貝爾不等式檢驗簡史

彭鵬 劉博聞

量子力學是構成現(xiàn)代物理學大廈的兩大支柱之一，從根本上改變了人類對物質結構及其相互作用的理解，是久經考驗、最為成功的科學理論之一，它的建立標志著人類對客觀規(guī)律的認識從宏觀世界深入到微觀世界。它推動了小到芯片，大到航天飛機等無數(shù)前沿科技的發(fā)展。理論物理學家溫伯格（S. Weinberg）在其著作《量子場論》中提到：“如果發(fā)現(xiàn)不服從量子力學和相對論法則的系統(tǒng)，那則是一場災難?！?/p>

但是，量子力學從誕生起，圍繞它展開的爭論從未停息，最為著名的當是愛因斯坦和玻爾二人關于量子力學完備性的爭論。這場爭論持續(xù)了數(shù)十年，直到他倆去世，也沒有得出最終結論。其中一個很重要的原因是，這場爭論局限于哲學思辨，始終沒有得到實際的實驗驗證，因此很難得出一個讓人信服的結論。不過到了1964年，愛爾蘭理論物理學家貝爾（J. S. Bell）提出貝爾不等式，將哲學思辨推進到實踐檢驗，為解決二人的爭論提供了一線希望。

基于貝爾的理論構想，法國物理學家阿斯佩（A. Aspect）、美國物理學家克勞澤（J. F. Clauser）與奧地利物理學家蔡林格（A. Zeilinger）開創(chuàng)性地進行了貝爾不等式檢驗實驗，證明貝爾不等式在量子世界中不成立，確認了量子糾纏的非定域性，為量子信息科學的發(fā)展奠定了基礎。

貝爾不等式的建立與發(fā)展

愛因斯坦為反駁以玻爾為代表的哥本哈根學派對量子力學的詮釋，與波多爾斯基（B. Podolsky）、羅森（N. Rose）在1935年共同撰文提出EPR悖論（Einstein-Podolsky-Rosen paradox）思想實驗。他們利用粒子的動量和位置兩個連續(xù)變量進行討論，根據(jù)不確定性原理，粒子的動量和位置無法同時精確測定，愛因斯坦認為當精確測定其中一個物理量時，另一個物理量則失去了物理的實在性。在相關討論擴展到兩個相互糾纏的粒子時，發(fā)現(xiàn)它們之間的“鬼魅般的超距作用”違背了經典定律的定域性，因此，愛因斯坦認為量子力學并沒為物理實在提供一個完整的描述，即量子力學是不完備的。他進一步認為，還存在未知的隱變量影響微觀世界狀態(tài)，即隱變量詮釋。愛因斯坦的觀點并沒有說服玻爾，并且其所考慮的思想實驗在當時是很難付諸驗證的。

1951年，英國物理學家玻姆（D. Bohm）在《量子理論》中提供了一個新版本的EPR實驗[1]——EPRB實驗。他在保持EPR思想實驗精髓的前提下，將連續(xù)變量（動量和位置）替換為分立變量（自旋），討論了總自旋為0的雙原子分子情況。在保持分子總自旋不變的條件下，將兩個原子分開，如果沿x方向對A原子測量，會得到自旋態(tài)為↑，那么對B原子也沿x方向測量，得到的結果一定是↓。這樣的測量結果總是100%關聯(lián)。但是由于不確定性原理，如果選擇沿其他方向如y或z對B進行測量，此時其自旋態(tài)測量結果就不可預知，為概率性結果（這里的x、y、z可以是任意的三個方向）。采用分立變量替換連續(xù)變量，不僅更直觀，而且更容易進行數(shù)學處理，EPRB實驗也更易實現(xiàn)。實際上，愛因斯坦構想的連續(xù)變量的EPR悖論實驗直到1993年才得以實現(xiàn)，我國量子光學先驅、山西大學光電研究所彭堃墀院士參與完成了這一重要的實驗工作。[2]

貝爾從玻姆的EPRB實驗討論中獲得靈感。他是愛因斯坦的忠實粉絲，為給隱變量提供切實的實驗證據(jù)，他考慮將兩個相互糾纏的電子分開足夠遠，并分別測量兩電子A、B的自旋。貝爾從理論上證明，無法構建一種可以同時沿多個方向測量粒子自旋的探測器，因此，對兩處的電子只能沿著一個方向進行測量，不過測量的方向不再是固定的同向，而是二人分別相互獨立、隨機選擇方向。貝爾在實在性和定域性的雙重假定下，通過分析隱變量和量子力學兩種情況下粒子的相關性，建立了貝爾不等式：|P（x，y）-P（x，z）|≤1+P（y，z），其中P（x，y）代表A電子沿x方向，同時B電子沿z方向多次測量獲得的平均值，P（x，z）和P（y，z）同理。同時，他提出貝爾定理：沒有任何定域隱變量理論能夠復制所有量子力學的預測。他進一步解釋道：“如果隱變量理論是定域的，那么它將無法和量子力學調和，如果它和量子力學一致，那么它就不會是定域的。這就是這個理論所表達的內容?！必悹柌坏仁皆诮浀涫澜缡菄栏癯闪⒌?，但是如果微觀世界確實如量子力學所描述的那樣，則該不等式不再成立。因此，通過實驗檢驗貝爾不等式是否成立就可以知曉愛因斯坦和玻爾孰對孰錯，可惜此時，二人都已去世。

然而，貝爾最初設想的思想實驗需要極其苛刻的實驗條件，比如，他要求兩處測量所選取的三個方向必須嚴格相同，即必須使用同一個坐標系，這對分離兩處的實驗裝置來說，基本是不可能實現(xiàn)的。因此，為了能將貝爾的思想實驗付諸實踐，1969年，克勞澤、霍恩（M. Horne）、希莫尼（A. Shimony）和霍爾特（R. Holt）在貝爾不等式基礎上，對其進行了拓展和推廣，提出了更一般化的形式——以他們姓氏首字母命名的Bell-CHSH不等式[3]：|P（x， y）+P（x′， y）+P（x， y′）-P（x′， y′）|≤2。式中，x， y和x′， y′分別是兩處各自選取的坐標系。這樣，BellCHSH不等式剔除了貝爾不等式中難以實現(xiàn)的特殊限制，簡化了實驗實現(xiàn)條件，為即將實施的檢驗實驗奠定堅實的理論基礎。

早期實踐探索

理論上的討論已很充分，似乎只欠東風，然而即便如此，受早期技術限制，檢驗實驗仍面臨巨大困難。按照貝爾最初的設想“這些儀器的設置足夠提前，使它們能夠通過以小于或等于光的速度交換信號而達到某種相互關系”，這就要求兩觀察者測量并獲得結果的時間，短于光從A地傳播到B地所用的時間，這樣才能保證在完成測量前，粒子之間沒有不超過光速的溝通和聯(lián)系，否則無法排除不超過光速的隱變量。因此，兩粒子在保持糾纏的狀態(tài)下，分隔足夠遠，才能避免實驗漏洞之一——定域性漏洞。然而，貝爾、玻姆等人設想的粒子自旋實驗雖然在形式上更加簡潔，但對當時的實驗技術而言，獲得相距較遠的實物糾纏粒子對（如電子、原子等有質量的粒子對）極其困難，事實上，此類實驗直到近幾年才實現(xiàn)。相較而言，獲得相隔較遠的糾纏光子對容易很多。因此，早期的檢驗實驗均利用光子來完成。

在貝爾不等式誕生前，就有物理學家嘗試探究糾纏光子間的關聯(lián)性。1946年，物理學家惠勒（J. Wheeler）提出利用正負電子湮滅產生的糾纏光子對來驗證EPR實驗。1950年，華裔物理學家吳健雄使用惠勒的實驗方案，進行了量子糾纏實驗。然而，正負電子湮滅產生的光子能量較高，傳統(tǒng)方式不能直接測量光子的偏振，而是采用康普頓散射間接獲得偏振信息，這樣做并不能獲得理想的結果。貝爾不等式誕生后，1967年，美國物理學家克歇爾（C. A. Kocher）在讀博士期間曾試圖進行貝爾不等式的檢驗，在加州大學伯克利分校建立了實驗裝置?？诵獱柛挠免}原子的級聯(lián)輻射獲得糾纏光子對，此糾纏光子頻率在可見光范圍內，可利用標準光學偏振片獲得光子偏振信息。

1970年，克勞澤到加州大學伯克利分校做博士后研究。他意識到克歇爾的實驗裝置改進后可用于Bell-CHSH不等式檢驗，并用兩年時間進行實驗改進。1972年，克勞澤通過200小時的實驗測量，完成了首次檢驗實驗。最終，得到了一個明顯違背BellCHSH不等式、符合量子力學預測的結果，證明了兩個相距很遠的粒子可以互相糾纏。然而，由于技術限制，早期的實驗設置過于簡陋，可以說是漏洞百出。

除了定域性漏洞，還有一個漏洞即探測效率漏洞。檢驗實驗要求進行大量穩(wěn)定的糾纏光子對的測量，由此獲得統(tǒng)計結果。而糾纏態(tài)極易受到外界干擾而坍縮，故長時間維持穩(wěn)定的實驗條件極其困難。在實驗過程中，糾纏光子對的產生和發(fā)送非常不穩(wěn)定，效率較低，要么在大部分時間里不產生光子對，要么光子對在發(fā)送和探測過程中丟失。因此，受當時實驗技術限制，研究者只獲得了少部分糾纏光子對的實驗結果。要想關閉探測效率漏洞，必須盡可能探測到更多的糾纏光子對。理論計算表明，探測到的光子對數(shù)需要超過總數(shù)的2/3，這個數(shù)值即便是對當前的實驗技術而言也是不易的。檢驗實驗還有賴于實驗技術的進一步發(fā)展。

新技術的積累

為了能夠獲得更加精準的實驗結果，阿斯佩試圖關閉實驗中的一些漏洞，進行了更多有益的嘗試，這也是他攻讀博士研究生的研究方向。貝爾理論成立的一個重要前提就是兩端的探測過程必須相互獨立、毫無關聯(lián)，在探測方向的選擇上必須要求“自由且隨機”。為了滿足這一實驗條件，首先要解決的就是定域性漏洞。

阿斯佩是第一個設計避免定域性漏洞的人。1981—1982年，他連續(xù)發(fā)表了三篇論文。他將兩糾纏光子分別發(fā)送到巨大房間的兩端，距離為12米，使得兩糾纏光子進行聯(lián)系至少需要40納秒，這個時間長于測量并獲得結果的時間。當然，除了要保證距離足夠遠，還要有快速變化的實驗設置，這樣做同樣是為了避免可能的隱變量。1957年，玻姆就曾設想糾纏粒子在飛行過程中，測量方向仍在改變，貝爾認為這點對實驗設置而言極其重要。在所有早期的實驗測量方案中，每次實驗選取的測量方向都是提前設置好且不變的。為了快速改變實驗設置，阿斯佩在實驗過程中利用聲光調制技術改變光路，使其按50兆赫的頻率周期性變化，從而達到快速改變測量方向的目的，第一次實現(xiàn)變換方向的偏振測量。當然，測量過程使用符合測量。阿斯佩通過這樣的設置，確保了兩處測量點A和B之間每次測量過程不會有不超過光速的隱變量的信息交換，從而關閉定域性漏洞。

另外，阿斯佩還使用更高效的糾纏光子源和雙通道探測系統(tǒng)來提高探測效率，進而獲得更精確且更有說服力的數(shù)據(jù)?；谏鲜鲋匾膶嶒灨倪M，實驗結果最終證明貝爾不等式不成立，首次為量子力學提供了較為可靠的實驗證據(jù)，也為進一步開展貝爾不等式檢驗實驗開辟了道路。雖然他已盡可能關閉漏洞，但就現(xiàn)在看來，受限于當時的技術，實驗方案其實并不完美，僅關閉了定域性漏洞。雖然阿斯佩的實驗設置保證了測量過程中不會有不超過光速的即時的信息交換，但是仍然無法保證測量方向的選擇是真正意義上的相互獨立且隨機，因為周期性變換本身就是一種關聯(lián)，談不上隨機。實際上，按照經典物理學的因果論，很難找到沒有絲毫關聯(lián)的真隨機事件。因此，如果無法保證實驗測量設置的隨機性，就會導致自由選擇漏洞。

無論如何，此實驗是邁向無漏洞檢驗的關鍵一步，對量子基礎理論研究產生了重要影響。貝爾一直在關注阿斯佩的實驗，1981年，他撰寫題為“伯特曼的襪子和現(xiàn)實的本質”的文章。貝爾以其同事伯特曼雙腳從不穿相同顏色的襪子為喻，來探討量子糾纏，并表達了當時學界比較認可的觀點：“我很難相信在低效的實驗設置下，能夠和實驗結果符合得很好的量子力學會在更加完美的實驗設置中失效?！边@是物理學家對量子力學的信仰，就連最初站在愛因斯坦一方的貝爾，此時也堅定地站到了玻爾這邊。

彼時檢驗實驗的漏洞可以總結為三個：定域性漏洞、探測效率漏洞以及自由選擇漏洞。隨后的幾十年中，隨著量子調控技術特別是單粒子水平的調控技術發(fā)展，更加完美的實驗驗證成為可能。為提高探測效率，研究人員改用囚禁在阱中的原子、離子或超導線路等實物粒子替代光子作為實驗對象。早期實驗中，糾纏物質之間的距離只能達到幾微米，較短的距離顯然無法關閉定域性漏洞。不過很快，新技術的出現(xiàn)為遠距離的物質糾纏提供了可能。

1993年，波蘭理論物理學家茹科夫斯基（M. ？ukowski）以及蔡林格等人提出糾纏交換的概念。糾纏交換是指通過貝爾態(tài)測量（投影到任意一個最大糾纏態(tài)基矢）過程，實現(xiàn)糾纏狀態(tài)的傳遞。比如，準備兩對糾纏粒子，分別是來自糾纏源Ⅰ的糾纏粒子對1、2和來自糾纏源Ⅱ的糾纏粒子對3，4，通過對粒子2和3進行一次聯(lián)合貝爾態(tài)測量就可以實現(xiàn)粒子1和4的糾纏，而粒子1和4從未有過任何相互作用。1998年，蔡林格團隊首次實現(xiàn)了糾纏交換實驗，論文第一作者為中國科學技術大學潘建偉院士。