均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁臨界荷載的一種優(yōu)化設(shè)計(jì)①

尤 超, 梁冠軍, 沈晨姝, 余 龍

(1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽滁州 239000; 2.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院,上海 200092;3.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)安徽省電力設(shè)計(jì)院有限公司,安徽合肥230009)

0 引 言

在建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,簡(jiǎn)支梁是設(shè)計(jì)中最常見的一種結(jié)構(gòu)形式,它常常受到各種荷載的作用,結(jié)構(gòu)上的任何一處都可能產(chǎn)生較大應(yīng)力與變形[1-4],從而使簡(jiǎn)支梁的結(jié)構(gòu)發(fā)生變形破壞。以簡(jiǎn)支梁受均布荷載變形后的平衡狀態(tài)為研究對(duì)象,建立受力模型,并對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分析,最終確定簡(jiǎn)支梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)求解變形和轉(zhuǎn)角[5-8],并把結(jié)果與有限元分析結(jié)果進(jìn)行比較,進(jìn)而驗(yàn)證優(yōu)化算法的正確性[9-10]。

1 均布荷載作用下建立簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的受力模型

假設(shè)在均布荷載q作用下,簡(jiǎn)支梁橫截面為矩形,寬b,高q,跨度為l,彎曲剛度EI,在受力前后變形如圖1所示。

(1)簡(jiǎn)支梁變形前,由靜力平衡求得各約束為:

(1)

(2)

(3)各微段在坐標(biāo)系下的遞推關(guān)系式:

在坐標(biāo)系XAY下,第k個(gè)微段的左端點(diǎn)為Sk-1(Xk-1,Yk-1),右端點(diǎn)為Sk(Xk,Yk),以變形曲線Sk-1(Xk-1,Yk-1)點(diǎn)的切線和法線建立坐標(biāo)系xkSk-1yk,則第k微段的轉(zhuǎn)角與變形為Δθk,Δxk,Δyk,由式(3)計(jì)算:

(3)

式(3)中第k個(gè)子段曲率中心Ck點(diǎn)坐標(biāo)如式(4):

(4)

2 計(jì)算結(jié)構(gòu)優(yōu)化與目標(biāo)函數(shù)

(5)

圖1 簡(jiǎn)支梁受力變形后平衡狀態(tài)圖

圖2 簡(jiǎn)支梁第k子段內(nèi)力變形關(guān)系分析圖

3 算例分析

用上述計(jì)算優(yōu)化算法均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁的變形及轉(zhuǎn)角和采用有限元分析軟件的計(jì)算結(jié)果如表1,并進(jìn)行對(duì)比。

表1 均布荷載q大小不同時(shí)簡(jiǎn)支梁的撓度和轉(zhuǎn)角

選取均布載荷q=50作用時(shí)的情況分析,采用本文提出的優(yōu)化算法計(jì)算簡(jiǎn)支梁轉(zhuǎn)角和各分點(diǎn)的撓度,將計(jì)算各分點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和坐標(biāo)結(jié)果如表2,以及用有限元軟件分析計(jì)算的各分點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和坐標(biāo)結(jié)果如表3。

表3 采用有限元分析軟件計(jì)算Yi時(shí)梁上各分點(diǎn)變形和轉(zhuǎn)角

根據(jù)表2和表3的計(jì)算結(jié)果,繪制在均布荷載q=50作用時(shí),采用優(yōu)化算法和有限元方法的變形與轉(zhuǎn)角的平衡狀態(tài)擬合如圖3所示。

(a) 撓度曲線

(b) 轉(zhuǎn)角對(duì)比圖

從圖3的撓度曲線圖(a)和轉(zhuǎn)角對(duì)比圖(b),可以看出采用上述提出的優(yōu)化算法和有限元分析軟件的計(jì)算結(jié)果具有很好的一致性,進(jìn)而說明所研究的優(yōu)化算法在解決均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁變形問題的有效性和正確性。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過計(jì)算實(shí)例,針對(duì)簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)在均布荷載作用下的計(jì)算問題進(jìn)行了分析,基于微分方程的初值問題的求解原理,建立優(yōu)化算法,求解未知力,編制優(yōu)化求解程序,分析了計(jì)算算例,并同有限元方法的計(jì)算結(jié)果的進(jìn)行對(duì)比,表明所研究的算法在求解簡(jiǎn)支梁力學(xué)問題上具有很好的有效性,從而為處理工程結(jié)構(gòu)問題,提供了一種求解的新思路。