NDSDD 矩陣逆的無窮大范數(shù)上界

敖地珍，劉蘭蘭，劉艷

（貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550000）

H－矩陣在數(shù)學研究中有著非常重要的作用，特別是非奇異H－矩陣逆的無窮范數(shù)的上界可以用于矩陣分裂的收斂性分析，以及求解大稀疏性線性方程的矩陣多分裂迭代方程.近年來，H－矩陣逆的無窮大范數(shù)上界估計得到廣泛的關注和研究.NDSDD矩陣是在文獻［1］中定義的一類新的H－矩陣，目前對這個矩陣的研究還比較少.本文主要討論了它的無窮大范數(shù)問題的上界，當A是NDSDD矩陣，C是一般矩陣時，給出上界.特別是當C為單位矩陣時，得出的上界.

1 預備知識

在整個文章中，將使用以下符號.

首先介紹嚴格對角占優(yōu)（SDD）和（DSDD）矩陣等常用定義.

定義1［2］設A＝［aij］∈n×n，對于任意的i∈N，都有

則稱A是SDD嚴格對角占優(yōu)矩陣.

定義2［2］設A＝［aij］∈n×n，對于任意的i∈N，

則稱A是DSDD嚴格雙對角占優(yōu)矩陣.

文獻［3］證明SDD矩陣和DSDD矩陣是H－矩陣的子類，文獻［1］中提出一個新的H－矩陣的子類.然而，文獻［1］中并未對該矩陣命名，本文稱它為NDSDD矩陣，定義如下.

定義3［1］設矩陣A＝［aij］∈n×n，n≥2對于任意的i∈N，

則稱A是NDSDD矩陣.

顯然，SDD矩陣包含NDSDD矩陣，即｛SDD｝｛NDSDD｝.以下的例子說明反包含不成立，即｛NDSDD｝｛SDD｝不成立.

定義4［4］設A＝［aij］∈n×n，若A的比較矩陣μ（A）＝［μij］，

是M－矩陣，［μ（A）］－1＞0，則A是一個H－ 矩陣.

文獻［4］表明若A是一個H－矩 陣，則［μ（A）］－1＞｜A｜－1，這里A≤B是指aij＜bij，｜A｜＝［｜aij｜］∈n×n，i，j∈N.

此外，NDSDD矩陣也是H－矩陣的子類，非奇異矩陣逆無窮范數(shù)的上界可用于矩陣分裂的收斂分析以及求解線性方程的矩陣多擬解迭代方法.該上界也可以應用于矩陣［5，6］的最小奇異值.

尋找非奇異矩陣逆的無窮范數(shù)上界的一種傳統(tǒng)方法是利用給定矩陣類的定義和性質，詳見文獻［7－10］.VARAH 首先在文獻［10］中給出SDD矩陣逆的無窮范數(shù)的上界.

定理1［10］如果A＝［aij］∈n×n是一個SDD矩陣，那么

然而，如果｜aii｜－ri（A）較小，則Varah界可能產生較大的值.2020年，基于Schur補，LI［11］得到SDD矩陣逆無窮范數(shù)的兩個上界.對SDD矩陣逆的無窮范數(shù)的每個界，利用DSDD矩陣的定義和性質，文獻［9］中得到DSDD矩陣A的的上界如下.

定理2［11］如果A＝［aij］∈n×n是一個DSDD矩陣，那么

2 主要結果

下面結合NDSDD的定義和無窮范數(shù)的計算技巧［12－14］，給出當A是NDSDD矩陣時，的上界以及當A是NDSDD矩陣，A是一般矩陣時，的上界.

定理3設A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩陣，則

因此矩陣B是DSDD矩陣.由定理2可知

定理4設A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩陣，C＝［cij］∈n×m則

證明因為A＝［aij］∈n×n是一個NDSDD矩陣，所以A是H－矩陣，因此［μ（A）］－1＞｜A｜－1，設

推論1設A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩陣，取C為n階的單位矩陣，得到的結果如下：

3 數(shù)值算例

下面給出數(shù)值算例，對上述的理論進行說明.

例2 考慮以下的NDSDD矩陣及一般矩陣

通過計算可得出

所以可以得出矩陣A是一個NDSDD矩陣，故

例3 考慮以下的NDSDD矩陣

通過計算可得出