QBD 矩陣方程的最小非負(fù)解

趙曉潞，關(guān)晉瑞，常帥

（太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西 晉中 030619）

QBD 矩陣方程是指如下形式的一類二次矩陣方程

其中A0、A1和A2是m階的非負(fù)矩陣，A0≠0，A2≠0且A0＋A1＋A2為行隨機矩陣，即

這里e是每一個分量均為1的列向量.QBD方程在排隊論、控制理論、精算科學(xué)、概率論、運籌學(xué)和模擬現(xiàn)實問題中具有廣泛的應(yīng)用［1－5］.QBD矩陣方程最典型的例子來自準(zhǔn)生滅過程，具體細(xì)節(jié)可參考文獻［2］.

近年來，人們對QBD 方程的理論和數(shù)值解法進行了深入的研究，并得到大量的研究成果［6－22］.在實際應(yīng)用中，人們關(guān)心的只是方程（1）的最小非負(fù)解，文獻［2］和［22］對最小非負(fù)解的存在性和有關(guān)性質(zhì)進行了詳細(xì)的分析.在數(shù)值解法方面，目前常見的方法有不動點迭代法、牛頓迭代法、L－R 算法、C－R 算法、保結(jié)構(gòu)加倍算法等.LATOUCHE［6］針對馬爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的，提出一種對數(shù)約簡迭代算法，并證明算法具有二次收斂性.LATOUCHE［7］提出一種應(yīng)用在一類無限馬爾可夫鏈上的非線性矩陣方程的特殊算法，并通過牛頓法對其進行轉(zhuǎn)換.HE等［14］分析離散擬生死馬爾可夫鏈隨機矩陣X的計算問題，提出一種移位循環(huán)約簡算法，并證明改進算法的收斂速度總是快于原循環(huán)約簡算法的收斂速度.GUO 對QBD方程是否存在最小非負(fù)解X進行了詳細(xì)研究，分別在文獻［15］中證明L－R 算法在零循環(huán)QBD 中的高效性，在文獻［16］中提出可運用移位循環(huán)約簡算法去求解離散QBD 過程中相關(guān)的隨機矩陣G，并指出該算法在零循環(huán)QBD 下具有二次收斂性.CHEN等［22］提出求解準(zhǔn)生滅過程中最基本二次矩陣方程的高精度加倍算法，并證明這種算法可以求解出QBD 方程的最小非負(fù)解.特別是，作者還證明在Ι－Α0－Α1－Α2是非奇異的M－矩陣或者不可約奇異的M－矩陣情況下，QBD 方程存在唯一的最小非負(fù)解.

綜上所述，當(dāng)I－A0－A1－A2是非奇異的M－矩陣或者不可約奇異的M－矩陣，QBD 方程存在唯一的最小非負(fù)解，且有較多有效的數(shù)值解法.而當(dāng)I－A0－A1－A2是正則可約奇異M－矩陣時，QBD 方程是否存在最小非負(fù)解目前并沒有文獻給出，也沒有對相應(yīng)的QBD 方程進行理論分析，但這種情形在實際應(yīng)用中也是經(jīng)常出現(xiàn)的.因此，QBD 方程在I－A0－A1－A2是正則奇異M－矩陣的條件下的理論分析和數(shù)值算法亟須研究.本文針對I－A0－A1－A2是正則M－矩陣進行了研究，并證明QBD 方程此時仍存在最小非負(fù)解，最后通過幾個例子進行了驗證.

1 預(yù)備知識

下面介紹本文的符號、記法以及一些預(yù)備知識.

設(shè)A＝（aij）∈m×m，若對于任意的i，j≥0都有aij≥0（aij＞0）成立，則稱A為非負(fù)矩陣（正矩陣），記為A≥0（A＞0）.設(shè)A＝（aij）∈m×m，若對于任意的i≠j都有aij≤0成立，則A稱為Z－ 矩陣.顯然，任意Z－ 矩陣都可以表示為A＝sI－B的形式，其中B為非負(fù)矩陣.若進一步有s≥ρ（B）成立，則稱該A矩陣為M－ 矩陣.特別是，當(dāng)s＞ρ（B）時，稱A為非奇異的M－ 矩陣，當(dāng)s＝ρ（B）時，稱A為奇異的M－ 矩陣.

定義1［23］設(shè)A∈n×n為M－ 矩陣，若存在正向量u＞0，使得Au≥0，則稱A為正則M－ 矩陣.

引理1［24］設(shè)A∈n×n為Z－ 矩陣，則下面幾個結(jié)論等價.

（a）A是非奇異的M－ 矩陣.

（b）A－1≥0.

（c）存在正向量v＞0使得Av＞0.

（d）A的特征值都具有正實部.

引理2［22］設(shè)A∈m×m是一個非負(fù)矩陣.

（a）譜半徑ρ（A）是A的一個特征值.如果A也是不可約的，則ρ（A）是一個簡單特征值并且是正的.

（b）存在與特征值ρ（A）相關(guān)的非負(fù)右特征向量x和非負(fù)左特征向量y：

如果A也是不可約的，則x＞0，y＞0.

（c）設(shè)B∈n×n，若B≥A，則ρ（B）≥ρ（A）.若B也不可約且B≠A，則ρ（B）＞ρ（A）.

（d）當(dāng)x＞0時，若Ax≤βx，則ρ（A）≤β.另外，如果Ax≠βx，則ρ（A）＜β.

（e）如果x是A的正特征向量，那么x對應(yīng)于ρ（A）.

引理3［22］設(shè)I－A0－A1－A2是非奇異的M－矩陣或者不可約奇異的M－矩陣，則方程（1）存在最小非負(fù)解.

2 QBD 方程的最小非負(fù)解

本節(jié)將證明當(dāng)I－A0－A1－A2為正則M－矩陣時，QBD 方程（1）存在最小非負(fù)解，并給出最小非負(fù)解的若干性質(zhì).

定理1設(shè)I－A0－A1－A2為正則M－矩陣，則方程（1）存在最小非負(fù)解.

證明（i）考慮下面的迭代

則由迭代格式（2）得到一個矩陣序列｛Xk｝.下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明序列｛Xk｝單調(diào)遞增且有上界.

當(dāng)k＝0時，X1＝A0≥X0，不等式成立.假設(shè)k＝l時結(jié)論成立，則當(dāng)k＝l＋1時

故序列｛Xk｝單調(diào)遞增.

因為I－A0－A1－A2為正則M－矩陣，于是存在v＞0，使得（I－A0－A1－A2）v≥0，即（A0＋A1＋A2）v≤v.

利用歸納法證明Xkv≤v.當(dāng)k＝0時，X0v＝0≤v，不等式成立.假設(shè)k＝l時不等式成立，則當(dāng)k＝l＋1時，

于是Xkv≤v成立.

（ii）根據(jù)上述分析，｛Xk｝單調(diào)遞增且有上界，于是存在極限，設(shè)＝X，在方程兩端取極限可得X＝A0＋A1X＋A2X2，于是X為方程（1）的非負(fù)解.設(shè)H為方程（1）的任意一個非負(fù)解.利用歸納法不難驗證由迭代格式（2）得到矩陣序列滿足Xk≤H，于是＝X≤H.因此X為方程（1）的最小非負(fù)解.證畢.

引入（1）的對偶方程

方程（3）與方程（1）有所不同，因為A0與A2的角色互換，現(xiàn)在假設(shè)I－A0－A1－A2為正則M－矩陣，則定理1也適用于對偶方程，特別是，這個對偶方程也有一個唯一的最小非負(fù)解，記為Y.

定理2設(shè)I－A0－A1－A2為正則M－矩陣，X和Y分別為方程（1）和（3）的最小非負(fù)解，則下述結(jié)論成立：

（a）0≤X1＝A0＋A1X0＋A2≤X，0≤Y1＝A2＋A1Y0＋A0≤Y.

（b）ρ（X）≤1，ρ（Y）≤1.

證明由定理1的證明可得（a）.

對于（b），當(dāng)I－A0－A1－A2為正則M－ 矩陣時，由定理1 可知存在一個非零非負(fù)向量v，使Xkv≤v，＝X，因此Xv≤v.根據(jù)引理2（d），可得ρ（X）≤1.

同理，對于對偶矩陣方程（3），其譜半徑也滿足ρ（Y）≤1.證畢.

3 實例驗證

本節(jié)給出3個例子對本文的理論結(jié)果進行驗證，這3個例子均是屬于正則可約奇異的情形.在現(xiàn)有的文獻中，關(guān)于方程的最小非負(fù)解并沒有相應(yīng)的結(jié)論.但根據(jù)我們前面的定理，可以得出方程存在最小非負(fù)解.

例1 考慮QBD 方程（1），其中

這里I－A0－A1－A2是正則可約奇異的M－矩陣.根據(jù)定理1方程（1）存在最小非負(fù)解，且最小非負(fù)解為

例2［4］考慮QBD 方程（1），其中

這里I－A0－A1－A2是正則可約奇異的M－矩陣，且方程的最小非負(fù)解為

例3［4］考慮QBD 方程（1），其中

這里I－A0－A1－A2是正則可約奇異的M－矩陣，不難驗證方程的最小非負(fù)解為

通過上述3個例子可知，當(dāng)I－A0－A1－A2為正則可約奇異M－矩陣時，QBD 方程仍存在最小非負(fù)解，且最小非負(fù)解的譜半徑均為1.