基于自然對數(shù)復合函數(shù)近似l0范數(shù)的DOA估計

單澤彪,常立民,劉小松,王宇祥

(1.長春理工大學 電子信息工程學院, 吉林 長春 130022;2.吉林大學 通信工程學院, 吉林 長春 130022;3.長春氣象儀器研究所, 吉林 長春 130102)

0 引言

波達方向(DOA)估計作為陣列信號處理領域的重要組成部分,在雷達、聲納、導航以及無線通信等領域均有著廣泛的應用[1-3]。傳統(tǒng)的DOA估計方法主要有波束形成法[4]、子空間分解類算法[5-6]和最大似然法[7]等。隨著壓縮感知技術發(fā)展的不斷深入,基于壓縮感知的DOA估計方法已成為當前的研究熱點。

壓縮感知理論[8-9]的提出突破了奈奎斯特采樣定理的限制,僅需信號滿足稀疏性就可以遠低于奈奎斯特采樣定理要求的頻率進行采樣,再利用重構算法就可以準確重構出原始信號或信號的相關參數(shù)。稀疏信號的重構是壓縮感知研究的關鍵內(nèi)容,核心問題是求解l0范數(shù)最小化問題,但它是NP難問題,無法快速求解。應用最多的替代算法主要包括以下4類:貪婪算法、迭代加權最小二重算法、凸優(yōu)化算法以及平滑l0范數(shù)(SL0)算法。貪婪算法的原理是經(jīng)過若干次迭代,用每次迭代獲得的局部最優(yōu)解來逼近原始信號,最終找到感知矩陣中提供最大能量的某列原子。該類算法的代表為匹配追蹤(MP)算法[10]與正交匹配追蹤(OMP)算法[11],該類算法收斂速度快,但容易陷入局部最優(yōu)解,影響精度。迭代加權最小二乘算法的原理是給最小l2范數(shù)一個權值來近似l0范數(shù)解,代表算法為FOCUSS算法[12],該算法對噪聲較敏感。凸優(yōu)化算法的原理是用l1范數(shù)代替l0范數(shù),因在一定條件下l0范數(shù)與l1范數(shù)是等價的。代表算法為基追蹤(BP)算法[13]與l1-magic算法[14]等,該類算法精度較高,但計算復雜度較高、計算速度較慢。平滑l0范數(shù)(SL0)算法由Mohimani等[15]、Liu等[16]提出,此算法的原理為采用最速下降法結合梯度投影,構造一個合適的平滑函數(shù)來近似l0范數(shù),將l0范數(shù)的最小化問題轉化成近似函數(shù)的最優(yōu)化問題。

近些年來,學者們對此不斷改進創(chuàng)新,提出了許多新的近似l0范數(shù)算法。例如文獻[17]采用雙曲正切函數(shù)來近似l0范數(shù),然后采用修正牛頓法替代最速下降法,在收斂速度和信噪比方面較SL0算法有很大提高。文獻[18]采用分式函數(shù)來近似l0范數(shù),混合牛頓法和最陡梯度法,在保持精度的基礎上提高了收斂速度。文獻[19]采用改進的高斯函數(shù),采用奇異值分解提高了算法穩(wěn)定性,在重構精度、峰值信噪比方面有較大的改善。文獻[20]對文獻[19]中所改進的高斯函數(shù)進行倒數(shù)加權處理,進一步提高了算法的精度,但計算過程較為繁瑣,導致算法運行速度緩慢。文獻[21]引入一種近似l0范數(shù)的稀疏正則化算法以獲得稀疏解向量,提出一種可迭代敏感場靈敏度梯度優(yōu)化方法,減小了誤差,缺點是該算法計算時間較長,且主要用于圖像處理。文獻[22]采用反余切函數(shù)來近似l0范數(shù),結合修正阻尼牛頓法,提高了信號恢復的質(zhì)量,同樣的問題就是算法重構時間較長。文獻[23]采用復合反比例函數(shù)并做加權處理,結合共軛梯度法,提高了稀疏信號的重構精度,算法較為復雜,需要進一步優(yōu)化。

針對上述問題,本文對SL0算法做出改進,即采用一種自然對數(shù)復合函數(shù)近似l0范數(shù),將l0范數(shù)問題轉換為自然對數(shù)復合函數(shù)的最優(yōu)化問題,然后將問題分為兩部分計算:第一部分采用牛頓法推導出函數(shù)的第k次迭代公式,第二部分利用最陡梯度法,并結合第一部分推導出的迭代表達式,經(jīng)若干次迭代后求得近似l0范數(shù)的最優(yōu)解。經(jīng)過理論分析和仿真實驗表明,本文所提方法能夠在單快拍條件下對DOA進行有效估計,與SL0算法、改進平滑l0范數(shù)(ISL0)算法以及加權平滑l0范數(shù)(WSL0)算法相比,估計精度更高,運算速度更快。

1 壓縮感知的陣列接收信號模型

X=AS+G

(1)

式中:X=[x1,x2,…,xM]T為M×1維接收信號向量;S=[s1,s2,…,s2N+1]T為(2N+1)×1維稀疏入射信號向量,稀疏度為K(K?2N+1),表示向量S中非零元素個數(shù)為K,此K個元素所對應角度即空間中所有目標信號源所在角度;G為M×1維加性高斯白噪聲向量。

2 基于NLSL0的DOA估計算法

2.1 算法推導與分析

如式(2)所示,可通過l0范數(shù)最小化求解式(1)中的向量S:

(2)

式(2)是NP難問題,直接求解難度極大,不適用于DOA估計。近似l0范數(shù)重構算法將式(2)的求解轉化為近似函數(shù)的最優(yōu)化問題,從而避免了難度極大的直接求解過程。故本文采用自然對數(shù)復合函數(shù)

(3)

來近似Si的l0范數(shù),稱之為自然對數(shù)復合函數(shù)近似l0范數(shù)(NLSL0),由于自然對數(shù)在接近0時在保證平滑性的同時更加陡峭,故可更好地“平滑逼近”l0范數(shù)。式(3)中σ稱之為逼近因子,其大小表示近似函數(shù)逼近的程度,其取值需要在近似函數(shù)的精度和光滑度之間權衡。如果σ越大,則式(3)越光滑;如果σ越小,則式(3)對l0范數(shù)的逼近程度越高,但光滑程度會變差。

(4)

式中:F為拉格朗日乘子向量,其維度與向量X相同。采用拉格朗日求導,可得

(5)

D=F·σ為一個正比于F的拉格朗日乘子向量。此時,當σ→0時,式(5)可轉化為

(6)

從而有D=(AAT)-1X,結合S=ATD,式(6)的最終解為S=AT(AAT)-1X。

實際應用中,由定理1可知,為防止出現(xiàn)局部最優(yōu)解,應該使σ足夠大。為解決稀疏問題,即求

(7)

的稀疏解,算法可分為兩部分進行計算:

(8)

式(8)的第一部分采用牛頓迭代法,推導出第k次迭代的表達式記為

(9)

采用偽逆進行計算,避免1/f′(Sk)可能產(chǎn)生病態(tài)的問題,則式(9)變?yōu)?/p>

Sk+1=Sk-AT(AAT)-1(X-ASk)

(10)

同時為避免牛頓迭代發(fā)散,迭代中的初始解選擇尤為重要,本文選擇X=AS的最小二乘解S0=AT(AAT)-1X作為牛頓迭代的初始解,以保證初始解在最優(yōu)解的領域內(nèi)。分析式(10)的收斂性,將式(9)記為

(11)

對式(11)求導,得

(12)

設Sn是f(S)=0的最優(yōu)解,且f′(Sn)≠0,則

(13)

可見如果存在一個解S在最優(yōu)解Sn附近,則存在|h′(S)|<1,按固定點原理[24]可知式(10)是收斂的。

式(8)中第二部分,l0范數(shù)‖S‖0可以看成是對向量S的稀疏度測量,因此解決式(8)中的第2個問題相當于求出最稀疏的解。為確保最優(yōu)解的全局性,在算法的最開始,要把σ設置足夠大;然后逐步減小σ的值,避免局部最優(yōu)解的影響。因此采用最陡梯度法求解式(8)中的第2個問題:

(14)

式中:μk為迭代步長。因為式(14)每迭代一步σ都相應減少,隨著迭代深入,處理的信號范圍也變得越來越精細,故需要調(diào)整相應的步長μk,以達到精細化處理的效果。為便于計算,本文采用μk=μ0σ,其中μ0是一個常數(shù)。將μk=μ0σ代入式(14),得

(15)

考慮到足夠大的σ以確保最優(yōu)解的全局性,本文初始化設置為σ1=2max(),更新式為σj=ησj-1,其中0<η<1是σ的一個衰減因子,可知式(15)是收斂的。其中,為X=AS的最小l2范數(shù)解。

2.2 算法步驟

應用自然對數(shù)復合函數(shù)近似l0范數(shù)方法進行DOA估計,首先需根據(jù)接收信號的初始解確定一個合適的遞減{σ}序列[σ1,σ2,…,σJ],J表示序列的總數(shù),σJ表示序列的最小值,并且通過外循環(huán)控制σ取值。然后通過內(nèi)循環(huán)對每一個σi值采用最陡梯度法結合牛頓迭代來求解Kσ(s)的最小值,該σi值作為下一次迭代的初始值,經(jīng)若干次迭代得到最優(yōu)解。

算法具體步驟如下:

1)初始化:初始解為X=AS的最小l2范數(shù)解=AT(AAT)-1X;σ1=2max(),j=1;設定參數(shù):μ0=0.6,η=0.5,最大迭代次數(shù)L=10,σJ=0.01。{σ}序列最小值σJ的計算參考文獻[19]。

2)令σ=σj,迭代次數(shù)l=1,采用最陡梯度法結合牛頓迭代表達式,經(jīng)過L次迭代得到近似函數(shù)Kσ(S)的最優(yōu)解:

①迭代式(15)與式(10);

②l=l+1,如果l

3)j=j+1,σj=ησj-1,重復步驟2),當滿足σj<σJ時結束循環(huán),輸出,繼而可得DOA估計值。

2.3 算法復雜度分析

A為M×(2N+1)維矩陣,B為矩陣AS或ATX的運算時間,由于矩陣是稀疏的,計算量小于2M×(2N+1),設s代表稀疏度,L=O(logN)為解所要求的比特精度,w表示權值,則各算法OMP、SL0、ISL0、WSL0與NLSL0的計算復雜度分別為B+O(MsL)、B+O(s)、B+O(2s)、B+O(2ws)與B+O(s)。 由此可知OMP算法的計算復雜度是不確定的,本文所提NLSL0算法的計算復雜度與SL0算法的計算復雜度相同,且明顯小于ISL0算法和WSL0算法的計算復雜度。

3 仿真實驗與分析

通過仿真實驗驗證本文所提算法的可行性,并與OMP算法[11]、SL0算法[15-16]、ISL0算法[19]以及WSL0算法[20]進行了對比。實驗依據(jù)壓縮感知陣列接收信號模型,將空間等角度劃分成181個網(wǎng)格,每個網(wǎng)格角度都為1°,包含了信號源全部可能的所在方向,采用均勻線陣,陣元間距為波長的一半,噪聲為加性高斯白噪聲。單快拍條件下DOA估計的成功概率為:角度估計誤差小于等于1°的次數(shù)/實驗總次數(shù),DOA估計均方根誤差(RMSE)的表達式為

(16)

式中:Mc表示蒙特卡洛實驗次數(shù);θkm表示第k個信號源在第m次實驗的DOA真實值;km表示第k個信號源在第m次實驗的DOA估計值。

實驗1不同信源數(shù)條件下DOA估計可行性驗證實驗。假設空間網(wǎng)格劃分中有3個DOA分別為-20°、0°和30°的目標信號源,其中DOA為-20°和30°的兩個信源是相干的。在陣元數(shù)為16、信噪比SNR(Signal-Noise Ratio)為5 dB條件下,本文所提NLSL0算法的DOA估計結果如圖1所示。

圖1 基于NLSL0算法的三信源DOA估計Fig.1 DOA estimation of three sources based on NLSL0 algorithm

由圖1可知,歸一化空間譜中最高的3個譜峰所對應的角度為3個目標信號源所在網(wǎng)格的角度,即目標信號源的DOA,表明本文提出的NLSL0算法是可行的,且算法對相干信源不敏感,準確估計出了相干信號源的DOA。同時由于空間中信號源個數(shù)是有限的,空間譜中較大譜峰的個數(shù)即信號源的個數(shù)。因此,信號源個數(shù)是否已知對本文算法的DOA估計性能影響有限,這也是本文算法的一個優(yōu)勢。

為驗證本文算法的多信號分辨性能,進行信號源數(shù)為4和5時的仿真實驗,4個信號源的DOA分別為-70°、-30°、20°和60°,5個信號源的DOA分別為-70°、-20°、0°、30°和60°。其他實驗條件同上,得到的DOA估計結果如圖2和圖3所示。由圖2 和圖3可知,當信號源數(shù)增加至4個或5個時,本文算法仍然可以估計出目標信號源的DOA,且具有較好的分辨性能。

圖2 基于NLSL0算法的四信源DOA估計Fig.2 DOA estimation of four sources based on NLSL0 algorithm

圖3 基于NLSL0算法的五信源DOA估計Fig.3 DOA estimation of five sources based on NLSL0 algorithm

實驗2幅相不一致DOA估計性能驗證實驗。驗證本文所提算法針對來波信號幅相不一致時的DOA估計性能。假設空間網(wǎng)格劃分中有3個角度分別為-30°、0°和30°的目標信號源,3個信號幅度誤差服從方差分別為0.1、0.2和0.1,均值均為0的隨機分布;相位誤差服從方差分別為10、10和20,均值均為0的隨機分布。在陣元數(shù)為16、信噪比為5 dB條件下做1 000次實驗,所得DOA估計均方根誤差及成功概率如表1所示。由表1可知,信號幅度誤差方差越大,均方根誤差越大且估計成功概率越低,而相位誤差對估計結果無顯著性影響。

表1 幅相不一致時DOA估計均方根誤差及成功概率

實驗3存在離格信號時DOA估計性能驗證實驗。假設空間有兩個信號源,其中一個信號的DOA分別是0°、0.2°和0.5°,另一個信號的DOA分別是30.0°、30.2°、30.5°、30.7°和30.9°。在陣元數(shù)為16、信噪比為5 dB條件下,針對上述兩個信號的不同排列組合分別采用本文算法對其進行DOA估計,DOA估計均方根誤差如表2所示。從表2中可知,在算法采用間隔為1°且整數(shù)角度網(wǎng)格劃分的條件下,距離所在網(wǎng)格上的DOA越遠,其估計均方根誤差越大,其中在兩個DOA分別為0.5°和30.5°時均方根誤差最大為1.041 6°。

表2 離格信號DOA估計均方根誤差

實驗4不同信噪比條件下DOA估計性能對比實驗。假設空間網(wǎng)格劃分中有兩個角度分別為-50°和40°的目標信號源,同樣采用16個陣元,在信噪比從0～10 dB的范圍內(nèi),不同算法的DOA估計均方根誤差、成功概率及相應的克拉美羅界(CRB)如圖4和圖5所示。

圖4 不同信噪比時各算法的DOA估計均方根誤差Fig.4 RMSEs of DOA estimation using different algorithms versus SNR

圖5 不同信噪比時各算法的DOA估計成功概率Fig.5 Success probability of DOA estimation using different algorithms versus SNR

由圖4和圖5可以看出,隨著信噪比的增大,上述各種算法的成功率隨之增大、均方根誤差也隨之減少。當信噪比大于等于7 dB時,各種算法的均方根誤差保持基本一致并已降至1°以下,且估計成功概率均接近100%;當信噪比在0 dB與7 dB之間時,本文所提NLSL0算法與SL0、ISL0、WSL0及OMP算法相比較有顯著優(yōu)勢:均方根誤差更低且成功率更高,即在低信噪比條件下本文算法具有更好的DOA估計性能。

實驗5不同陣元數(shù)下DOA估計性能對比實驗。同樣假設空間網(wǎng)格劃分中有兩個角度分別為10°和50°的目標信號源,信噪比SNR=5 dB。在陣元數(shù)從12～20的變化范圍內(nèi),各種算法的DOA估計均方根誤差和成功概率如圖6、圖7所示。

圖6 不同陣元數(shù)時各算法的DOA估計均方根誤差Fig.6 RMSEs of DOA estimation of different algorithms versus array elements

圖7 不同陣元數(shù)時各算法的DOA估計成功概率Fig.7 Success probability of DOA estimation of different algorithms versus array elements

由圖6、圖7可以看出隨著陣元數(shù)的增多各算法的均方根誤差越小且成功率越大:當陣元數(shù)超過18時,各算法的均方根誤差均已小于1°,但NLSL0算法的估計性能更好;當陣元數(shù)等于20時,本文所提NLSL0算法的估計成功概率達到100%;當陣元數(shù)在12與18之間時,本文所提NLSL0算法與SL0、ISL0、WSL0和OMP算法相比優(yōu)勢比較顯著,且陣元數(shù)越少時本文算法比其他算法優(yōu)勢更加明顯,即均方根誤差越小、成功概率越高。

實驗6不同平滑類算法收斂性能比較實驗。比較本文所提算法收斂性能及與SL0、ISL0和WSL0算法獲得最優(yōu)解時所需收斂次數(shù)。實驗電腦為:i5-5200U雙核處理器,搭載Win10系統(tǒng),MATLAB2016b版本運行環(huán)境。在相同DOA估計參數(shù)并且陣元數(shù)為16、信噪比為10 dB條件下,實驗統(tǒng)計結果如表3所示。由表3中的數(shù)據(jù)可知,上述4種算法均可以在有限次數(shù)下達到收斂,其中本文所提NLSL0算法與其他3個平滑l0范數(shù)算法相比,所需迭代次數(shù)最少,且獲得最優(yōu)解的誤差最小,即收斂性能最好。

表3 不同算法所需迭代次數(shù)及均方根誤差

實驗7不同算法運行時間及均方根誤差比較實驗。在相同DOA估計參數(shù)且信噪比為5 dB的條件下,比較本文所提NLSL0算法與SL0、ISL0、WSL0和OMP算法運行所需時間,得到單次DOA估計時間及均方根誤差如表4所示。從表4中可知,本文所提算法在運行速度上略遜于OMP算法,但誤差比其明顯更小,估計精度更高;與SL0、ISL0和WSL0算法相比NLSL0算法運算時間更小,估計精度更高。

表4 不同算法運算時間及均方根誤差

4 結論

本文通過對基于壓縮感知技術的DOA估計方法的研究與分析,提出了一種基于自然對數(shù)復合函數(shù)近似l0范數(shù)的DOA估計算法。該算法采用一種自然對數(shù)復合函數(shù)來近似l0范數(shù),將求解l0范數(shù)問題轉化為近似函數(shù)的最優(yōu)化問題。最后通過優(yōu)化求解獲得目標DOA的估計值。文中經(jīng)過理論推導及仿真實驗的對比分析,充分驗證了本文所提算法的有效性及優(yōu)越性。得到如下主要結論:

1)對本文算法進行了相關推導及證明,給出了算法詳細步驟,同時對計算復雜度、收斂迭代次數(shù)及計算運行時間均進行了分析,分析結果表明本文算法與OMP算法的運算時間基本相當,而與SL0、ISL0及WSL0算法相比,計算復雜度、收斂迭代次數(shù)及運算時間均更低。

2)對多信號源DOA估計進行了仿真驗證,在陣元數(shù)為16時,在保證精度的前提下最多可有效估計出5個目標的波達方向。當超過5個目標信號時,可通過增加陣元數(shù)的方式進行估計。同時進行了幅相不一致時DOA估計性能驗證實驗,結果表明幅度誤差方差越小、均方根誤差越小且估計成功概率越高,而相位誤差對估計結果無顯著性影響。

3)在不同信噪比下或不同陣元數(shù)時進行了仿真驗證,結果表明在同等條件下本文算法與SL0、ISL0、WSL0及OMP算法相比,具有更低的估計誤差及更高的估計成功概率。其中本文算法在陣元數(shù)為16的條件下,信噪比為5 dB時估計誤差為 0.769 2°;信噪比為10 dB時,估計成功率接近100%。