井下指令信號(hào)的小波-奇異值分解雙層濾波降噪

霍愛清,王澤文,胥靜蓉,張書涵

(西安石油大學(xué) 電子工程學(xué)院,陜西 西安 710065)

引 言

為了更好地實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)中控制指令向井下的傳輸,需要采用改變鉆井液排量的方法。該方法通過下行通道傳輸“三降三升”脈寬編碼控制指令[1]。憑借井下信號(hào)接收設(shè)備實(shí)現(xiàn)對電機(jī)電壓的采集與檢測,以此獲取與之對應(yīng)的鉆井液排量,然后結(jié)合下傳指令信號(hào)變化的脈沖沿產(chǎn)生的時(shí)間和順序,根據(jù)對5個(gè)指令碼脈沖寬度的解析,最終獲得精準(zhǔn)的下傳控制命令字[2]。但下傳指令信號(hào)的傳輸會(huì)因環(huán)境因素受到干擾而產(chǎn)生噪聲,因此對井下接收的指令信號(hào)進(jìn)行降噪處理成為獲取控制指令的關(guān)鍵技術(shù)。

小波變換以頻率和多尺度分解來描述非平穩(wěn)信號(hào),因其計(jì)算復(fù)雜度低,廣泛應(yīng)用于非平穩(wěn)信號(hào)的降噪[3-4]。從Donoho的小波閾值降噪法[5]可知,即便是對小波變換過程中全局閾值的最優(yōu)值進(jìn)行降噪處理,其結(jié)果的延時(shí)和震蕩也是不可避免的[6]。由于閾值函數(shù)對信號(hào)最終的檢測影響極大,所以,如何選取合適的閾值函數(shù)對于信號(hào)重建和檢測的效果起著至關(guān)重要的作用。此外,一般情況下常用的硬閾值、軟閾值函數(shù)都存在著不連續(xù)、易偏差等問題,這也使得信號(hào)經(jīng)過重構(gòu)后會(huì)發(fā)生局部震蕩,并且容易造成提取信號(hào)的細(xì)節(jié)丟失[7]。多數(shù)研究指出閾值和閾值函數(shù)的不同對降噪效果影響極大[8-9]。傳統(tǒng)的小波閾值去噪法所提出的閾值函數(shù)存在著不連續(xù)、重構(gòu)信號(hào)存在第二類間斷點(diǎn)、軟閾值函數(shù)存在恒定偏差等問題[10]。為此,有學(xué)者提出了一種可以基本消除噪聲的方法,即改進(jìn)分層閾值降噪法,但此方法依舊無法改變下傳信號(hào)出現(xiàn)奇異點(diǎn)和突變點(diǎn)的情況,而這些奇異點(diǎn)和突變點(diǎn)將對脈寬信號(hào)的識(shí)別帶來嚴(yán)重影響[11]。為應(yīng)對這類問題和情況,本文提出了一種基于奇異值分解的雙層濾波降噪法,通過小波降噪與奇異值分解降噪兩種方法的結(jié)合,實(shí)現(xiàn)了對下傳信號(hào)的雙層濾波處理。

1 WT-SVD雙層濾波降噪方法

小波變換與奇異值分解(Wavelet Transform-Singular Value Decomposition,WT-SVD)雙層濾波降噪是基于奇異值分解法的小波降噪方法,為滿足對信號(hào)的降噪需求,采用了小波變換降噪與奇異值分解降噪相結(jié)合的雙重降噪法。其主要步驟分為兩步,第一步先對下傳信號(hào)進(jìn)行小波降噪,第二步通過奇異值分解法再對其進(jìn)行進(jìn)一步的降噪處理。

1.1 小波分層閾值降噪

分層閾值降噪法相較于全局閾值,是基于各層小波系數(shù)的自相關(guān)性確定各層合適的閾值降噪,不會(huì)嚴(yán)重“扼殺”小波系數(shù)和有用信號(hào)的高頻部分,能夠保證信號(hào)的真實(shí)完整性[12]。因此,為了解決硬閾值的不連續(xù)、軟閾值的恒定偏差、全局閾值的延時(shí)和震蕩以及不同尺度噪聲在經(jīng)歷小波分解后導(dǎo)致系數(shù)上存在差異的問題,本文在第一層濾波降噪環(huán)節(jié)采用改進(jìn)分層閾值降噪方法,以此來使得閾值作用過渡平滑[13]。改進(jìn)的閾值函數(shù)如下：

(1)

該表達(dá)式分為以下兩種情況,其一是小波系數(shù)的絕對值相較于臨界閾值更小時(shí),以0作為其對應(yīng)系數(shù),該情況下會(huì)使得其變成常規(guī)閾值函數(shù);與之相反,當(dāng)小波系數(shù)的絕對值相較于臨界閾值較大時(shí),則通過表達(dá)式對其進(jìn)行對應(yīng)的收縮。圖1為軟、硬閾值函數(shù)和改進(jìn)閾值函數(shù)的比較。

改進(jìn)閾值函數(shù)在軟、硬閾值函數(shù)之間,并且在小波域中具有連續(xù)性和靈活性,避免了硬閾值函數(shù)的不穩(wěn)定性和軟閾值函數(shù)的易偏差性等問題[14-15]。

1.2 奇異值分解降噪

奇異值分解(SVD)被認(rèn)為是數(shù)值代數(shù)中最強(qiáng)大的工具之一,并且在各種數(shù)據(jù)處理任務(wù)中取得了巨大的成功[16]。作為一種正交變換,奇異值分解(SVD)實(shí)現(xiàn)了從原始矩陣到對角陣的變換,其特征值反映了矩陣的一些主要特征。作為一種數(shù)據(jù)處理方法,SVD已成功應(yīng)用于信號(hào)去噪,并被證明可以有效避免模態(tài)混疊[17]。奇異值分解降噪法的核心思想是將信號(hào)的信息分量與重構(gòu)矩陣的奇異值關(guān)聯(lián)起來,通過奇異值的大小反映信息分量的大小[18]。奇異值分解在處理信號(hào)數(shù)據(jù)的過程中,主要體現(xiàn)出的是將奇異值大的矩陣信號(hào)進(jìn)行保留,同時(shí)去除奇異值小的矩陣信號(hào),那么如何合理地將小奇異值的信號(hào)分量去除,并且用大的奇異值來復(fù)原原始信號(hào)就變得尤為重要。SVD在保證對噪聲抗干擾能力的同時(shí),能最大程度地保存原始信號(hào)的主要特征信息,而且還能減小信號(hào)的損失,大大提高信號(hào)在被分解處理后的真實(shí)性,最終更準(zhǔn)確地獲得降噪后的信號(hào)[19]。

圖1 軟、硬閾值函數(shù)和改進(jìn)閾值函數(shù)的對比Fig.1 Comparison among soft and hard threshold and improved threshold functions

奇異值分解降噪法的基本步驟為：

(1)利用下傳指令信號(hào)S=(s(1),s(2),s(3),…,s(N))構(gòu)造矩陣E;

(2)對矩陣E進(jìn)行奇異值分解,得到U=Rm×m,Σ∈Rm×n及V∈Rn×n,則E=U·Σ·VT;

(3)為奇異值矩陣Σ選擇更大的奇異值進(jìn)行處理,得到處理后的矩陣Σ*;

(4)利用矩陣U=Rm×m、V∈Rn×n及Σ*重構(gòu)矩陣,得E*=U·Σ*·VT;

(5)由矩陣E*第1行的所有元素和第2行第n列至第m行第n列的元素,構(gòu)造新的數(shù)據(jù)序列S*,即為降噪后的信號(hào)。

在改進(jìn)分層閾值的小波降噪法單獨(dú)作用的情況下可以有效減少噪聲,但依舊不能將信號(hào)中存在的奇異點(diǎn)和突變點(diǎn)消除。為此,本文將改進(jìn)分層閾值降噪與奇異值分解降噪兩種方法相結(jié)合,進(jìn)行雙層濾波降噪處理,以達(dá)到更好的降噪效果。

2 雙層濾波降噪的關(guān)鍵點(diǎn)

將雙層濾波降噪應(yīng)用于信號(hào)處理來降低信號(hào)噪聲的關(guān)鍵環(huán)節(jié)主要包括3個(gè)方面：利用信號(hào)序列構(gòu)造出合適的矩陣,選擇非零奇異值的數(shù)量,以及確定重構(gòu)矩陣的結(jié)構(gòu)。

2.1 重構(gòu)矩陣方法的選擇

重構(gòu)矩陣的方法主要包括連續(xù)截?cái)喾ê虷ankel矩陣法。

(1)連續(xù)截?cái)喾?/p>

對一維信號(hào),每次在連續(xù)n個(gè)點(diǎn)處被m個(gè)段進(jìn)行截取,以構(gòu)建如下矩陣：

(2)

式中：A∈Rm×n,m×n=N,s(k) (k=1,2,…,N)為一維信號(hào)序列。

(2)Hankel矩陣法

Hankel矩陣[20]也稱重構(gòu)吸引子矩陣,它可利用信號(hào)S=(s(1),s(2),s(3),…,s(N))構(gòu)造如下矩陣：

(3)

相對于連續(xù)截?cái)喾ㄔ诰仃囆袛?shù)選取上的限制,Hankel矩陣法在行數(shù)的選取上則有著更多的優(yōu)勢,它不僅可以調(diào)節(jié)構(gòu)造矩陣的行數(shù),而且行數(shù)的選取是任意的,可以取為L=2,…,N-1,使其在設(shè)計(jì)上更為靈活和自由。雖然連續(xù)截?cái)喾ㄔ谛盘?hào)降噪過程中頻率分辨能力很突出,但Hankel矩陣法降噪能力更好。為此本文選取Hankel矩陣法對信號(hào)序列進(jìn)行重構(gòu)。

2.2 奇異值數(shù)量的選擇

奇異值分解法憑借其突出的降噪優(yōu)勢成為了大多數(shù)情況下的降噪選擇,但能否選取合適的奇異值個(gè)數(shù)才是其最為關(guān)鍵的問題。倘若選取的個(gè)數(shù)較多,信號(hào)的降噪效果將大幅度下降;如果選取的個(gè)數(shù)較少,則會(huì)造成信號(hào)失真[21]。所以本文采用不同的方法進(jìn)行奇異值數(shù)量的選擇,比如：①特征均值法;②差分譜法;③奇異值中值法。在經(jīng)過大量的數(shù)據(jù)計(jì)算后可以知道：當(dāng)L≤n時(shí),p=L;當(dāng)L>n時(shí),恒有p=2n。

2.3 重構(gòu)矩陣結(jié)構(gòu)的確定

選取矩陣行數(shù)時(shí),經(jīng)常會(huì)根據(jù)信號(hào)所對應(yīng)的情況試湊,即通過不斷地對每組矩陣的特征進(jìn)行分析實(shí)驗(yàn),來嘗試獲取較好的結(jié)果,但由于該方法計(jì)算量極大,所以對于實(shí)驗(yàn)研究人員的要求極高。

對于下傳指令信號(hào)構(gòu)造出的矩陣E進(jìn)行奇異值分解,得到U=Rm×m,Σ∈Rm×n及V∈Rn×n,則E=U·Σ·VT,其中分離得到各個(gè)信號(hào)分量Σi=diag(σ1,σ2,…,σi),其中奇異值的大小則反映了所包含信息量δi的多少,奇異值σi越大,其Σi的信息量則越大。對應(yīng)Σi包含的信息量δi可以通過

(4)

計(jì)算得到。

由于信息量較小的信號(hào)分量對于結(jié)果來說并無影響,故采用以下步驟選擇對應(yīng)矩陣的行數(shù)和列數(shù)。

Step1：對不同行數(shù)m分別進(jìn)行矩陣構(gòu)造。

Step2：根據(jù)其奇異值求出對應(yīng)的信息量分量,在經(jīng)過觀測和分析后找出其中對應(yīng)的聯(lián)系與變化。若某一分量δi后的其余分量開始趨近于零,則第i個(gè)分量后的部分對結(jié)果幾乎沒有影響,由此可以根據(jù)這一規(guī)律確定矩陣的行數(shù)m=i。這種只通過奇異值所包含信息來完成判斷的方法大大降低了計(jì)算量。

Step3：對于列數(shù)的計(jì)算,連續(xù)截?cái)喾閚=int(N/m),Hankel矩陣法為n=N-m+1。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 奇異值數(shù)量與重構(gòu)矩陣結(jié)構(gòu)的確定

3.1.1 奇異值數(shù)量的確定

圖2所示為井下所接收到的指令信號(hào)(對應(yīng)512個(gè)采樣點(diǎn)),即N=512。通過快速傅立葉變換,可以得到圖3所示的信號(hào)頻譜圖,該圖譜主要反映了其對應(yīng)的主頻率數(shù)量以及分布情況,通過該頻譜圖中的箭頭位置,可以獲得該信號(hào)主頻的個(gè)數(shù)n=9。

本文采取奇異值分解的最主要原因不僅是因?yàn)槠淇梢匀ピ?同時(shí)還可以兼顧數(shù)據(jù)簡化這一功能。通過分析下傳信號(hào)奇異值分解后的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),奇異值由大到小地進(jìn)行高速率的衰減,對式(4)進(jìn)行分析計(jì)算可知,前10%的奇異值之和已經(jīng)達(dá)到了其總體的95%以上,足以囊括信號(hào)中所包含的所有信息,因此奇異值個(gè)數(shù)不需取得很大。

圖2 井下接收的下傳信號(hào)Fig.2 Downgoing signal received in the well

圖3 信號(hào)的頻譜圖Fig.3 Signal spectrogram

對奇異值分解(SVD)和小波結(jié)合奇異值分解(WT-SVD)兩種降噪方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn),選取不同的奇異值,獲得其相應(yīng)的信噪比(Signal-Noise Ratio,SNR)曲線如圖4所示。

圖4 重構(gòu)矩陣取不同奇異值時(shí)的信噪比曲線Fig.4 Signal-to-noise ratio curves under different singular values of reconstruction matrix

由圖4可見,隨著奇異值個(gè)數(shù)的增多,信噪比會(huì)相應(yīng)上升,而當(dāng)奇異值個(gè)數(shù)超過18,上升趨勢則會(huì)變得平緩。

為了更好地獲取降噪效果,選取了10、18、25、40這4個(gè)具有代表性的奇異值個(gè)數(shù)值進(jìn)行了指令信號(hào)的降噪WT-SVD實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。通過圖5中的對應(yīng)波形可見：當(dāng)奇異值的個(gè)數(shù)c=18時(shí)的波形效果最好,可以完全滿足去除奇異點(diǎn)的需求。

綜合圖4和圖5的信息可知,針對圖2所示的井下指令信號(hào)c=18為選取的最優(yōu)奇異值個(gè)數(shù),當(dāng)指令信號(hào)不同時(shí),可以采用相同的方法進(jìn)行奇異值個(gè)數(shù)選取。

3.1.2 重構(gòu)矩陣結(jié)構(gòu)的確定

在確定重構(gòu)矩陣的結(jié)構(gòu)時(shí),選取合適的重構(gòu)矩陣行數(shù)至關(guān)重要。已知實(shí)驗(yàn)的下傳指令信號(hào)的采樣點(diǎn)N=512,當(dāng)選取的行數(shù)L=2,3,…,255等值時(shí),無法取得靠后信號(hào)的采樣點(diǎn)信息,而產(chǎn)生信息丟失。當(dāng)選取的行數(shù)L=257,258,…,511等值時(shí),則會(huì)由于缺少2L-512個(gè)采樣點(diǎn),導(dǎo)致重復(fù)獲取信息,使得最終結(jié)果信息冗雜。經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)后可確定當(dāng)選取的行數(shù)L=256,即采樣點(diǎn)數(shù)一半時(shí),可滿足所需的降噪效果。

圖5 重構(gòu)矩陣取不同奇異值數(shù)量降噪后的信號(hào)波形Fig.5 Signal waveforms after noise reduction under different singular values of reconstruction matrix

3.2 多種降噪方法對比實(shí)驗(yàn)

分別采用奇異值分解(SVD)法、Sym6小波改進(jìn)分層閾值(WT)法和WT-SVD雙層降噪法進(jìn)行下傳指令降噪實(shí)驗(yàn),降噪效果如圖6所示。

圖6 3種不同降噪方法降噪后的信號(hào)波形Fig.6 Signal waveforms after noise reduction with 3 noise reduction methods

由圖6可知,未經(jīng)降噪處理的信號(hào)受噪聲影響較大,將原始信號(hào)單獨(dú)經(jīng)過奇異值分解(SVD)和Sym6小波改進(jìn)分層閾值(WT)后降噪效果并不理想,而將這兩種方法相結(jié)合后,信號(hào)波形變得更為平滑且失真較小,可以滿足對原始指令信號(hào)的降噪需求。

表1為采用SVD、WT及WT-SVD這3種不同降噪方法獲得的信噪比、均方根誤差RMSE(Root of Mean Square Error)和相關(guān)系數(shù)ρ的數(shù)據(jù)對比。

表1 不同降噪方法降噪后的SNR、RMSE和ρ對比Tab.1 Comparison of SNR,RMSE and ρ values after noise reduction using different noise reduction methods

由表1可見,WT-SVD雙層濾波降噪后SNR為37.710 9,RMSE為0.164 3,相關(guān)系數(shù)為0.996 4,與SVD和Sym6小波改進(jìn)分層閾值(WT)降噪數(shù)據(jù)相比都有所提高,說明WT-SVD雙層濾波降噪方法對井下指令信號(hào)有著更優(yōu)的降噪效果,WT-SVD雙層濾波降噪后的信號(hào)更有利于三降和三升脈沖寬度的準(zhǔn)確識(shí)別。

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于小波的奇異值分解雙層濾波降噪方法(WT-SVD),該方法將小波改進(jìn)分層閾值降噪與奇異值分解降噪相結(jié)合。在對井下的下傳指令信號(hào)進(jìn)行改進(jìn)分層閾值降噪后,采用Hankel矩陣法構(gòu)造矩陣,在確定出奇異值個(gè)數(shù)與重構(gòu)矩陣結(jié)構(gòu)后,對該矩陣進(jìn)行奇異值分解與重構(gòu)恢復(fù)信號(hào)。實(shí)驗(yàn)將WT-SVD雙層濾波降噪方法與其他方法進(jìn)行對比,驗(yàn)證了該方法能夠有效去除噪聲中的奇異點(diǎn)和突變點(diǎn),具有更優(yōu)的降噪效果,為進(jìn)一步井下接收指令信號(hào)的編碼識(shí)別提供了保證。