從數(shù)學錯題中獲得的教學啟示

俞鴻雁

【摘? 要】學生在數(shù)學作業(yè)中出現(xiàn)錯誤是一個不可避免的現(xiàn)實，教師不但要理解學生的錯題具有提高學生學習數(shù)學的興趣、加深對知識的理解、提高學習能力的價值，更要從中獲得針對基礎(chǔ)知識不牢、受思維定勢的影響、對問題理解的片面性及解題思路不廣，缺乏靈活應(yīng)變能力等錯誤原因產(chǎn)生的教學啟示，達到物盡所用的目的。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學錯題；錯題原因；教學啟示

一、問題的提出

學生作業(yè)是學生吸收和消化新知識的一個重要環(huán)節(jié)，是學生對已學知識掌握程度反饋給教師的一條主渠道。小學生是以形象思維為主，而數(shù)學又恰恰是一門邏輯性很強的學科，這就使他們在學習數(shù)學時感到困難。因此，在學習數(shù)學的過程中，出錯是難免的。教師要求學生一學就會，一做就對是不現(xiàn)實的，從某種意義上來講出錯是學生的“權(quán)利”。

可在現(xiàn)實中，并不是每一位數(shù)學教師都抱著這種心態(tài)看學生的錯誤。有的教師見不得學生作業(yè)中出錯，這種恨鐵不成鋼的心情是可以理解的。但在學生出錯后去苛責，為了節(jié)約時間直接給學生提供正確答案，以為正確的答案就會代替學生原先錯誤的認識是不可取的。或者在學生出錯后，教師通過不斷地練習，反復地鞏固等機械練習的方式加以重復訓練，這樣只能使學生知其然，而無法知其所以然，下次遇到同類型的題目還會出錯。

教師對學生作業(yè)中的錯誤的不正確的態(tài)度，在一定程度上造成了部分學生害怕出錯，稍有錯誤就會懊悔不已，生怕因為自己的錯誤而使自己好學生的形象在老師心目中大打折扣。比如當班級學生正在集體做數(shù)學作業(yè)，教師巡視課堂時，突然停在了一位同學身邊，這位同學可能前一分鐘還思路清晰，當意識到老師在看他答題時，會慌張得無從下筆，直到老師離開，才漸漸恢復正常的思維。

面對這樣的現(xiàn)實，教師要善待作業(yè)中出現(xiàn)錯誤的學生，如果處理不當，就會挫傷學生學習數(shù)學的積極性和自信心。教師保護學生的自信、培養(yǎng)學生的自信，要花費很大力氣，下很大功夫，而挫傷他們的自信心只在瞬間。因而教師對待學生的錯誤不能大驚小怪、不能生氣急躁，一定要少責備多鼓勵、少埋怨多幫助，避免學生對學習數(shù)學產(chǎn)生焦慮的心理。

二、數(shù)學錯題的價值

盡管學生在作業(yè)中出錯說明學生在掌握、理解或運用所學數(shù)學知識解決新問題的過程中存在著偏差，但教師也要善于看到學生作業(yè)中錯題的價值。

（一）錯題可提高學生學習數(shù)學的興趣

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們：“跳一跳，夠得著”的學習目標最有吸引力。當學生遇到的題目簡單到人人都會做，題題都全對時，他們會覺得這樣的題目毫無挑戰(zhàn)性，即使全做對了也沒有成就感。這就是為什么學生普遍不喜歡做計算題的原因，他們覺得計算題沒有太多思維上的挑戰(zhàn)，即便因粗心做錯了也能自行改正。相反，如果遇到有一定難度、但能通過自己的思考嘗試解決的題目，學生會以高度的熱情追尋答案。當看到通過自己的思考得出的答案居然做錯時，學生會有尋根究底的心理，此刻對這道題的求解方法會表現(xiàn)出極大的學習興趣。因此，要想調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，不是通過全對的題目，也不是難得無從下手的題，“跳一跳，夠得著”的錯題最有吸引力。所以，當學生數(shù)學作業(yè)中出現(xiàn)錯誤后，教師不要一味地責怪、批評，而應(yīng)加以引導，讓學生從思想上覺得這道題是自己“跳一跳，夠得著”的。這樣學生就不會出現(xiàn)怕出錯的負面情緒及挫折感，相反學生學習數(shù)學的興趣會得到很大的提高，在這樣和諧的師生關(guān)系下，進一步提升了學生學習數(shù)學的興趣。

（二）錯題可加深學生對知識的理解

錯題其實是暴露了學生學習中的問題，如果大部分學生在作業(yè)中出現(xiàn)某道題同時出錯，就說明這一題可能涉及知識上的難點或極易混淆的內(nèi)容，教師需要深入地講解讓學生對這一知識的深刻理解。如果只是少數(shù)同學出錯，就說明這些同學對這一知識還沒理解，需要教師對他們進行單獨輔導，讓他們及時補上知識的“漏洞”。如果學生作業(yè)中的錯題能挖掘到教學資源，此時需要教師適當引導，讓錯題成為學生知識的生長點，從而讓學生進一步意識到問題的本質(zhì)，成為新知識的起點。如果某位學生作業(yè)中出錯的地方不是因為不理解，只是看錯題、算錯等粗心問題，那么被批改出“錯誤”的經(jīng)歷會給這位學生留下“難忘”的印象，所謂“一朝被蛇咬，十年怕井繩”，以后做題他會小心翼翼地避免再出現(xiàn)同樣的問題，在一次次錯題中積累的答題習慣會讓學生印象深刻、受益終身。

（三）錯題可提高學生的學習能力

如果學生錯題的原因是基礎(chǔ)知識不足或頓悟思維受阻，這些錯誤的出現(xiàn)反映了學生的學習能力還有待提高，教師要有意識地運用學生的錯誤培養(yǎng)學生相應(yīng)的能力。如當學生在作業(yè)出現(xiàn)錯誤后，給學生創(chuàng)設(shè)一個自主探究問題的情境，讓學生能夠在自主探究的過程中發(fā)現(xiàn)自己某些方面的不足或知識的欠缺，從而去探索解決問題的正確途徑，這是提高學生自主糾錯及獨立思考能力的重要途徑。其次錯誤一般會發(fā)生在事物的轉(zhuǎn)折處，會起著舉足輕重的作用，學生的錯題也是如此。他們每遇到一道錯題就會增加一次打破和超越自己的機會。如果學生能攻克錯題，并能在下次遇到類似情況時也能用同樣的思維方式解決它，學生的思維就會呈現(xiàn)螺旋上升的狀態(tài)。另外，善用學生的錯誤還能培養(yǎng)學生的反思能力。因為學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復練習得到糾正，它必須是一個自我否定、自我完善和改正的過程，即學生在意識到自己的錯誤之后，進行自我反省，內(nèi)心深處將正反兩個答案進行比較、篩選、辨認出正確答案。如果能從本質(zhì)上肯定正確答案，否定錯誤答案，這就說明學生對自己的思維進行了周密而又批判性的反思。

三、學生的數(shù)學錯題原因及教學啟示

對學生的錯題有了正確認識的基礎(chǔ)上，就要認真分析學生的這些錯題屬于哪種類型，知道學生錯題的原因才能有的放矢，尋找教學的著力點，從而達到物盡所用。

（一）基礎(chǔ)知識掌握不牢

認知心理學認為：人在獲得知識的過程中，既會受到個人先天傾向的影響，也會受到個人已獲得知識的影響。小學生的數(shù)學學習也不例外。學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)就是他們通過不斷的數(shù)學學習在大腦中形成一個知識網(wǎng)絡(luò)。如果學生掌握的知識不夠牢固，那么他們就不能把所學的知識與題目聯(lián)系起來，也就無法運用所學的知識解決問題，從而導致錯誤。

教學啟示：重視基礎(chǔ)知識的教學，幫助學生在頭腦中形成“點”“鏈”和“網(wǎng)”的知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學知識具有連續(xù)性，但由于課時安排的時間限制，只能以知識點的形式分散到每一節(jié)課進行教學。但教師要努力將新舊知識聯(lián)系起來，使學生頭腦中形成“點”“鏈”和“網(wǎng)”的知識結(jié)構(gòu)。比如學習“分數(shù)的基本性質(zhì)——分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變”時，可以與之前學習的“除法中商不變的規(guī)律——被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變”比較，同時啟發(fā)學生思考根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，可以怎樣化簡分數(shù)。這樣的教學才能使學生不但知其然，而且知其所以然。

（二）受思維定勢的影響

學生在加工處理信息時幾乎不需要關(guān)注的加工叫作自動化加工，信息的類型和以往的經(jīng)驗決定了這種信息需要關(guān)注。有時即使某種信息的加工在一開始時需要很多的關(guān)注，但練習可以減少所需的關(guān)注，對于自動化加工的回憶，不會因為教學和練習的量而有所改進，也不會因為年齡的增長而有所不同。自動化加工信息一般來說對學生的學習是有用的，因為它騰出了一些心理資源解決其他問題，然而當給定的問題像一個典型問題，但卻需要與典型問題截然不同的解法時，自動化過程就會帶來害處。

教學啟示：通過設(shè)計變式的題目，學生能透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)。如做這樣一道工程問題：要生產(chǎn)420個零件，甲獨做要4小時，乙獨做要6小時，甲乙兩人同時合做這批零件要幾小時？學生能輕易算出答案是2.4小時。但如果把這道題目改一個條件，把“420個”零件改為“210個”，不少學生會很快得出1.2小時，大多數(shù)人是這么想的：工作總量由420個變?yōu)?10個，減少了一半，時間自然也該減少一半。但實際上這里的工作效率也發(fā)生了變化。所以通過這樣的變式練習，可以使學生深刻理解這里的合作時間其實與工作總量無關(guān)。

（三）對問題理解的片面性

數(shù)學知識既有相互聯(lián)系的一面，又有彼此區(qū)別的一面，區(qū)分不清、張冠李戴，是有些學生在數(shù)學學習中經(jīng)常出現(xiàn)的一種現(xiàn)象。造成這種現(xiàn)象的根本原因，往往是因為概念不清、分辨能力不強，表現(xiàn)出因粗心大意而錯的感覺，其實并非如此。學生出現(xiàn)這些錯誤主要有兩方面的原因，一是學生自身的原因，二是教師在教學中不夠重視的原因。

教學啟示：重視基本概念的深度理解。如這樣一個錯誤：有兩根繩，第一根繩長2米，第二根比第一根繩長，第二根長﹙ ﹚米。這道題的正確答案應(yīng)該是2.5米，而如此簡單的題目竟然會有不少同學把答案寫成米。原因很簡單，這些學生把長“”看成了長“米”了。這似乎是審題錯誤，沒有看清是否有單位名稱造成的。除了自身注意分配不當?shù)脑?，其實大部分同學做錯是由于不理解分數(shù)的意義造成的。追根究底是因為教師在教學分數(shù)的過程中，只停留在指出：單位“1”可以是一個物體，可以是一個整體，也可以是一個計量單位。如果在建立分數(shù)概念時，能進一步將米及時地進行區(qū)分和對比，就能避免上述問題的發(fā)生。

（四）解題思路不廣，缺乏靈活應(yīng)變能力

學生在解一些綜合性較強的題目時，有時不僅需要掌握所學的知識，還需要其根據(jù)題目實際情況靈活應(yīng)變。而對一些解題思路不廣、缺乏靈活應(yīng)變能力的學生來說，往往不善于運用這些方法，因為不能清晰地捕捉到解決問題的相關(guān)信息，也就無法答對題目。

教學啟示：激發(fā)學生拓寬思維、積極嘗試新方法。如在學習完成圓的面積公式S=πr2后出這樣一道題：圓內(nèi)最大的正方形的面積是25平方厘米，求出圓的面積。在這題中不少學生覺得無法求出r的值，被難住了。這題應(yīng)啟發(fā)學生連接正方形對角線，從而把正方形分成四個大小相等的小三角形。先求出小三角形的面積，然后用x2求出以半徑為邊長的小正方形的面積，也就是已經(jīng)求出了r2，此處學生只需根據(jù)圓的面積公式，將以上的結(jié)果乘以3.14，圓的面積就出來了。但不少學生的思路是利用三角形的面積公式，反過來求三角形的底或高，也就是在他們的頭腦中一定要求出r的值，可這道題中的x2不是完全平方數(shù)，r是求不出來的。所以在平時教學中首先要引導學生讀題后選擇有用的信息，排除一些無關(guān)緊要信息的干擾；其次要明確哪些信息是有用的，將其適當組合；最后將這些信息與原有認知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學知識進行比較，判斷可與哪些知識建立聯(lián)系，能利用已有知識分析新問題，從而產(chǎn)生解決問題的新思路。

【參考文獻】

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