CFC-分數(shù)階微分方程邊值問題的Lyapunov不等式研究

馬德香，張瑞琦

（華北電力大學 數(shù)理學院，北京 102206）

0 引言

隨著分數(shù)階微分方程在生物、化學、工程中的應用，各種不同定義的分數(shù)階導數(shù)由此產(chǎn)生，相應的分數(shù)階微分方程邊值問題的Lyapunov 不等式的研究成為熱點。

在文獻［1］中研究了下列分數(shù)階微分方程邊值問題，

在文獻［2］中研究了下列分數(shù)階微分方程邊值問題，

關于不同分數(shù)階導數(shù)的定義詳見文獻［3-14］。

最近文獻［15］中研究了下列分數(shù)階微分方程邊值問題，

在文獻［15］中，同時定義了另一種新型導數(shù)即在左Caputo 和Fabrizio 的意義下的α階左 Caputo分數(shù)階導數(shù)（簡記為CFC-分數(shù)階導數(shù)），并研究了下列分數(shù)階微分方程初值問題

解的存在性；同時給出了下列分數(shù)階微分方程邊值問題

的等價積分方程。

受以上文獻啟發(fā)，本文討論下列分數(shù)階微分方程的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式，

1 相關概念、引理

1.1 相關概念

定義1［16］設α＞0，f是定義在[a，b]上的實值函數(shù)。aIαf表示函數(shù)f的α階左Riemann-Liouville分數(shù)積分，定義為：

其中

定義2［17-18］設α∈(0，1]，f是定義在[a，b]上的實值函數(shù)。表示函數(shù)f的α階Caputo-Fabrizio 分數(shù)階積分，定義為：

其中，B(α)＞0 是一個滿足B(0)=B(1)=1 的函數(shù)。

定義3［15］設α∈(n，n+1]，n≥1，f是定義在[a，b]上的實值函數(shù)。表示函數(shù)f的α階Caputo-Fabrizio 分數(shù)階積分，定義為：

其中，aIn是n階的Riemann-Liouville 分數(shù)階積分，是β(β=α-n∈(0，1])階的Caputo-Fabrizio 分數(shù)階積分。

定義4［15］設α∈(0，1]，f是定義在[a，b]上的實值函數(shù)。表示函數(shù)f的在左Caputo 和Fabrizio 意義下的α階左 Caputo 分數(shù)階導數(shù)（簡寫CFC-分數(shù)階導數(shù)），定義為：

定義5［15］設α∈(n，n+1]，n≥1，f(n)是定義在[a，b]上的實值函數(shù)。表示函數(shù)f的α階CFC-分數(shù)階導數(shù)，定義為：

性質1［15］設α∈(n，n+1]，n≥1，u(t)是定義在[a，b]上的函數(shù)，則

1.2 相關引理

2 主要結果

3 例子

4 結論

本文基于Green 函數(shù)的獲得以及對其性質的研究，得到含有CFC-分數(shù)階導數(shù)的微分方程邊值問題的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式，并討論了相應特征值問題；利用壓縮映射原理證明了相應的非線性問題存在唯一解。豐富了CFC-分數(shù)階微分方程的Lyapunov 和Lyapunov-type 不等式，以及相應非線性問題唯一解的理論，為分數(shù)階方程在數(shù)學、生物、化學等領域的應用提供了理論參考。