帶固定效應(yīng)半變系數(shù)面板數(shù)據(jù)EV模型的約束估計(jì)

趙瑞，何幫強(qiáng)

（安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

面板數(shù)據(jù)是在不同時(shí)期跟蹤由給定個(gè)體組成的樣本而獲取的數(shù)據(jù)集.在面板數(shù)據(jù)中存在兩種信息：反映在對(duì)象之間的差異中的橫截面信息以及反映在對(duì)象內(nèi)隨時(shí)間變化的時(shí)間序列或?qū)ο髢?nèi)信息.面板數(shù)據(jù)模型是大量學(xué)者研究的重點(diǎn).在面板數(shù)據(jù)中，可以用橫截面虛擬變量來控制橫截面的異質(zhì)性，此虛擬變量就是個(gè)體固定效應(yīng).研究帶固定效應(yīng)的半?yún)?shù)模型面板數(shù)據(jù)模型是面板數(shù)據(jù)分析的重要內(nèi)容.SU［1］利用Profile最小二乘法，對(duì)具有固定效應(yīng)的部分線性面板數(shù)據(jù)模型進(jìn)行論證.HU［2］基于多元局部線性擬合以及剖面似然方法，建立半變系數(shù)固定效應(yīng)估計(jì)量及其漸近性質(zhì).XU等［3］基于對(duì)變量的最近鄰差分，提出一種估計(jì)半變系數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的簡(jiǎn)單方法.

帶固定效應(yīng)的半變系數(shù)面板數(shù)據(jù)模型一般形式如下：

其中，Yit代表響應(yīng)變量，Xit、Zit和Git為協(xié)變量，β＝（β1，β2，…，βp）τ代表p維的未知參數(shù)，α（·）＝（（α1（·），α2（·），…，αq（·））τ為q維未知光滑系數(shù)函數(shù)，Υi為不可觀測(cè)的固定效應(yīng)，εit為相互獨(dú)立的隨機(jī)誤差項(xiàng).基于（Xit，Zit，Git）給定的前提，E（εit｜Xit，Zit，Git）＝0，Var（εit）＝σ2.出于容易識(shí)別的目的，對(duì)Υi附加＝0的限定，假設(shè)E（Υi）＝0，Var（Υi）＝＞0并同意Υi分別和Xit、Zit及Git有未知相關(guān)聯(lián)系.

無論何種收集數(shù)據(jù)的方式總會(huì)帶來誤差.因此將變量誤差考慮進(jìn)模型中，減少分析結(jié)果的偏差.變量誤差模型形式如下：

其中νit和uit分別是Xit和Zit的變量誤差.假定（Xit，Zit，νit，uit，Git）相互獨(dú)立，且Cov（νit）＝Σν，Cov（uit）＝Σu.其中Σν和Σu已知，若未知可通過反復(fù)測(cè)量Mit和Wit得到.

不僅變量誤差會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果出現(xiàn)偏差，而且實(shí)際應(yīng)用時(shí)的各種約束也會(huì)影響最終結(jié)果.魏傳華等［4］將以下參數(shù)部分的約束條件考慮進(jìn)了半變系數(shù)模型中，

其中，φ與d分別為k×p已知矩陣和k×1的已知向量，并且rank（φ）＝k.ZHANG等［5］研究了約束條件下參數(shù)部分存在變量誤差的半變系數(shù)模型.FENG［6］不僅給出了約束條件下半變系數(shù)模型參數(shù)與非參數(shù)兩部分偏差校正的Profile最小二乘估計(jì)，而且研究了它們的漸近性質(zhì).

在以上學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，在參數(shù)部分有約束的前提下，采用Profile最小二乘方法研究參數(shù)與非參數(shù)部分都有變量誤差的帶固定效應(yīng)半變系數(shù)面板數(shù)據(jù)模型.

1 Profile最小二乘約束估計(jì)

在J→!而T保持不變的情況.首先假設(shè)（Υ，β）已知，那么式（1）改寫為以下形式：

式（4）可通過局部線性回歸法估計(jì)未知光滑系數(shù)函數(shù)（αj（·），j＝1，…，q）.令（·）代表α（·）的一階導(dǎo)，G為G0鄰域內(nèi)一點(diǎn)，對(duì)αj（G）泰勒展開可得

其中，a＝（a1，…，aq）τ，b＝（b1，…，bq）τ.

對(duì)式（6）進(jìn)行最小化處理，即得到α（G）的估計(jì)：

其中，K為核函數(shù)，Kh（·）＝Kh（·／h）／h，h是帶寬.

出于計(jì)算便利的目的，令｛n＝i×t，n＝1，2，…，N｝，下文皆用矩陣形式表示.由式（4）可得

因此未知函數(shù)首次估計(jì)如下：

其中，Γ＝（IJiT）dJ，dJ＝（－iJ－1IJ－1）τ.IJ代表J×J單位矩陣，iJ代表每個(gè)元素都為1的J×1向量，

易得Λ 的首次估計(jì)如下式

將式（7）與式（9）結(jié)合可得

因此β和Υ 的無約束估計(jì)量為

為了解決變量誤差（EV）的問題，結(jié)合文獻(xiàn)［7－8］的思路，

其中，WG為ZG中Zit被Wit替換所得

所以，消除變量誤差影響后的β的無約束估計(jì)量如下：

由此，可得α（G）無約束估計(jì)量

對(duì)于實(shí)際應(yīng)用時(shí)存在的約束也需要考慮進(jìn)模型，因此將式（3）中的約束條件加入式（7），可構(gòu)造出下面的輔助函數(shù)：

其中，η為拉格朗日乘數(shù)，令式（16）分別對(duì)β、η求偏導(dǎo)后等于0，可得

定理1 若第2節(jié)中條件（C1）－（C5）成立，則符合漸近正態(tài)，如

定理2 若第2節(jié)中條件（C1）－（C5）成立，則符合漸近正態(tài)，如

2 主要定理證明

為了方便計(jì)算，令

為了證明以下定理，需要先假設(shè)一些條件，（C1）－（C5）都是容易得到的條件.

（C1）｛αj（·），j＝1，2，…，q｝，滿足二階連續(xù)可導(dǎo).

（C2）存在＞2，使得E‖Z‖＜，E‖X‖＜；對(duì)l＜2－－1，使n2l－1h→.

（C3）K（·）代表對(duì)稱的核密度函數(shù)，同時(shí)具有緊支撐，帶寬h滿足nh8→0，nh2／（logn）2→0.

（C4）隨機(jī)變量G有有界支撐R，它的密度函數(shù)f（·）不僅在支撐上不等于0 同時(shí)滿足Lipschitz連續(xù).

（C5）任一G∈R，Σ1與Ψ（G）為非奇異矩陣，E（ZXτ｜G），E（XXτ｜G）－1以及E（XZτ｜G）都滿足Lipschitz連續(xù).

首先給出引理1～3，用于證明定理.

引理1 若條件（C1）－（C5）成立，則

證明只需一些簡(jiǎn)單計(jì)算，即可證明引理1，此處省略細(xì)節(jié).

引理2 若條件（C1）－（C5）成立，則

其中j，j1，j2＝1，2，…，q；為Ψ 的（j1，j2）分量.

證明該引理的證明類似于XIA等［9］中的引理A2，此處省略細(xì)節(jié).

引理3 若條件（C1）－（C5）成立，則

引理3證明完畢.

定理1的證明

通過式（14），有

結(jié)合Slutsky定理與引理3，即可得到

定理1證明完畢.

由式（2）與式（18）可知

定理2證明完畢.