基于ARIMA模型的北京市GDP分析與預(yù)測

李振亮 樂昕雨

【摘 ?要】GDP是衡量國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要指標(biāo)。論文通過選取北京市1978-2020年的GDP年度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，利用R軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，構(gòu)建ARIMA模型，進(jìn)而預(yù)測北京市未來5年的GDP。根據(jù)AIC準(zhǔn)則構(gòu)建最優(yōu)ARIMA（2，2，1）模型，其相對誤差在7%以內(nèi)，模型預(yù)測效果較好。應(yīng)用該模型預(yù)測北京市2021-2025年GDP依次為37 094.89億元、38 831.57億元、39 714.03億元、41 144.21億元、42 623.04億元，可以看出北京市未來5年GDP仍然保持較高的增長速度，為未來北京市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供一個(gè)科學(xué)的參考和依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】GDP；ARIMA；預(yù)測

【中圖分類號】F224 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文章編號】1673-1069（2023）01-0153-03

1 引言

國內(nèi)生產(chǎn)總值（Gross Domestic Product，GDP）是反映國家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和人民生活狀況的重要指標(biāo)。因此，預(yù)測GDP未來趨勢可把握經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況，具有重要意義。國內(nèi)已有諸多研究使用ARIMA模型對貴州、重慶、江蘇、廣東、湖北、吉林、陜西、安徽、浙江等地區(qū)的GDP進(jìn)行分析與預(yù)測，表明ARIMA模型對GDP預(yù)測具有很好的效果。其中，張梓[1]選取貴州省1978-2020年GDP數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建ARIMA（0，1，1）模型來對貴州省2021-2025年GDP進(jìn)行預(yù)測，且2016-2019年相對誤差均控制在7%以下。夏如玉等[2]選取重慶市2009-2020年GDP數(shù)據(jù)，建立ARIMA（0，1，0）模型對重慶市2021-2032年GDP進(jìn)行預(yù)測。查華等[3]選取江蘇省1975-2020年GDP數(shù)據(jù)，建立ARIMA（0，1，1）模型對江蘇省2021-2022年GDP進(jìn)行預(yù)測，且2018-2020年平均相對誤差在5%以下。王錚[4]選取廣東省1995-2020年GDP數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建ARIMA（0，1，4）模型對廣東省2021-2022年GDP進(jìn)行預(yù)測，且2018-2020年相對誤差均在5%以下。瞿海情等[5]選取湖北省1978-2019年GDP數(shù)據(jù)，建立ARIMA（0，2，3）模型對湖北省2020-2021年GDP進(jìn)行預(yù)測，且2018-2019年平均相對誤差為10.585%。潘典雅[6]選取吉林省1993-2019年GDP數(shù)據(jù)，建立ARIMA（2，1，1）模型對吉林省2020-2021年GDP進(jìn)行預(yù)測，且2018-2019年相對誤差均在1%以下。胡詠琪[7]選取陜西省1986-2020年GDP數(shù)據(jù)，建立ARIMA（1，1，0）模型對陜西省2021-2022年GDP進(jìn)行預(yù)測，且2017-2020年相對誤差均在6%以下。王佳佳[8]選取安徽省1978-2019年GDP數(shù)據(jù)，建立ARIMA（2，1，3）模型對2020-2022年GDP進(jìn)行預(yù)測，且1978-2019年相對誤差均在8%以下。鄭夢琪等[9]選取浙江省1978-2018年GDP數(shù)據(jù)，建立ARIMA（5，1，5）模型對浙江省2019-2021年GDP進(jìn)行預(yù)測。

北京市作為我國首都，經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，GDP的總量始終居于全國前列。本文將利用R軟件，選取北京市1978-2020年的GDP年度數(shù)據(jù)，構(gòu)建ARIMA模型對北京市2021-2025年未來5年GDP進(jìn)行預(yù)測，為北京市未來GDP的發(fā)展提供一個(gè)科學(xué)的參考和依據(jù)。

2 ARIMA模型的基本原理

差分自回歸移動(dòng)平均（Auto Regressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型是由自回歸模型（Auto Regression，AR）、移動(dòng)平均模型（Moving Average，MA）和差分法結(jié)合而來的時(shí)間序列預(yù)測模型，常用于非平穩(wěn)時(shí)間序列的分析和預(yù)測[10]。對于時(shí)間序列數(shù)據(jù)可以使用ARIMA模型進(jìn)行分析，模型表達(dá)式為ARIMA（p，d，q），其中p是自回歸項(xiàng)數(shù)，q是移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d是差分次數(shù)。ARIMA模型的數(shù)學(xué)通式為：Φ（B）（1-B）dXt

=θ（B）εt；模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式為：Φ（B）=1-Φ1B-Φ2B2

-…-ΦpBp；模型的移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式為：θ（B）=1-θ1B

-θ2B2-…-θqBq；Xt表示需要預(yù)測的時(shí)間序列，εt表示白噪聲序列[11]。ARIMA模型主要用于平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測，步驟包括繪制時(shí)間序列圖、數(shù)據(jù)預(yù)處理（包括平穩(wěn)性和白噪聲檢驗(yàn)）、模型識別與定階和模型預(yù)測。

3 基于ARIMA模型的實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理與初步分析

1978-2020年北京市GDP年度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來源于《北京市統(tǒng)計(jì)年鑒》，通過Excel ?2019軟件建立GDP的時(shí)間序列數(shù)據(jù)庫，使用R軟件（version 4.0.5，the R Foundation for Statistical Computing，Vienna，Austria）對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理、建模、診斷、預(yù)測等。從時(shí)間序列圖（圖1）可以看到，1978-2020年北京市GDP呈現(xiàn)指數(shù)增長趨勢，2020年GDP值為36 102.6億元，是1978年的332倍左右。

3.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

從時(shí)序圖（圖1）可以發(fā)現(xiàn)北京市GDP隨時(shí)間呈指數(shù)增長趨勢，為非平穩(wěn)時(shí)間序列。因此，首先利用R軟件中l(wèi)og函數(shù)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)處理，再進(jìn)行差分。隨后利用R軟件中diff函數(shù)對其進(jìn)行一階差分，單位根檢驗(yàn)結(jié)果顯示P=0.413 3＞0.05，表明對數(shù)一階差分后的序列還不是一個(gè)平穩(wěn)序列。故對其進(jìn)行二階差分，單位根檢驗(yàn)結(jié)果顯示P＜0.05，表明其符合平穩(wěn)時(shí)間序列特征。

3.3 ARIMA（p，d，q）的識別

原始序列數(shù)據(jù)通過取對數(shù)和二階差分處理后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，因此d=2，初步確定ARIMA模型為ARIMA（p，2，q）。利用R軟件中acf和pacf函數(shù)繪制出上述平穩(wěn)化序列的自相關(guān)圖（圖2）和偏自相關(guān)圖（圖3），通過觀察圖形的自相關(guān)系數(shù)變化趨勢可初步判斷p、q的取值。從序列的自相關(guān)圖可以看到序列在零階截尾，初步判斷q=0；從序列的偏自相關(guān)圖可以看到序列在二階截尾，初步判斷p=2。

為保證p、q值的選擇更加準(zhǔn)確合適，利用R軟件中ARIMA函數(shù)進(jìn)行模型擬合，AIC值在ARIMA（2，2，0）、ARIMA（2，2，1）、ARIMA（1，2，0）、ARIMA（1，2，1）等不同參數(shù)下，分別為-127.83、-128.89、-122.14、-126.32。根據(jù)AIC準(zhǔn)則（該值越低越好）選擇最優(yōu)模型為ARIMA（2，2，1）。

3.4 殘差白噪聲檢驗(yàn)

通過繪制殘差序列的Q-Q圖（圖4）可以看到殘差近似落在一條直線，可以初步判斷該序列是隨機(jī)正態(tài)分布。利用R軟件中Box.test函數(shù)開展進(jìn)一步白噪聲檢驗(yàn)，結(jié)果顯示Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量的P值大于0.05，說明該序列屬于白噪聲序列。因此，可判定模型ARIMA（2，2，1）合理。

3.5 模型預(yù)測

通過繪制北京市1978-2020年GDP預(yù)測值與實(shí)際值的時(shí)間序列圖（圖5）可以看出預(yù)測值與實(shí)際值的變化趨勢基本保持一致，反映出模型擬合程度較好。

圖5 ?真實(shí)值與預(yù)測值比較

選取北京市2010-2020年GDP真實(shí)值與預(yù)測值數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，對比結(jié)果發(fā)現(xiàn)真實(shí)值與預(yù)測值的相對誤差較低，其中2020年的相對誤差最高，為0.062（表1）?？傮w上，真實(shí)值與預(yù)測值的相對誤差較低，反映出模型預(yù)測效果良好，可以應(yīng)用ARIMA（2，2，1）模型對北京市2021-2025年GDP進(jìn)行預(yù)測。

利用R軟件中forecast函數(shù)對北京市2021-2025年GDP進(jìn)行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)北京市未來5年的GDP依次為37 094.89億元（95%CI：34 027.35～40 439.00億元）、38 831.57億元（95%CI：32 056.01～47 039.36億元）、39 714.03億元（95%CI：29 877.77～52 788.57億元）、41 144.21億元（95%CI：27 295.85～62 018.62億元）和42 623.04億元（95%CI：24 690.65～73 579.37億元），可以看出對北京市未來5年GDP仍然保持較高的增長速度（見表2）。

4 結(jié)論與建議

本研究選取1978-2020年北京市GDP年度數(shù)據(jù)，利用R軟件構(gòu)建出ARIMA（2，2，1）模型，并預(yù)測北京市未來5年的GDP值。該模型顯示真實(shí)值與預(yù)測值的相對誤差在7％以下，可較好預(yù)測北京市GDP未來趨勢。2020年北京市GDP預(yù)測值出現(xiàn)了超過5％的相對誤差，這可能與新冠肺炎疫情有關(guān)。通過ARIMA（2，2，1）模型預(yù)測北京市未來5年的GDP值，結(jié)果顯示北京市2021年GDP值為37 094.89億元，有望在2024年突破40 000億元大關(guān)。預(yù)測模型發(fā)現(xiàn)未來5年北京市GDP呈現(xiàn)出穩(wěn)步增長的趨勢，可為北京市“十四五”發(fā)展規(guī)劃提供決策建議。

一是建設(shè)國際科技創(chuàng)新中心，構(gòu)建首都特色經(jīng)濟(jì)體系。通過支持國家級高新技術(shù)企業(yè)、專精特新小巨人企業(yè)和獨(dú)角獸企業(yè)，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)和長線發(fā)展。繼續(xù)聚焦高精尖產(chǎn)業(yè)，將創(chuàng)新因子融入先進(jìn)制造業(yè)，追求現(xiàn)代服務(wù)業(yè)頂層價(jià)值，吸引國際一流創(chuàng)新人才，打造世界一流人才高地。

二是發(fā)揮數(shù)字經(jīng)濟(jì)核心優(yōu)勢，加強(qiáng)新型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)。加快北京數(shù)字貿(mào)易港建設(shè)，開展區(qū)塊鏈、人工智能、5G等算力平臺先行示范，擴(kuò)大智慧城市試點(diǎn)區(qū)域，更加突出數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展重要地位。

三是建設(shè)國際消費(fèi)中心城市，不斷探索消費(fèi)新模式。針對新時(shí)代消費(fèi)群體的變化，可將北京特色文化融于消費(fèi)新場景中，加強(qiáng)構(gòu)建特色商圈、專題品牌等消費(fèi)活動(dòng)。將擴(kuò)大內(nèi)需作為重要抓手，與傳統(tǒng)工商業(yè)改造升級進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，把恢復(fù)和刺激消費(fèi)放到突出位置。

四是鼓勵(lì)發(fā)展民營經(jīng)濟(jì)，實(shí)現(xiàn)提就業(yè)穩(wěn)稅收。民營經(jīng)濟(jì)不僅是經(jīng)濟(jì)增長、GDP健康穩(wěn)定發(fā)展的重要力量，也是市場機(jī)制有效運(yùn)行的關(guān)鍵因素。面對新冠肺炎疫情的沖擊，經(jīng)濟(jì)不斷面臨挑戰(zhàn)，民營經(jīng)濟(jì)發(fā)展對推動(dòng)社會主義市場經(jīng)濟(jì)建設(shè)具有重要意義。構(gòu)建良好的營商環(huán)境，解決企業(yè)發(fā)展問題更加有助于北京經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展。

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