一類Z2對(duì)稱三次jerk系統(tǒng)的zero-Hopf分支*

胡小燕，桑波

聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059

考慮n維自治系統(tǒng)

其中f充分光滑，x∈Rn為狀態(tài)變量。設(shè)系統(tǒng)以x=x0為孤立奇點(diǎn)，即f(x0)= 0；進(jìn)一步地，若雅可比矩陣Df(x0)具有一對(duì)非零純虛根和一個(gè)n?2 重零根：λ1，2= ±ωi，λ3= …=λn= 0，則此奇點(diǎn)稱為zero-Hopf 奇點(diǎn)。此時(shí)對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行適當(dāng)?shù)奈_，可以分支出若干個(gè)小振幅極限環(huán)（桑波，2014；熊峰等，2017；熊峰等，2018），此現(xiàn)象稱為zero-Hopf分支。在西班牙數(shù)學(xué)家Jaume Llibre 的推動(dòng)下，目前此類分支的研究已成為熱點(diǎn)，參見（Llibre et al.，2009；Llibre et al.，2020a；Llibre et al.，2020b；Barreira et al.，2020，Braun et al.，2021）。其中Llibre et al.（2009）運(yùn)用一階平均法討論了n維自治系統(tǒng)的zero-Hopf 分支；Llibre et al.（2020b）運(yùn)用一階平均法討論了23 類三維混沌系統(tǒng)的zero-Hopf 分支，由此探討了隱藏吸引子的產(chǎn)生機(jī)理。需要指出的是，在微分方程定性理論和分支理論的研究中，平均法作為重要的研究工具有著非常廣泛的應(yīng)用（Llibre et al.，2014；李時(shí)敏等，2015）。

形如

的微分系統(tǒng)稱為jerk系統(tǒng)，其中J為連續(xù)可微函數(shù)。在適當(dāng)條件下，此類系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，如混沌和隱藏吸引子（王震等，2017）。

對(duì)于一般二次jerk 系統(tǒng)，Sang et al.（2020）利用四階平均法討論了zero-Hopf分支，證明系統(tǒng)至多可分支出3 個(gè)小振幅極限環(huán)。對(duì)于一類特殊的Z2對(duì)稱三次jerk 系統(tǒng)，Braun et al.（2021）利用二階平均法討論了原點(diǎn)處的zero-Hopf 分支，證明系統(tǒng)至多可分支出3 個(gè)小振幅極限環(huán)；然而此系統(tǒng)項(xiàng)數(shù)較少，本文考慮更一般的系統(tǒng)，從而改進(jìn)已有的結(jié)果。

1 系統(tǒng)的構(gòu)造和主要結(jié)果

令H1，H3分別表示所有齊一次多項(xiàng)式、齊三次多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間，這里的多項(xiàng)式以x，y，z為變量。根據(jù)線性空間的基本理論，可驗(yàn)證

其中

并且Dim(H1)= 3，Dim(H3)= 10.考慮一類Z2對(duì)稱三次jerk系統(tǒng)

這里

且ε為小參數(shù)。當(dāng)ε= 0 時(shí)，系統(tǒng)以原點(diǎn)為zero-Hopf 奇點(diǎn)。當(dāng)小參數(shù)ε≠0 時(shí)，本文利用四階平均法討論小振幅極限環(huán)的個(gè)數(shù)問題。需要說明的是，在J3中φk的系數(shù)只需展開到ε2.事實(shí)上如繼續(xù)展開，不會(huì)影響前四階平均函數(shù)的計(jì)算結(jié)果和極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)。

定理1 通過分析系統(tǒng)（3）的二階到四階平均函數(shù)，可依次得到小振幅極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界Nl：l=2，3，4，其中N2=N3= 3，N4= 5，這些上界都是可達(dá)的。

2 平均法

設(shè)D??n為有界開區(qū)域，S1= ?/(2π?).考慮連續(xù)函數(shù)Fi：S1×D→?n，i= 1，2，…，k，R：S1×D×(?ε0，ε0) →?n；它們關(guān)于θ皆以2π為周期。

考慮方程

引理1 對(duì)于系統(tǒng)（4），假設(shè)其右端函數(shù)連續(xù)且滿足如下條件：

（i）對(duì)每一個(gè)θ∈S1，F(xiàn)i(θ，?) ∈Ck?i；Dk?iFi關(guān)于ξ滿足局部Lipschitz 條件；R關(guān)于ξ滿足局部Lip‐schitz條件，這里1 ≤i≤k.

（ii）假設(shè)f1=f2= …=fr?1= 0 且fr不恒為零，其中1 ≤r≤k；設(shè)a∈D：fr(a) = 0，且存在以a為中心的鄰域V?D使得fr(z) ≠0，?z∈Vˉ {a}；設(shè)dB(fr(z)，V，0) ≠0，即fr在原點(diǎn)的Brouwer度非零。

則當(dāng)|ε| > 0充分小時(shí)，系統(tǒng)（4）存在一個(gè)關(guān)于θ周期為2π的解ξ(θ，ε)，使得ξ(0，ε) →a，ε→0.

注1 注 意 到 在 條 件（ii）中，a是fr在V中 唯 一 的 孤 立 零 點(diǎn)。根 據(jù)Krawcewicz et al.（1997），由detDfr(z)|z=a≠0，可推出dB(fr(z)，V，0) ≠0.

注2 令k= 4且引理1中條件（i）成立，則方程（4）的前四階平均函數(shù)依次為

其中

3 標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)

經(jīng)過線性變換

和柱面坐標(biāo)變換

系統(tǒng)（3）變?yōu)?/p>

其中

需要說明的是在H(ε，θ，r，w)中εk的系數(shù)具有規(guī)律性，這正是在第1部分給出線性空間H1，H3生成元的用意所在。

當(dāng)r> 0充分小時(shí)，以θ為新的獨(dú)立變量，系統(tǒng)（5）等價(jià)于

這里ξ=(r，w)，F(xiàn)k及余項(xiàng)關(guān)于θ皆以2π為周期，k= 1，2，3，4.

令Fk(θ，ξ) =(Fk1(θ，ξ)，F(xiàn)k2(θ，ξ))，則Fk1= ?sinθFk2，且有

至此原系統(tǒng)（3）已變?yōu)橄到y(tǒng)（6），即符合形式（4）的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)。

4 主要結(jié)果的證明

利用平均函數(shù)遞推公式，可得系統(tǒng)（6）的前四階平均函數(shù)：

這里

其中fi關(guān)于f1= …=fi?1≡0已化簡(jiǎn)，ξ=(r，w).

由于方程f1(ξ) = 0 不存在孤立的解，使得r> 0，故當(dāng) |ε|> 0 充分小時(shí)，由一階平均法無法得到小振幅極限環(huán)的個(gè)數(shù)信息。

引理2 當(dāng) |ε|> 0充分小時(shí)，由二階平均法可知，系統(tǒng)（3）至多存在3個(gè)小振幅極限環(huán)，且此上界是可達(dá)的。

證明在計(jì)算第二階平均函數(shù)（8）時(shí)，已置f1(ξ) ≡0.方程f2(ξ) = 0的孤立解對(duì)應(yīng)系統(tǒng)（3）的小振幅極限環(huán)。

令f2(ξ) =(f21，f22)T.注意到r> 0，由f21= 0得到

代入f22得

由于f22關(guān)于w至多有3個(gè)零點(diǎn)，所以方程f2(ξ) = 0至多存在3個(gè)簡(jiǎn)單解。根據(jù)引理1，系統(tǒng)（3）至多存在3個(gè)小振幅極限環(huán)。

當(dāng)a22c20< 0，(a32c90?a22c100)(c20c100?c90c50)> 0，(a22c50?a32c20)(c20c100?c90c50)> 0 時(shí)，方程f2(ξ) =0關(guān)于ξ=(r，w)具有3個(gè)簡(jiǎn)單解(ri，wi)，其中

根據(jù)引理1，此時(shí)系統(tǒng)（3）恰有3個(gè)小振幅極限環(huán)。

引理3 當(dāng) |ε|> 0充分小時(shí)，由三階平均法可知，系統(tǒng)（3）至多存在3個(gè)小振幅極限環(huán)，且此上界是可達(dá)的。

證明在計(jì)算第三階平均函數(shù)（9）時(shí)，已置f1(ξ) =f2(ξ) ≡0.由于f3(ξ)與f2(ξ)具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，仿照引理2的證明過程，此引理得證。

引理4 當(dāng) |ε|> 0充分小時(shí)，由四階平均法可知，系統(tǒng)（3）至多存在5個(gè)小振幅極限環(huán)。

證明在計(jì)算第四階平均函數(shù)（10）時(shí)，已置f1(ξ) =f2(ξ) =f3(ξ) ≡0.

在（10）中，令f42= 0，得到如下兩種情形：

（I）w= 0，

考慮情形（I），將w= 0代入f41可得f41=rM(r2)，其中M(r2)是關(guān)于r2的二次多項(xiàng)式。由于r> 0，所以f4(ξ) = 0關(guān)于ξ=(r，w)至多存在2個(gè)簡(jiǎn)單解，滿足r> 0，w= 0.

對(duì)于情形（II），將w2的值代入f41可得

其中N(r2)是關(guān)于r2的三次多項(xiàng)式。由于r> 0，所以對(duì)于情形（II），f4(ξ) = 0關(guān)于ξ=(r，w)至多存在3 個(gè)簡(jiǎn)單解。

綜合以上兩種情形，f4(ξ) = 0 關(guān)于ξ=(r，w)至多存在5 個(gè)簡(jiǎn)單解，滿足r> 0.根據(jù)引理1，系統(tǒng)（3）至多存在5個(gè)小振幅極限環(huán)。

推論1 當(dāng) |ε|> 0充分小時(shí)，由四階平均法可知，系統(tǒng)（3）可以存在5個(gè)小振幅極限環(huán)。

證明在引理4的證明中，為敘述方便，我們引入記號(hào)M(r2)，N(r2).它們的定義為

其中

容易看出這些系數(shù)是線性無關(guān)的。而n3，n2，n1，n0中部分系數(shù)非常復(fù)雜，在此不一一列出；可以證明{n3，n2，n1，n0}是線性無關(guān)的?；谙禂?shù)的線性無關(guān)性，在適當(dāng)?shù)南禂?shù)條件下，f4(ξ) = 0 關(guān)于ξ=(r，w)存在5個(gè)簡(jiǎn)單解，滿足r> 0.從而引理4中小振幅極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界5是可以取到的。

定理1的證明綜合引理2～4 和推論1 的結(jié)果，即可得到定理1 的結(jié)論：利用二階到四階平均法，可依次得到小振幅極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)N2=N3= 3，N4= 5，且這些上界都是可達(dá)的。