考慮輪灌方式下的樹狀管網布局優(yōu)化問題

李妍峰，姜 丹

（1.西南交通大學經濟管理學院，成都 610031；2.服務科學與創(chuàng)新四川省重點實驗室，成都 610031）

0 引 言

灌溉管道網絡是指通過一組相互連接的管道，在滿足各種水力液壓的條件下，將水資源以合適的流量、速率和壓力水頭從水源點輸送到各需水區(qū)域的灌溉系統(tǒng)。與傳統(tǒng)的明渠配水方式相比，灌溉管道網絡具有提高土地利用率、減少水分蒸發(fā)滲漏損失、提高用水效率等優(yōu)點，因而在農業(yè)節(jié)水工程中有著廣泛的應用。按網絡拓撲結構，灌溉管網一般分為環(huán)狀管網和樹狀管網。樹狀管網呈樹枝狀，與環(huán)狀管網相比，具有結構簡單，成本節(jié)約且易于管理等優(yōu)點，因此一般常常應用于尋求系統(tǒng)設計最優(yōu)、成本最低的場景。

管網布局優(yōu)化問題主要分為管網布置和管網設計優(yōu)化問題[1]。管網設計優(yōu)化問題尋求滿足水力液壓條件下管道成本最低的管道組合。由于管道管徑是離散的，而壓力和水速均為關于管徑的非線性函數，因此管網設計優(yōu)化問題是一個非線性的離散優(yōu)化問題。目前，輸水管網設計的優(yōu)化方法主要有微分法、非線性規(guī)劃法和遺傳算法等[2-6]。而Gajghate 等[7]認為管網布置是管網設計的基礎，對管道管徑的選擇有著根本的影響；董文楚[8]以造價最小為原則優(yōu)化了樹狀輸配水管網的布置；Gon?alves 等[9]、Lee 等[10]采用最小斯坦納樹求解最優(yōu)的網絡布局；周榮敏等[11]以圖論和遺傳算法為理論基礎，利用改進的單親遺傳算法對樹狀管網進行優(yōu)化布置；Lejano[12]假定網絡流速和管徑，利用混合整數線性規(guī)劃算法優(yōu)化管網布置。

自管網優(yōu)化問題提出以來，較多集中在單獨研究管網設計和管網布置問題。但在實際中管網布置和管網設計是相互影響，相互制約的。學者們開始考慮同時優(yōu)化輸水管網的布置和設計問題，但大部分研究都是先優(yōu)化輸水管網的網絡拓撲結構，得到網絡布置之后再進行管道組合優(yōu)化[13-15]。如Gon?alves 等[15]將輸水網絡布局問題分解成3 個階段的子問題：第一階段確定樹狀網絡布置；第二階段根據已知的網絡連接計算流經每條弧上的流量；最后，計算得到最優(yōu)管道尺寸組合，以及確定泵的位置和規(guī)格。此外，李海濱等[16]、侯依然等[17]利用遺傳算法，Mtolera 等[18]、王文婷等[19]采用粒子群算法，實現了已知管網初步連接圖，以及各管線水流方向的小規(guī)模樹狀管網布置與管網設計的同步優(yōu)化。但是對于較復雜的大規(guī)模管網，無法事先確定初步連接圖和水流方向，容易產生大量不可行解，算法效率低下。

灌溉管道系統(tǒng)的工作方式一般有續(xù)灌和輪灌。續(xù)灌是最常見的一種灌溉方式，即上一級向下級連續(xù)灌溉；輪灌是將需水節(jié)點劃分為不同輪灌組，水源點在不同時間段依次向不同的輪灌組進行灌溉，這種方式可以最大限度地分散干管中的流量，減小管徑，降低管道鋪設成本[20]，在實際中有很廣泛的應用，但目前還未有理論研究考慮同時優(yōu)化輪灌組劃分方式和管道網絡布局。此外，根據灌溉系統(tǒng)中壓力的來源，灌溉管網分為重力給水管網[21]和加壓給水管網。重力給水管網又叫自壓式給水管網，利用地勢差為灌溉系統(tǒng)提供壓力，網絡中只存在管道成本；而加壓給水管網則是安裝泵站作為灌溉系統(tǒng)壓力的來源，在滿足需水區(qū)域流量和壓力水頭的要求下，權衡管道成本和電力成本，使得管網總成本最小。宋江濤等[22]、李道西等[23]以水源處加壓泵站灌溉管網為優(yōu)化對象，分別將LINGO 軟件、EXCEL 規(guī)劃求解法與經濟流速法的管徑求解結果進行對比。綜上所述，已有成果為進一步深入研究樹狀灌溉管網優(yōu)化問題奠定了良好的基礎，但仍存在以下研究缺口：①灌溉管網常見的工作方式為續(xù)灌和輪灌，已有灌溉管網優(yōu)化問題大都考慮續(xù)灌的工作模式，關于輪灌方式下的樹狀灌溉管網的研究成果相對缺乏；②已有管網布局優(yōu)化文獻僅以管道成本最小為目標函數，較少綜合考慮管道成本和電力成本之和，且并未根據問題特性建立相應數學模型；③已有研究文獻僅對規(guī)模大小為10 左右的灌溉系統(tǒng)進行優(yōu)化研究，也即需水區(qū)域僅為10 個，但在實際中灌溉管網系統(tǒng)的需水區(qū)域數量遠遠大于10?；谏鲜銮闆r，本文考慮輪灌方式下的樹狀管網優(yōu)化問題，以管道成本和電力成本之和最小為目標函數，在滿足各需水區(qū)域的流量需求、管道中水流速度和節(jié)點壓力水頭等液壓條件約束下，建立了輪灌組劃分、網絡布置與管網設計同時優(yōu)化的數學模型，并提出一種基于迭代鄰域搜索[26]的混合啟發(fā)式算法求解該問題。通過對不同規(guī)模的灌溉系統(tǒng)進行優(yōu)化，驗證了本文提出的輪灌方式下管網布局優(yōu)化方法的有效性和可行性，并將該方法應用于實際灌溉工程的管網布局優(yōu)化。

1 問題描述及模型建立

1.1 問題描述

樹狀灌溉管道網絡布局優(yōu)化問題的問題描述：假設在某灌溉區(qū)域存在一個水源點和一組需水區(qū)域，已知各區(qū)域位置、距離、需水量和最小工作壓力水頭，各區(qū)域之間通過管道連接。灌溉管道網絡問題要求得到一個將每個需水區(qū)域連接到水源點的最經濟的網絡連接，并確定網絡中管道的尺寸和液壓元件的規(guī)格。為降低網絡最大功率及合理利用資源，考慮輪灌方式下的樹狀管網優(yōu)化問題在一般管網布局優(yōu)化問題的基礎上，將需水區(qū)域劃分為若干輪灌組，一個需求區(qū)域只能屬于一個輪灌組，每個輪灌組與水源點之間由一條管道相連，輪灌組存在流量上限，水源點在不同時間段向各輪灌組輪流配水。該問題旨在滿足管道液壓約束、需水節(jié)點最小流量和壓力水頭的要求下，找到最佳的輪灌組劃分、網絡布局和管道組合，達到灌溉系統(tǒng)管道成本和電力成本之和最小化的目標。圖1給出了一個包含1個水源點和13個需水區(qū)域的灌溉系統(tǒng)，水源處存在泵站，需水灌溉區(qū)域被劃分為3個不同的輪灌組，各輪灌組分別包含4、4、5個需水區(qū)域，各節(jié)點之間通過管徑不同的管道連接。

圖1 3個輪灌組的劃分示意圖Fig.1 Division diagram of three rotation irrigation groups

1.2 模型假設

基于以下假設建立輪灌方式下樹狀管網布局優(yōu)化問題的數學模型：

（1）將各需求區(qū)域劃分為不同的輪灌組，一個需水區(qū)域僅屬于一個輪灌組。

（2）各輪灌組存在容量上限，且容量上限小于該灌溉系統(tǒng)中所有需水區(qū)域的總需水量。

（3）各需水節(jié)點有且僅有一條管道向其供水。

（4）灌溉系統(tǒng)水源處安裝泵站，且泵站揚程未知。

（5）各需水節(jié)點需水量不同，各節(jié)點所需最小壓力水頭要求不同。

（6）不同管徑的管道中水流速率要求不同。

1.3 模型參數及變量

定義一個有向的連通圖G=(N,A)表示灌溉管網，其中N為水源點和需水節(jié)點的集合，A為弧集合，每條弧對應一根管道。每個需水節(jié)點i都有需水量bi，弧(i,j) ∈A長度為lij，假設網絡對稱，即lij=lji。表1列出了模型中所用符號。

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1.4 數學模型

在實際設計灌溉管網時，管道中水的流速過大會增加損耗，造成成本的大幅度增加，而流速過小又容易導致淤泥堆積。為保證經濟性和安全性，不同管徑的管道中水流速度有最小、最大限速V Ld,V Ud（式1）[15]。由于流速是關于管徑和流量的函數，因此通過式（2）[15]將不同管徑的流速限制轉化為管道的流量約束。

水流在流經管道時存在摩擦，會產生水頭損失，使得節(jié)點壓力水頭之間滿足壓力平衡公式（3）[15]。不同管徑管道的水頭損失fd可由Hazen-Williams提出的公式[24]計算[式（4），其中αd= 9.955 049 × 10-4/d4.87稱為比阻]。

根據問題特性，構建數學模型[P0]如下：

目標函數(5)最小化灌溉系統(tǒng)總成本，包括管道成本和電力成本，電力成本為水泵的固定成本和電費，與水泵的揚程和流量有關；約束(6)表示一個需水節(jié)點只有一條管道為其輸水，這是樹狀管網的特點；約束(7)表示每條相連的弧選擇一種管道規(guī)格；約束(8)是流量平衡方程；約束(9)表示各輪灌組總需水量不超過規(guī)定的流量上限；約束(10)表示不同管徑的管道要滿足的流量需求；約束(11)表示水源處只能選擇一種規(guī)格的水泵；約束(12)表示流出水源點的壓力水頭為水泵的揚程；約束(13)是壓力平衡方程；約束(14)表示滿足各需水節(jié)點最小壓力水頭需求；約束(15)～(17)是0-1決策變量。

2 基于迭代鄰域搜索的混合啟發(fā)式算法

[P0]的目標是找到最經濟的輪灌組劃分方式、網絡布置、泵站揚程及管道組合。然而，僅將需水區(qū)域劃分為不同的輪灌組并確定網絡連接，是一個帶有容量限制的最小生成樹問題。容量最小生成樹（Capacitated Minimum Spanning Tree,CMST）是指圖的最小生成樹有一個根節(jié)點，其每個子樹有容量約束。該問題是一個復雜的組合優(yōu)化問題，即使在單位需求的情況下（各需求節(jié)點的需求均為1），它也被證明是NP 難題[25]。而模型[P0]不僅要劃分輪灌組，還需要在滿足一系列液壓條件下，確定泵站揚程和管道組合，是一個非線性的0-1規(guī)劃問題，不適合采用相應的整數規(guī)劃求解器進行求解。因此，針對輪灌方式下樹狀管網布局優(yōu)化問題，本文設計了一種基于迭代鄰域搜索[26]的混合啟發(fā)式算法求解輪灌組劃分、管網布置和管網設計組合。

2.1 算法框架

由于管網布置從根本上影響了管網設計，即輪灌組劃分和網絡連接影響管道組合和泵站揚程。因此該算法的思想是先隨機得到輪灌組劃分，求解管網設計優(yōu)化模型[P1]（見2.2）得到初始管網布局和成本后，再通過包含三種鄰域策略的迭代搜索改進初始布局，降低成本。算法具體流程：先按輪灌組容量上限要求隨機生成管網的初始布置，得到輪灌組劃分和初始管網布置，通過流量平衡方程計算網絡中各相鄰區(qū)域之間的流量，通過調用GUROBI 求解管網設計優(yōu)化問題[P1]得到初始整個管網的布局、管道組合和管道總長度L、管網總成本C，記最優(yōu)解C*=C；然后基于3 個鄰域策略進行迭代搜索（見2.3）逐步改進初始網絡布置，在管道總長度減小時，采用精確算法求解管徑組合得到灌溉管網總成本，若管網總成本減小則更新網絡布局，否則繼續(xù)搜索，直到搜索完所有鄰域，算法結束。圖2給出了混合啟發(fā)式算法的具體流程。

圖2 基于迭代鄰域搜索的混合啟發(fā)式算法具體流程Fig.2 Specific process of hybrid heuristic algorithm based on iterative neighborhood search

2.2 管網設計優(yōu)化問題

在輪灌組劃分和網絡布置已知時（為此時管網中連通的弧集合），根據流量平衡公式可以計算網絡中的流量，從而建立關于管道組合優(yōu)化的混合整數規(guī)劃模型[15]（MILP），數學模型[P0]可簡化為[P1]。

約束條件除公式(10)～(15)外，還有以下公式：

其中目標函數(18)表示最小化網絡總成本，約束(19)表示每條弧(i,j) ∈只選擇一種管徑，約束(10-15)為流量、壓力水頭和決策變量的約束。

2.3 鄰域搜索策略

根據得到的初始管網布置，通過求解2.2 中的管網設計優(yōu)化問題[P1]，可以得到該布局下灌溉管網的總成本。在此基礎上加入局部鄰域搜索，改進網絡布置，依次對3 個鄰域（N1，N2，N3） 進行搜索[27,28]，得到最終的灌溉網絡布局和管徑組合。

N1：在滿足容量約束前提下，交換m，n子樹上的節(jié)點i和節(jié)點j，得到新的網絡布局和輪灌組劃分，如圖3(a)所示。

圖3 生成鄰域的3種策略Fig.3 Three strategies for generating neighborhood

N2：在滿足容量約束前提下，將m子樹中的節(jié)點i加入n子樹，得到新的網絡布局和輪灌組劃分，如圖3(b)所示。

N3：將兩個容量之和小于最大容量的子樹m，n合并為一條子樹，得到新的網絡布局和輪灌組劃分，如圖3(c)所示。

3 數值實驗

3.1 測試算例

由于目前沒有針對灌溉問題的標準算例，參照Gon?alves等[15]隨機算例，生成5組包含40個節(jié)點和5組包含50個節(jié)點的灌溉網絡。其中40r1 表示包含40 個節(jié)點的算例1；50r1 表示包含50個節(jié)點的算例1，其他符號含義類似。

3.2 算法性能分析

針對管網的布局優(yōu)化問題，以往研究均考慮分步求解布局和管徑[9]，先求得網絡管道總長度最小的布置，再優(yōu)化管道組合。為驗證本文提出算法的有效性，對包含40 個節(jié)點和包含50 個節(jié)點的灌溉管網，分別采用兩種求解方式。一種是先以網絡管道總長度最小為優(yōu)化目標，采用Esau-Williams 算法[29]得到輪灌組劃分和網絡布局，再求解管道組合優(yōu)化問題，得到灌溉管網總體布局；另一種是采用本文提出的混合啟發(fā)式算法求解，兩種方法求得的管網總成本如表2 和表3 所示，其中Q表示輪灌組的容量上限，有13 種規(guī)格的管道直徑和9種揚程的泵站可供選擇。

表2 輪灌方式下40個節(jié)點的灌溉管網優(yōu)化結果Tab.2 Optimization Results of Irrigation Network with 40 Nodes under Rotation Irrigation

表3 輪灌方式下50個節(jié)點的灌溉管網優(yōu)化結果Tab.3 Optimization results of irrigation network with 50 nodes under rotation irrigation

由表2 和表3 可以看出，相較于分開求解輪灌組劃分和管徑組合問題，本文提出的混合啟發(fā)式算法求解灌溉管網得到的成本明顯降低。這是由于分開求解布局和管徑，在優(yōu)化布局時僅以管道總長度最短為目標，忽略了網絡成本，管道總長度最小時并不意味著管網總成本最??；而混合啟發(fā)式算法在優(yōu)化網絡布局時，不僅以管網總長度最小為目標，還考慮網絡的總成本，在管道總長度和管網總成本都降低時才更新網絡布局。

3.3 網絡成本分析

為了分析灌溉方式對灌溉工程布局和成本的影響，分別設置兩種灌溉方式進行實驗：第一，在續(xù)灌方式下，先通過求解最小生成樹得到道總長度最小管網布置，再通過求解管網設計問題得到灌溉網絡整體布局；第二，在輪灌方式下，對算例設置輪灌組容量上限，采用本文提出的基于迭代鄰域搜索的算法進行求解。對包含40 個節(jié)點和包含50 個節(jié)點的灌溉系統(tǒng)，分別考慮以上兩種工作方式，得到的管網管道成本和電力成本如表4 和表5 所示。可見，輪灌方式下灌溉網絡的管道成本和電力成本普遍低于續(xù)灌。對于同一組算例，管網的成本也會因輪灌組容量上限的不同而存在差異。如40r1 算例中，當輪灌組容量上限設置為200 m3/h 時節(jié)省的成本最多，而40r3算例中，當輪灌組容量上限設置為700 m3/h時管網成本最低。

表4 40個節(jié)點的灌溉系統(tǒng)采用不同灌溉方式的成本Tab.4 Cost of different irrigation methods for 40 node irrigation system

表5 50個節(jié)點的灌溉系統(tǒng)采用不同的灌溉方式的成本Tab.5 Cost of different irrigation methods for 50 node irrigation system

為了直觀地看出采用輪灌帶來管道尺寸和管網成本的變化，分別采用續(xù)灌和輪灌(輪灌組容量上限設置為250 m3/h)的方式，對包含15個節(jié)點的小規(guī)模灌溉工程進行網絡布局優(yōu)化。各需水節(jié)點最低壓力水頭要求為20 m，有13 種規(guī)格的管道直徑和9 種揚程的泵站可供選擇。各節(jié)點的需水量如表6 所示，優(yōu)化得到灌溉工程的網絡布局和管徑組合如圖4、表7 所示，兩種灌溉方式下水源處泵站揚程均為120 m。

表6 灌溉系統(tǒng)中15個節(jié)點的需水量Tab.6 Water demand of 15 nodes in the irrigation system

表7 包含15個節(jié)點灌溉系統(tǒng)在不同灌溉方式下的優(yōu)化結果Tab.7 Optimization results of irrigation system with 15 nodes under different irrigation modes

圖4 包含15個節(jié)點的灌溉管網在不同灌溉方式下的網絡布局Fig.4 Network layout of irrigation pipe network with 15 nodes under different irrigation methods

在圖4中一種顏色的節(jié)點代表一個輪灌組，需水節(jié)點被劃分為3個輪灌組，灌溉系統(tǒng)每次僅需向一個輪灌組供水，大大降低了網絡中管道的流量，從而減小管道尺寸，降低管道成本。從表7中可以看出，在續(xù)灌方式下，灌溉工程選擇的管道直徑范圍為125～400 mm；而在輪灌方式下，系統(tǒng)選擇的管道直徑范圍為100～300 mm，選擇200 mm的管段較多。雖然輪灌方式下管網總長度大于續(xù)灌，但管道直徑相較于續(xù)灌明顯減小，且管網總成本降低11.39%，證明輪灌方式下的管網更加經濟適用。

3.4 工程應用實例

以實際某柑橘灌溉工程為例，該灌溉工程位于四川省資陽市雁江區(qū)，由一個水源地（巍峰水庫）供水，包含29 個需水區(qū)域，系統(tǒng)可用最大日操作持續(xù)時間為18 h，各需水區(qū)域面積已知可計算各區(qū)域需水量，各點需水量及最低壓力水頭要求如表8所示。系統(tǒng)的灌溉速率和最大耗水量由農作物的特性和生長階段決定，柑橘本身特性決定灌水速率為2.67 mm/h，最大耗水量為5 mm/d，由此可計算每個需水區(qū)域需要灌溉時長為5/2.67≈1.88 h。

表8 柑橘灌溉工程需水量及閥后壓力水頭要求Tab.8 Water demand and post valve pressure requirements for citrus irrigation project

圖5 給出了3 種不同容量限制下，柑橘灌溉工程的管道成本、電力成本以及系統(tǒng)總成本的結果比較?？梢钥闯觯S著輪灌組容量的增加，輪灌組數量呈減少趨勢，每個輪灌組包含的區(qū)域增加，如輪灌組1 在容量上限為120 m3/h 時包括需求區(qū)域5、9、11、19 和21，當容量增加到150 m3/h 時包含區(qū)域1、4、5、11、19 和23，當容量增加到190 m3/h 時，包含區(qū)域擴大到1、5、11、15、17、21、23 和28。將輪灌組容量上限分別設置為120、150 和190m3/h，得到3 種網絡布局如圖6～圖8所示(不同顏色代表不同輪灌組，No1 R1表示該區(qū)域1屬于輪灌組1)。灌溉系統(tǒng)在3種容量限制下得到的輪灌組數量分別為7、6、5，水源處選擇的泵站揚程分別為150、180、180 m。

圖5 3種不同輪灌組容量限制下柑橘管網的成本比較Fig.5 Cost comparison of citrus pipe network under capacity limitation of three different rotation irrigation groups

圖6 輪灌組容量上限為120 m3/h的柑橘灌溉管網布局Fig.6 Layout of citrus irrigation pipe network with upper capacity of 120 m3/h in rotation irrigation group

圖8 輪灌組容量上限為190 m3/h的柑橘灌溉管網布局Fig.8 Layout of citrus irrigation pipe network with upper capacity of 190 m3/h in rotation irrigation group

4 分析與討論

4.1 灌溉工作方式對管網布局和總成本的影響

本研究表明，不同的工作方式下，灌溉管網的布局規(guī)劃和成本也有所不同。在兩種不同的灌溉方式下，與采用續(xù)灌的模式相比，將需水節(jié)點劃分為不同的輪灌組，水源點以輪灌組的形式進行灌溉產生的管道成本和電力成本之和明顯降低（表4和表5）。這是由于輪灌組的劃分，導致灌溉網絡系統(tǒng)工作時的流量減少，使得在管網設計優(yōu)化時可以選擇管徑較小的管道，從而降低管網的管道成本。同時，由于水源點以組的形式進行灌溉，工作時需要的總壓力水頭減小，使得泵站揚程降低，進一步降低管網的電力成本，從而使得管網總成本降低。

4.2 輪灌組容量限制對管網布局和總成本的影響

輪灌組的容量上限決定了輪灌組的劃分數量和方式，影響泵站揚程、管網布置和管網設計，從而影響灌溉系統(tǒng)的總成本。對于同一灌溉系統(tǒng)，管網的成本會因輪灌組容量上限的不同而存在差異。輪灌組容量越大，每個輪灌組內包含的需水節(jié)點越多，管網中的輪灌組的數量減少，灌溉工程總的日工作時間減少。3.4實驗結果表明，隨著輪灌組容量的增加，一方面管網工作時需要的壓力水頭增加，水源處泵站揚程也隨之變大，從而增加電力成本；另一方面，由于水泵揚程的增加，使得灌溉系統(tǒng)在管徑選擇階段可以選擇更為經濟的組合方式，降低管道成本（圖5）。由此可以看出灌溉系統(tǒng)的管道成本和電力成本之間存在效益背反，在設計灌溉管網時需要平衡兩種成本，找到使總成本最小的方案。因此，輪灌組容量的上限會影響到灌溉系統(tǒng)的總成本，需要在實際設計中根據管網節(jié)點的分布特點，選擇最為經濟的輪灌組容量。

5 結 論

本文在灌溉管道網絡中采用輪灌方式，建立了以管道成本和電力成本之和最小為目標的數學模型，并提出一種基于迭代搜索的混合啟發(fā)式算法進行求解。驗證了通過將需水節(jié)點劃分為若干輪灌組，水源點按照輪灌組的形式進行灌溉，能夠大幅度降低灌溉網絡工作時網絡中的最大流量，降低管道成本，減小泵站的揚程，從而降低電力成本。并通過一個實際柑橘灌溉工程，比較了不同輪灌組容量對網絡優(yōu)化結果的影響。未來研究中可進一步考慮同步優(yōu)化輸水管網的網絡布局和管徑組合，優(yōu)化目標可包括管網可靠性等要素。