循環(huán)碼的像構(gòu)造2類新量子碼

郭宏哲, 朱士信

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

量子糾錯碼理論的研究始于20世紀90年代末,文獻[1-3]證明了量子糾錯碼的存在。隨著第1個量子糾錯碼實例的出現(xiàn),研究人員陸續(xù)提出了許多構(gòu)造量子糾錯碼的方法,如厄米特構(gòu)造、(CSS)Calderbank-Shor-Steane構(gòu)造法和辛自正交構(gòu)造。近年來,許多研究人員致力于利用厄米特自正交碼構(gòu)造良好的量子糾錯碼,并取得了一系列成果。文獻[4]給出了常循環(huán)碼是厄米特自正交碼的充要條件,并利用厄米特構(gòu)造得到了新的量子最大距離可分(maximum distance separable,MDS)糾錯碼。研究人員試圖使用不同種類的糾錯碼來構(gòu)造量子糾錯碼。文獻[4-6]分別從常循環(huán)碼、RS(Reed-Solomon)碼、BCH(Bose-Chaudhuri-Hocquenghem)碼中獲得一些好的量子糾錯碼。循環(huán)碼易于編碼,經(jīng)常被用于構(gòu)造其他碼,如Kerdock碼、Preparata碼和Justesen碼。隨著研究的深入,研究人員發(fā)現(xiàn)循環(huán)碼可以構(gòu)造良好的量子糾錯碼[7-8]。文獻[9]得出qm-元循環(huán)碼的q-元像也是循環(huán)碼的條件。此后,循環(huán)碼的像開始被用來構(gòu)造量子糾錯碼,許多成果表明,這種構(gòu)造方法有其自身的優(yōu)點。文獻[8]利用4m-元循環(huán)碼的厄米特自正交像得到了良好的量子糾錯碼;文獻[10]研究了qm-元碼的q-元像在廣義上自正交的條件,并利用4m-元循環(huán)碼的自正交像構(gòu)造新的量子糾錯碼。

本文對循環(huán)碼的厄米特自正交像構(gòu)造量子糾錯碼作了進一步研究。定義了一類映射,并給出關(guān)于循環(huán)碼的像的幾個性質(zhì);給出了q2m-元長度分別為n=(q2m-1)/(q-1)、n=(q2m-1)/(q2+1)(m>2偶數(shù))的循環(huán)碼的q2-元像是厄米特自正交的充分條件;對有q2m-元循環(huán)碼的q2-元厄米特自正交像,使用厄米特構(gòu)造得到2類新的量子循環(huán)碼;與已知的量子糾錯碼相比,2類新的量子糾錯碼具有更高的碼率或更大的最小距離。本文約定q是素數(shù)p的次冪。

1 基本概念

定義1 設(shè)C為長度為n的q-元線性碼,則碼C是循環(huán)碼當且僅當對任意(a0,a1,…,an-1)∈C都有(an-1,a0,a1,…,an-2)∈C。

集合Cq[k,n]={k,qk,q2k,…,qlk-1k}稱為包含k的q-模n分圓陪集,lk滿足qlkk≡k(modn)。 若k是集合中的最小值,則稱k為陪集首。集合I={0,1,2,…,n-1}可以被劃分為分圓陪集I=∪k∈KCq[k,n],K是模n陪集首的集合。因此g(z)=∏k∏i∈Cq[k,n](z-ξi),其中,k遍歷集合K的某子集K0。稱g(z)的根ξi為碼的零點。設(shè)g(z)的根的集合為T0={j|j∈∪k∈K0Cq[k,n]},并稱T0為碼C的零點集,即定義集。設(shè)h(z)=(zn-1)/g(z),h(z)稱為C的奇偶校驗多項式,h(z)的根的集合稱為C的非零點集,設(shè)為T1,則T1={j|0≤j≤n-1}T0。

定義2 若g(z)是Fq上以ξb,ξb+1,…,ξb+δ-2為根的最低次首一多項式,則C=〈g(z)〉是Fq上設(shè)計距離為δ的BCH碼,其中b≥0。

定理1(BCH界)[11]若C是Fq上長度為n、設(shè)計距離為δ的BCH碼,則C的最小距離d≥δ。

2 循環(huán)碼及其像的自正交

稱C為厄米特自正交碼當且僅當C?C⊥H。

容易推出C⊥H=(Cq)⊥E=(C⊥H)q。令C的非零點集為H?{j|0≤j≤n-1},則C⊥H仍然是循環(huán)碼且有定義集-qH={-qh(modn)|h∈H}?？梢酝瞥鯟為厄米特自正交碼的充要條件是(-qH)∩H=?。

a=(a0,a1,…,an-1)=

LV(a)=(a00,…,an-1,0,a01,a11,…,an-1,m-1)。

定義參數(shù)為[n,k,d]q2m的循環(huán)碼C的像LV(C)={LV(a)|a∈C}。容易推出LV(C)是參數(shù)為[mn,mk,≥d]q2的線性碼。

設(shè)U={u0,u1,…,um-1}是Fq2m的1組厄米特正交基,當m為奇數(shù)時,LV(C)⊥H=LU(C⊥H);當m為偶數(shù)時,LV(C)⊥H=LU(C⊥H)q[4]。假設(shè)碼C的非零點集為T2m,T2m是某些q2m-模n分圓陪集的集合。設(shè)D=〈∏t∈T2(x-ξt)〉是長度為n的q2-元循環(huán)碼,其中T2=∪Cq2[k,n]?T2mCq2[k,n]。若D?D⊥H,則LV(C)?LV(C)⊥H。因此,-qT2∩T2=?當且僅當對任意j、i∈T2m,t∈N,都有jq2t+1+i≡/0(modn)。

3 量子糾錯碼的構(gòu)造

3.1 構(gòu)造1

定理2(Hermitian構(gòu)造)[12-13]設(shè)C是長度為n的q2-元線性碼,

d=min{wt(c)|c∈C⊥HC},

若C?C⊥H,則存在參數(shù)為[[n,n-2k,d]]q2的量子糾錯碼。

設(shè)n=(q2m-1)/(q+1),m≥2,則q2m-模n分圓陪集可以表示為Cq2m[i,n]={i},其中0≤i≤n-1?？紤]C是長度為n的q2m-元循環(huán)MDS碼。

設(shè)

證明僅需證明對任意j、i∈T2m,t∈N,都有jq2t+1+i≡/0(modn)。

假設(shè)存在j、i∈T2m, 0≤t≤2m-1,使得jq2t+1+i≡0(modn)。注意到q4m≡1(modq2m-1),則j+iq2(2m-t-1)+1≡0(modn)。因此只需假設(shè)0≤t≤m-1。下面分2種情況討論。

(1)m=2k≥2的情況。

當0≤t≤(m-2)/2時,

q+1≤jq2t+1+i≤

矛盾!

矛盾!

(2)m=2k+1≥3的情況。

當0≤t≤(m-1)/2時,

矛盾!

當0≤t≤(m-1)/2時,

與假設(shè)矛盾!

定理3 當n=(q2m-1)/(q-1),m≥2且m是正整數(shù)時,存在q-元[[mn,mn-2mu,≥u+1]]量子糾錯碼,其中1≤u≤δ1。

顯然零點集有n-u-1個連續(xù)根ξu+1,…,ξn-1,ξn,因此C是Fq2m上一個參數(shù)為[n,u,n-u+1]的MDS循環(huán)碼。C⊥H也是一個q2m-元MDS循環(huán)碼,且參數(shù)為[n,n-u,u+1]。容易看出,LV(C)⊥H的距離d1≥u+1。因為LV(C)?LV(C)⊥H,所以可以推出LV(C)的參數(shù)為[mn,mu,≥u+1]q2。由厄米特構(gòu)造知,存在參數(shù)為[[mn,mn-2mu,≥u+1]]的量子糾錯碼。

例1 令q=4,m=2,n=85,根據(jù)定理3,存在長度為170的四元量子糾錯碼。通過使用文獻[14]中的加長規(guī)則,得到長度為171的四元量子糾錯碼。得到的量子糾錯碼與文獻[15]中已知量子碼比較,有更高的碼率或更大的最小距離。結(jié)果見表1所列。

表1 四元量子碼的比較

3.2 構(gòu)造2

考慮C是長度為n=(q2m-1)/(q2+1)的q2m-元循環(huán)MDS碼,m∈N且m>2為偶數(shù)。顯然q2m-模n分圓陪集可以寫為:

Cq2m[i,n]={i}, 0≤i≤n-1。

證明假設(shè)存在j、i∈T2m, 0≤t≤2m-1,使得jq2t+1+i≡0(modn)。兩邊同乘以q4m-2t-1,可得:

j+iq2(2m-t-1)+1≡0(modn)。

因此可以假設(shè)0≤t≤m-1。下面分2種情況討論。

(1)m=4k≥4的情況。

當0≤t≤(m-2)/2時,

q+1≤jq2t+1+i≤

矛盾!

q+1≤j+iq2(m-t)-1≤

矛盾!

(2)m=4k+2≥6的情況。

當0≤t≤(m-2)/2時,

q+1≤jq2t+1+i≤

矛盾!

q+1≤j+iq2(m-t)-1≤

與假設(shè)矛盾!

定理4 當n=(q2m-1)/(q2+1)時,m∈N且m>2為偶數(shù),1≤u≤δ2時,存在q-元[[mn,mn-2mu,≥u+1]]量子糾錯碼。

例2令q=2,m=4,n=51。根據(jù)定理4,存在長度為204的二元量子糾錯碼。通過使用文獻[14]中的加長規(guī)則,得到長度為205的二元量子糾錯碼。得到的量子糾錯碼與文獻[15]中已知量子碼比較,結(jié)果見表2所列。由表2可知,得到的量子糾錯碼有更高的碼率。

表2 二元量子碼的比較

4 結(jié) 論

本文用MDS循環(huán)碼的厄米特自正交像構(gòu)造新的量子碼。這些新的量子碼具有良好的糾錯性能,與文獻[15]中已知的量子碼相比,這些新的量子碼在長度相同時具有更大的最小距離或更高的碼率。因此本文具有一定的理論與應用價值。