非線性Caputo-Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分包含正解的存在性

馬玉花,顧海波,李 寧

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830017)

分?jǐn)?shù)階微積分是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最重要的領(lǐng)域之一,它將現(xiàn)有的整數(shù)階的微分算子推廣到任意階的微分算子。近年來(lái),關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程問(wèn)題引起了人們廣泛的關(guān)注。分?jǐn)?shù)階微分方程應(yīng)用于反常擴(kuò)散、流體力學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、最優(yōu)控制等領(lǐng)域。相比起整數(shù)階的微分算子,分?jǐn)?shù)階微分算子具有全局性,從而可以準(zhǔn)確描述客觀世界的發(fā)展規(guī)律。

伴隨著自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)發(fā)展、復(fù)雜工程應(yīng)用需求的增加,分?jǐn)?shù)階微分方程已不能滿足人類探索發(fā)展規(guī)律的需求,而微分包含可以看作是分?jǐn)?shù)階微分方程的推廣,它可以對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)象進(jìn)行更加準(zhǔn)確的刻畫(huà)。對(duì)于微分包含解的存在性一直是人們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,同時(shí)人們已經(jīng)不再滿足去尋找微分包含的一般解,而是想找到更具有現(xiàn)實(shí)意義的正解。有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分包含的理論研究有很多[1-13]。在現(xiàn)有的成果當(dāng)中,有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分包含正解的存在性定理的結(jié)果并不是很多[8-9],因此,對(duì)于微分包含具有多個(gè)正解的存在性研究是必要的。

文[6]中,作者結(jié)合變分方法和臨界點(diǎn)理論,給出了下面一類帶奇異項(xiàng)的非局部問(wèn)題正解的唯一性。

其中Ω是RN(N≥3)是一個(gè)有界開(kāi)區(qū)域且具有光滑邊界階?Ω,a,b≥0且a+b>0,m>0,λ≥0,1

文[7]中,作者利用不動(dòng)點(diǎn)定理,給出了下面一類非線性加權(quán)問(wèn)題正解的存在性。

文[8]中,作者通過(guò)多值映射的壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理,給出了下面非線性分?jǐn)?shù)階微分包含正解的存在性定理。

受以上結(jié)果的啟發(fā),本文將研究如下帶有積分邊值的分?jǐn)?shù)階微分包含多個(gè)正解的存在性問(wèn)題

(1)

本文具體安排如下:在第1節(jié)中,我們給出了相關(guān)預(yù)備知識(shí),包括問(wèn)題描述、基本定義和相關(guān)引理,以及本文所需的條件假設(shè);在第2節(jié)中,我們利用不動(dòng)點(diǎn)定理給出了(1)存在多個(gè)正解的充分條件;在第3節(jié)中,舉出一個(gè)例子說(shuō)明主要結(jié)果的有效性;在第4節(jié)中,對(duì)文章進(jìn)行了總結(jié)。

1 預(yù)備知識(shí)

這部分我們將介紹一些相關(guān)的基礎(chǔ)概念及定義,并介紹了一些對(duì)后續(xù)正解的存在性定理非常重要的引理。首先,我們將介紹一些關(guān)Caputo-Hadamard分?jǐn)?shù)階微積分相關(guān)的內(nèi)容,

定義1.1[14]連續(xù)函數(shù)x:[1,+∞]→R的α>0階的Hadamard分?jǐn)?shù)階積分為

定義1.2[14]連續(xù)函數(shù)x:[1,+∞]→R的α>0階的Caputo-Hadamard分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)為

(1)若對(duì)于任意的x∈X,F(X)是閉的(凸的),則稱多值映射F是閉的(凸的)。

(3)若對(duì)于X上所有的有界子集B,F(B)是相對(duì)緊的,則多值映射F是全連續(xù)的。

定義1.3[15](X,‖·‖)是一個(gè)賦范線性空間,多值映射Θ:X→p(X)。若對(duì)每一個(gè)x0∈X,集合Θ(x0)是X的一個(gè)非空閉子集,對(duì)于X中的每個(gè)包含Θ(x0)開(kāi)子集B,存在x0的一個(gè)開(kāi)鄰域V,使得Θ(V)?B,則稱Θ在X上是上半連續(xù)的。

定義1.4若對(duì)于每個(gè)x∈C([1,e],R),稱SF,x是F的選擇集合,定義為:

SF,x={f∈L1([1,e],R):f∈F(t,x(t)),對(duì)于幾乎處處的t∈[1,e]}

定義1.5假設(shè)0<α≤1,λ≥0,d>0,x∈C([1,e]),滿足

并且存在f∈SF,x,使得x(t)滿足積分方程:

則x是以下邊值問(wèn)題的唯一解

定義1.6[15]設(shè)X為Banach空間,C是X的閉凸子集,Pcp,c(C)表示C中所有非空緊凸子集集合。對(duì)于任意有界子集Ω?X,它的非緊測(cè)度為γ(Ω)=inf{d>0:Ω可以被有限多個(gè)直徑小于等于d的集合覆蓋}

定義1.7[15]多值映射F:[1,e]×R→P(R),若滿足:

(1) 對(duì)于x∈[0,∞),t→F(t,x)是可測(cè)的,且對(duì)幾乎所有的t∈[1,e],x→F(t,x)是上半連續(xù)的,則F是Caratheodary的。

(2) 如果對(duì)每一個(gè)δ>0,存在φδ∈L1([1,e],R+),使得對(duì)幾乎所有的‖x‖≤δ和t∈[1,e],都有‖F(xiàn)(t,x)‖=sup{|w|:w∈F(t,x)}≤φδ(t),則F是L1-Caratheodary。

定義1.8[15]設(shè)X為Banach空間,若對(duì)于映射T:E?X→X,T連續(xù)且滿足條件:對(duì)每個(gè)有界子集Ω?E,均有γ(TΩ))≤k(Ω),則稱T為k-集壓縮映射(k≥0)。對(duì)于k<1的k-集壓縮映射稱為嚴(yán)格k-集壓縮映射。特別地,全連續(xù)映射是0-集壓縮映射,因此是嚴(yán)格k-集壓縮映射。

引理1.2[16]設(shè)X為Banach空間,令F是一個(gè)多值映射,滿足

F:[1,e]×R→Pcp,c(C)是L1-Caratheodary

令Θ:L1([1,e],R)→C([1,e],R)是一個(gè)連續(xù)線性算子,則

Θ。SF:C([1,e],R)→Pcp,c(C([1,e],R)),x→(Θ。SF)(x)=Θ(SF,x)

是C([1,e],R)×C([1,e],R)中的一個(gè)閉圖算子。其中C([1,e],R)表示[1,e]→R上的連續(xù)函數(shù)。

引理1.3[16]若Θ是上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)Θ存在一個(gè)閉圖象,即xn→x*,yn→y*,yn∈A(xn),有y*∈A(x*)。

(1)對(duì)?x∈?EΩr∩C,x?F(x);

(2)對(duì)?h∈F(x),x∈?EΩL∩C,有‖h‖>‖x‖;

(3)對(duì)?h∈F(x),x∈?EΩr∩C,有‖h‖≤‖x‖;

(4)對(duì)?h∈F(x),x∈?EΩQ∩C,有‖h‖≥‖x‖。

其中,Ωr={x∈E:‖x‖

為方便下文討論,給出下列記號(hào):

設(shè)E=(C[1,e],‖·‖),范數(shù)定義為

顯然K是E上的一個(gè)錐。

定義算子

A:K→Pcp,c(C[1,e]),

下面給出本文假設(shè)條件如下:

(H1)函數(shù)F:[1,e]×[0,∞]→Pcp,c([0,∞))是L1-Caratheodary,并且有非空的緊凸值。

(H2)存在一個(gè)不減函數(shù)φ:[0,∞]→(0,∞)和一個(gè)函數(shù)p∈L2([1,e]→R+),使得

‖F(xiàn)(t,x)‖p:sup{|w|:w∈F(t,x)}≤p(t)φ(‖x‖)

(H3)存在η∈C[1,e],η(t)>0,有

‖F(xiàn)(t,x)‖q:inf{|w|:w∈F(t,x)}≥η(t)φ(‖x‖)

(H4)存常數(shù)r>0,使得

(H5)存在ξ∈[1,e],0

(H6)存在ζ∈[1,e],0

為了得到微分包含邊值問(wèn)題(1)的正解的存在性定理,先證明下面的引理:

引理1.5假設(shè)條件(H1)和(H2)成立,則算子A是一個(gè)上半連續(xù)的全連續(xù)算子。

證明第1步,A將E的有界集映射成為E中的有界集。

令Br={x∈E:‖x‖≤r}是K中的有界集。對(duì)于t∈[1,e],x∈Br時(shí),f∈SF,x,令

則對(duì)t∈[1,e],由條件(H2)有

故當(dāng)t∈[1,e]時(shí)有

從而A(Br)是一致有界的。

第2步,A是將有界集合映射到等度連續(xù)集。

令t1,t2∈[1,e]且t1

利用Lebesgue控制收斂定理知,當(dāng)t1→t2時(shí),有

因此,當(dāng)t1→t2時(shí),|h(t2)-h(t1)|→0,即A是等度連續(xù)的。由Ascoli-Arzelad定理,A是全連續(xù)的。

第3步,A存在一個(gè)閉圖,令xn→x*,hn→h*,hn∈A(xn),要證h*∈A(x*)。對(duì)于hn∈A(xn),則存在fn∈SF,xn,使得

定義線性算子:

Θ:L1([1,e],[0,∞))→C([1,e],[0,∞))

又因?yàn)閔n(t)∈Θ(SF,xn),xn→x*,hn→h*。由引理1.2知,Θ是閉圖象算子,故h*∈Θ(SF,x*),即存在f*∈SF,x*,滿足

再由引理1.3知,A是上半連續(xù)的。

綜上,A是一個(gè)上半連續(xù)的全連續(xù)算子。

2 主要結(jié)果

定理2.1若假設(shè)條件(H1)-(H6)都成立,則(1)至少存在兩個(gè)正解。

證明由引理1.5知A是一個(gè)上半連續(xù)的全連續(xù)算子,下面只需要證明A滿足引理1.4的所有條件,即可證明(1)至少存在兩個(gè)正解。

首先證明,A:K→Pcp,c(K),任給的x∈K,h∈A(x),那么存在w∈SF,x,有

又因?yàn)镕:[1,e]×[0,∞)→Pcp,c([0,∞)),因此,當(dāng)t∈[1,e]時(shí)

故有h∈K。即A:K→Pcp,c(K)。

下證,對(duì)?x∈?EΩr∩K,x?A(x)。用反證法,假設(shè)存在x∈?EΩr∩K,t∈[1,e],使得x∈A(x),‖x‖=r,存在w∈SF,x,利用H?lder不等式,有

故與假設(shè)(H4)矛盾。

其次證,對(duì)?h∈A(x),x∈?EΩL∩K,有‖h‖>‖x‖。任意x∈?EΩL∩K,則‖x‖=L。任意x∈K,存在w∈SF,x,當(dāng)t∈[1,e],使得

由條件(H3)和(H5)可知

再證對(duì)?h∈A(x),x∈?EΩr∩K,有‖h‖≤‖x‖。任意x∈?EΩr∩C,則‖x‖=r。任意x∈K,存在w∈SF,x,t∈[1,e],使得

由條件(H2)和(H4)可知

由ξ∈[1,e]的任意性有‖h‖≤‖x‖。

最后證明,對(duì)?h∈A(x),x∈?EΩQ∩K,有‖h‖≥‖x‖。任意x∈?EΩQ∩K,則‖x‖=Q。任意x∈K,存在w∈SF,x,t∈[1,e],使得

由條件(H2)和(H6)知,

由ζ∈[1,e]的任意性有‖h‖≥‖x‖。

3 例子

為了說(shuō)明我們主要結(jié)果的有效性,下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

(2)

其中α=0.7,λ=0,d=1。F:[1,e]×R→Pcp,c(R)的多值映射:

對(duì)于f∈F(t,x),有

因此,

計(jì)算知,當(dāng)r>2.20時(shí),滿足

若取r=2.21,存在ξ∈[1,e],當(dāng)0

存在ζ∈[1,e],0

從而邊值問(wèn)題(2)滿足引理2.1的所有條件,故根據(jù)定理2.1,(2)至少存在兩個(gè)正解。

4 總結(jié)

本篇文章結(jié)合前人有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性研究,將單值推廣到多值,再利用多值映射的壓縮或拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理,研究了一類帶有積分邊值條件的Caputo-Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分包含正解的存在性問(wèn)題,最后舉出一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明結(jié)果的有效性。正解相比較一般的解更具有實(shí)際意義,而實(shí)際生活中問(wèn)題復(fù)雜且受到多種因素的干擾,對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分包含模型的建立和正解的存在性研究造成很多困難,因此如何更有效的尋找到分?jǐn)?shù)階微分包含的正解有待進(jìn)一步的探究。