習(xí)。但在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中由于受到應(yīng)試教育的影響，很多教師把更多的時(shí)間放在解題技巧的傳授上，而忽視了數(shù)學(xué)概念的重要性，認(rèn)為概念只不過是一個(gè)定義，沒有去深究它的內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)語言不是簡單地描述數(shù)學(xué)知識(shí)，它更是數(shù)學(xué)思維的一種載體和教學(xué)過程的交流工具，數(shù)學(xué)三種語言包括文字語言、圖形語言和符號(hào)語言。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中通常是教師講，學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)，忽略了學(xué)生在課堂教學(xué)中的參與性，限制了學(xué)生的思維發(fā)展和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文作者將結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷探討數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，對概念教學(xué)、學(xué)生思維培養(yǎng)、學(xué)生探究式學(xué)習(xí)方式及學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)都具有現(xiàn)實(shí)的教學(xué)意義。

一、設(shè)置探究操作實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)概念探究能力

隨著課程改革的實(shí)施，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式已經(jīng)無法滿足新課程標(biāo)準(zhǔn)的需要，所以數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)模式必須要做出轉(zhuǎn)變。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)注重直接從數(shù)學(xué)概念出發(fā)，教學(xué)的著重點(diǎn)是教師向?qū)W生分析概念的內(nèi)涵和強(qiáng)調(diào)概念滿足的條件和范圍，雖然這樣的概念教學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性，但這種只注重結(jié)果的教學(xué)使學(xué)生沒有真正了解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，阻礙了學(xué)生探究知識(shí)的過程及思維的過程?？梢妭鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式不適合新課程標(biāo)準(zhǔn)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，在概念教學(xué)中通過數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化設(shè)置探究性操作實(shí)驗(yàn)，既培養(yǎng)了學(xué)生對概念的探究能力，又實(shí)現(xiàn)了概念教學(xué)由“知識(shí)型”向“過程型”的轉(zhuǎn)變。

案例一：“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)片段。

問題1：取一條定長的細(xì)繩r，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)F，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）M畫出的軌跡是 ？

學(xué)生：通過文字語言的關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形語言，如圖1。

問題2：觀察上面實(shí)驗(yàn)操作得到的圖形，用集合語言表示動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。

學(xué)生：{M||MF|=r}。

問題3：如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離2a，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2。套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）M畫出的軌跡是？

學(xué)生：通過實(shí)驗(yàn)操作的文字語言轉(zhuǎn)化成圖形語言，如圖2。

問題4：如何用集合語言表示動(dòng)點(diǎn)的軌跡。

學(xué)生：{M||MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|}

問題5：類比于圓方程的步驟—建、設(shè)、限、代、化，用方程表示動(dòng)點(diǎn)M軌跡。

案例一是通過數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化設(shè)置探究操作實(shí)驗(yàn)的概念教學(xué)，同時(shí)將類比推理的數(shù)學(xué)思想融入其中。案例中就是把數(shù)學(xué)中對象的相似性作為根據(jù)進(jìn)行聯(lián)想，從而將對某一數(shù)學(xué)對象的已知知識(shí)遷移到另一個(gè)相似的數(shù)學(xué)對象上，從而獲得新的發(fā)現(xiàn)的思想方法。整個(gè)概念的呈現(xiàn)過程通過數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化設(shè)置探究性實(shí)驗(yàn)達(dá)到教學(xué)的目的。概念教學(xué)不再是以往的由教師直接給出數(shù)學(xué)概念的教學(xué)模式，而是引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)三種語言對問題進(jìn)行探究的過程，體現(xiàn)了學(xué)生是信息的加工主體，整個(gè)教學(xué)過程讓學(xué)生從原來的重“知識(shí)型”向“過程型”轉(zhuǎn)變。案例中通過引導(dǎo)學(xué)生類比圓的方程實(shí)驗(yàn)，利用定線和筆尖按照某種定量關(guān)系畫出軌跡，并引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作觀察如何將圖形語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言。整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程不僅體現(xiàn)了引導(dǎo)學(xué)生靈活掌握三種數(shù)學(xué)語言相互轉(zhuǎn)化的教學(xué)理念，同時(shí)還體現(xiàn)了類比推理的數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)的概念理論性強(qiáng)且抽象，通過三種語言轉(zhuǎn)化設(shè)置探究性實(shí)驗(yàn)操作將新概念與學(xué)生原本掌握的概念進(jìn)行類比，有效幫助學(xué)生理解概念、掌握規(guī)律，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。

二、強(qiáng)化概念多元表征，優(yōu)化概念知識(shí)體系

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程其實(shí)就是學(xué)生呈現(xiàn)原有知識(shí)再創(chuàng)造的過程。那么要實(shí)現(xiàn)學(xué)生再創(chuàng)造的方式就是教學(xué)由“傳授型”向“探究型”轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)學(xué)生親自參與概念的探究過程。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化強(qiáng)化概念的多元表征，有助于學(xué)生對概念的掌握和深入學(xué)習(xí)，優(yōu)化了數(shù)學(xué)概念知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)間的練習(xí)，進(jìn)而形成完善的數(shù)學(xué)概念。

案例二：“全概率”教學(xué)片段。

引例1：從標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5的五張卡片中，依次抽出2張（取后不放回），你能否求出“第二次抽到的卡片是偶數(shù)”的概率？

問題1：如何用有序?qū)崝?shù)描述實(shí)驗(yàn)結(jié)果？

學(xué)生操作：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）

（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）

（3，1），（3，2），（3，4），（3，5）

（4，1），（4，2），（4，3），（4，5）

問題2：設(shè)事件A表示“第一次抽到奇數(shù)”，事件B表示“第二次抽到偶數(shù)”，用韋恩圖表示事件A、A、B間的關(guān)系。

學(xué)生操作：

問題3：根據(jù)韋恩圖如何用符號(hào)語言表示P（B），

學(xué)生：從圖形語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言P（B）=P（AB）+

P（AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）高中全概率概念具有抽象性，其概念的表征方式也具有多樣性。案例二通過數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化將點(diǎn)集（樹狀法）、圖像（韋恩圖）及公式呈現(xiàn)全概率定義的三種表征達(dá)到了教學(xué)的目的。在概念教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生探索全概率的三種表征方式可以讓學(xué)生從不同的角度探究和理解全概率的含義，促進(jìn)學(xué)生對全概率有“質(zhì)”的理解。

三、具象結(jié)合，理解概念本質(zhì)

概念學(xué)習(xí)的過程就是抽象化的過程，雖然數(shù)學(xué)概念本身比較抽象，但是數(shù)學(xué)概念的背景和生成是具體的，如果能在概念教學(xué)過程中利用數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化將具體和抽象結(jié)合，通過概念探究過程了解概念的本質(zhì)含義，則有效提高了數(shù)學(xué)概念的教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到高效教學(xué)的目的。

案例三：“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)片段。

問題1：畫出下列函數(shù)（x）=x2，如圖3。

問題2：觀察（x）=x2，填寫函數(shù)值對應(yīng)表。

問題3：（師生共探，抽象定義）。

問題4：（操作體會(huì)）請學(xué)生上來拖動(dòng)圖4坐標(biāo)系中y軸右側(cè)的點(diǎn)p，體會(huì)對于一個(gè)一般函數(shù)（x），若其圖像關(guān)于y軸對稱，如何用符號(hào)語言刻畫？

根據(jù)數(shù)學(xué)概念本身的抽象性和概念生成過程的具體性特點(diǎn)，在概念教學(xué)過程中通過數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化設(shè)置問題探索，能有效地將抽象概念具體化。案例三中的問題4借助網(wǎng)絡(luò)畫板呈現(xiàn)偶函數(shù)的圖像特征，引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)p的實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)，學(xué)生很容易從直觀動(dòng)畫中得到偶函數(shù)條件中要滿足的任意性和對稱性，進(jìn)而準(zhǔn)確地用符號(hào)語言表示出偶函數(shù)的定義，達(dá)到概念課堂高效教學(xué)的目的。

四、數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)圖能力

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必須要掌握的一種方法，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中通過轉(zhuǎn)化三種數(shù)學(xué)語言引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)圖已成為課堂教學(xué)重要的組成部分。在概念教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生通過概念的數(shù)與形之間的關(guān)系去構(gòu)圖，能有效地將抽象概念具體化、形象化，不僅讓學(xué)生更能直觀地理解函數(shù)概念，還培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象和構(gòu)圖能力。

案例四：“基本不等式”教學(xué)片段。

問題1：請同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備的四張全等的等腰直角三角形（直角邊用a、b表示，斜邊用c表示，其中a=b），將四個(gè)等腰直角三角形擺放成一個(gè)正方形，并觀察直角三角形三條邊的關(guān)系。

學(xué)生構(gòu)圖：

問題2：請用a、b、c表示出正方形的面積。

學(xué)生：S=c2=a2+b2=2b，其中a=b。

問題3：請同學(xué)們再拿出課前準(zhǔn)備的四張全等的非等腰直角三角形（直角邊用a、b表示，斜邊用c表示，其中a≠b），將四個(gè)非等腰直角三角形擺放成一個(gè)正方形，并觀察直角三角形三條邊的關(guān)系。

學(xué)生構(gòu)圖：

問題4：請用a、b、c表示出正方形ABCD的面積。

學(xué)生：

SABCD=c2=a2+b2=2ab+（b-a）2>2ab，其中a≠b。

問題5：綜上分析請同學(xué)們大膽猜想并證明a2+b2與2ab之間的關(guān)系。

學(xué)生：a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立。

問題6：以AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，設(shè)ABa，BC=b過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。

學(xué)生構(gòu)圖：

問題7：請根據(jù)圖形建立a，b和CD的關(guān)系。

學(xué)生：由三角形相似易得CD2=ab，即CD=，∴a+b≥2，其中C與O重合的時(shí)候等號(hào)成立（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注重的是邏輯思維的轉(zhuǎn)換，圖形語言就是能將抽象思維向形象思維轉(zhuǎn)變的載體，而培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)思維關(guān)鍵就在于培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)圖能力。案例四的整個(gè)基本不等式公式的探究是通過數(shù)學(xué)三種語言的轉(zhuǎn)化創(chuàng)設(shè)問題串引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)圖，并通過符號(hào)語言表示圖形隱藏的幾何意義，達(dá)到概念教學(xué)的目的。這樣教學(xué)不僅讓學(xué)生掌握了所學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維，符合培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的要求。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]陸興華，李興貴，堯剛，饒永生.互聯(lián)網(wǎng)+動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)：網(wǎng)絡(luò)畫板推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革[M].長沙：湖南教育出版社，2018.

（基金項(xiàng)目：本文系海南省教育科學(xué)規(guī)劃2021年度課題“基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)三種語言轉(zhuǎn)化研究”的研究成果，課題編號(hào)：QJH202110070）