測電阻方法探微

成金德

測電阻是中學物理實驗中的核心內容，是歷年高考實驗部分的重頭戲.測量電阻時，根據問題的要求需要設計測量電路、選擇電表量程、選用滑動變阻器和熟練應用相關的物理規(guī)律，以測電阻為線索的實驗問題可以考查學生的實驗遷移能力、實驗設計能力和知識應用能力.為此，弄清和掌握測量電阻的方法至關重要，下面就此問題作詳盡的分析和探討.

一、伏安法

測出被測電阻兩端的電壓U和通過被測電阻的電流I，根據歐姆定律I=UR可求出被測電阻的阻值R=UI.這種方法叫做伏安法.

1.常規(guī)方法

（1）電流表外接法

如圖1所示是一種用伏安法測電阻的電路，叫做電流表外接法.

在電流表外接法中，由于伏特表的分流作用，使電流表的測量值大于通過被測電阻的真實值，由歐姆定律得：

R測=U測I測=URIR+IV=RVRV+Rx·Rx，所以，測量值小于真實值.

可見，用電流表外接法測量電阻時，必須滿足RV》Rx的條件，即此種接法適合于測量小電阻.

（2）安培表內接法．

如圖2所示是另一種用伏安法測電阻的電路，叫做電流表內接法.

在電流表內接法中，由于電流表的分壓作用，使電壓表的測量值大于被測電阻兩端的真實電壓，由歐姆定律得：

R測=U測I測=UR+UAI測=Rx+RA，所以，測量值大于真實值.

可見，用電流表內接法測量電阻時，必須滿足Rx》RA的條件，

即此種接法適合于測量大電阻.

【例1】（2020·全國卷Ⅰ）某同學用伏安法測量一阻值為幾十歐姆的電阻Rx，所用電壓表的內阻為1 kΩ，電流表內阻為05 Ω.該同學采用兩種測量方案，一種是將電壓表跨接在圖3所示電路的O、P兩點之間，另一種是跨接在O、Q兩點之間.測量得到如圖4所示的兩條U-I圖線，其中U與I分別為電壓表和電流表的示數.回答下列問題：

（1）圖4中標記為Ⅱ的圖線是采用電壓表跨接在__________（選填“O、P”或“O、Q”）兩點的方案測量得到的.

（2）根據所用實驗器材

和圖4可判斷，由圖線__________（選填“Ⅰ”或“Ⅱ”）得到的結果更接近待測電阻的真實值，結果為__________?Ω（保留1位小數）.

（3）考慮到實驗中電表內阻的影響，需對（2）中得到的結果進行修正，修正后待測電阻的阻值為__________?Ω（保留1位小數）.

分析：（1）若將電壓表接在O、P之間，根據歐姆定律得：I=URV+URx

即：U=RxRVRx+RV·I，由一次函數關系可知圖線的斜率為：k1=RxRVRx+RV.

若將電壓表接在O、Q之間，根據歐姆定律得：

Rx=U-IRAI

解得：U=I（Rx+RA）

由一次函數關系可知圖線的斜率為：k2=（Rx+RA）

顯然，k2>k1，從圖像中看出，kⅠ>kⅡ

所以，圖線Ⅱ是采用電壓表跨接在O、P之間的方案得到的.

（2）因為待測電阻是阻值為幾十歐姆的電阻，通過圖線的斜率大致可估算出待測電阻為50 Ω左右，由于RVRx

說明更符合Rx》RA的條件，所以電壓表應跨接在O、Q之間，所以選擇圖線I得到的結果較為準確.

（3）根據圖像可知：Rx=3V-1V596 mA-20 mA≈505 Ω

考慮電流表內阻的影響，則修正后的待測電阻為：

Rx′=Rx-rA=505 Ω-05 Ω=500 Ω.

2.電表的反常規(guī)用法

已知內阻的電流表（或電壓表），它們不僅可以測量電流（或電壓），而且可以測量電壓（或電流），也即電流表可當作電壓表使用（或電壓表可當作電流表使用），從而實現電表的反常規(guī)應用.

【例2】某同學在實驗室測量某一阻值大約90 Ω左右的電阻，現有如下的實驗器材可供選擇：

A.電流表A1（量程50 mA，內阻r1=100 Ω）

B.電流表A2（量程150 mA，內阻r2大約為40 Ω）

C.電流表A3（量程3 A，內阻r3大約為01 Ω）

D.滑動變阻器R（0～20 Ω，額定電流2 A）

E.直流電源E（9 V，內阻不計）

F.導電元件Rx

G.開關一只，導線若干

為精確地測量該電阻的阻值，請選擇合適的儀器，畫出實驗電路.

分析：考慮到實驗器材中缺少電壓表，但由于電流表A1的內阻已知，且電流表A1能測最大電壓為：U?max?=50×10?-3?×100 V=5 V，顯然，可以滿足利用電流表測量電壓的實驗要求.在測量過程中流過電阻的電流最大值為I?max?=U?max?R=5 V90 Ω=56 mA，則電流表應選用A2.為了多測量數據而減小誤差，滑動變阻器需應用分壓式接法，由于電流表A2的內阻未知，則選用電流表外接法，電路圖如圖5所示.

3.電阻箱（或定值電阻）代替電表

如果能測出電阻箱（或定值電阻）兩端的電壓，根據歐姆定律可求出通過電阻箱（或定值電阻）的電流，即此時可將電阻箱（或定值電阻）當作電流表使用；同理，如果能測出通過電阻箱（或定值電阻）的電流，根據歐姆定律可求出電阻箱（或定值電阻）兩端的電壓，即此時可將電阻箱（或定值電阻）當作電壓表使用.

【例3】要測量電壓表V1的內阻R?V1?，其量程為0～2 V，內阻約為2 kΩ.實驗室提供的元件有：

A.電流表A，量程為0～06 A，內阻約為01 Ω；

B.電壓表V2，量程為0～5 V，內阻約為5 kΩ；

C.定值電阻R1，阻值為30 Ω；

D.定值電阻R2，阻值為3 kΩ；

E.滑動變阻器R3，最大阻值為100 Ω，允許通過的最大電流為15 A；

F.電源E，電動勢為6 V，內阻約為05 Ω；

G.開關S一個，導線若干.

請設計一個測量電壓表V1內阻R?V1?的實驗電路.要求測量盡量準確，實驗必須在同一電路中，且在不增減元件的條件下完成.試畫出符合要求的實驗電路圖.

分析：由于電壓表的內阻較大，流過電壓表的電流很小，因此，使用電流表直接測量通過電壓表V1的電流，電流表指針偏轉很微弱，讀數誤差較大.

這樣，只能讓定值電阻與待測電壓表V1串聯起來，如果能測出定值電阻兩端的電壓，由歐姆定律求出通過定值電阻的電流，則通過被測電壓表V1的電流就知道了.又因為電壓表V1能讀出自身兩端的電壓，這樣，就可以測出電壓表V1的電阻.

當電壓表V1、V2同時滿偏時，由于電壓表V1允許通過的最大電流約為1 mA，則R?定值?=U2-U1I?V1?=3 kΩ.可見，定值電阻應選用R2，又因為被測電壓表內阻較大，而滑動變阻器阻值較小，則控制電路要用分壓式接法.所以，實驗電路如圖6所示.

二、等效法

測量某電阻時，若將電阻箱替換待測電阻，如果替換前后對電路產生的效果相同，則待測電阻的阻值與電阻箱的有效電阻相等.

1.電流等效法

如圖7所示的電路，閉合開關S1、S2，調節(jié)滑動變阻器的滑片P，使電流表指針指在適當的位置，記下電流表的示數I.

再斷開開關S2，閉合開關S3，保持滑動變阻器的滑片P位置不變，調節(jié)電阻箱的阻值，使電流表的示數仍為I.

顯然，此時電阻箱連入電路的有效阻值R0與未知電阻Rx的阻值相等，即Rx＝R0.

2.電壓等效法

如圖8所示的電路，閉合開關S1、S2，調節(jié)滑動變阻器的滑片P，使電壓表指針指在適當的位置，記下電壓表的示數U.

再斷開S2，閉合S3，保持滑動變阻器的滑片P位置不變，調節(jié)電阻箱的阻值，使電壓表的示數仍為U.

顯然，此時電阻箱連入電路的有效阻值R0與未知電阻Rx的阻值相等，即Rx＝R0.

【例4】某同學準備把量程為0～500 μA的電流表改裝成一塊量程為0～20 V的電壓表.他為了能夠更精確地測量電流表的內阻，設計了如圖9所示的實驗電路，圖中各元件及儀表的參數如下：

A.電流表G1（量程0～10 mA，內電阻約100 Ω）

B.電流表G2（量程0～500 μA，內電阻約200 Ω）

C.電池組E（電動勢30 V，內電阻未知）

D.滑動變阻器R（0～25 Ω）

E.電阻箱R1（總阻值9 999 Ω）

F.保護電阻R2（阻值約100 Ω）

G.單刀單擲開關S1，單刀雙擲開關S2

（1）實驗中該同學先合上開關S1，再將開關S2與a相連，調節(jié)滑動變阻器R，當電流表G2有某一合理的示數時，記下電流表G1的示數I；

然后將開關S2與b相連，保持__________不變，調節(jié)__________，使電流表G1的示數仍為I時，讀取電阻箱的讀數r.

（2）由上述測量過程可知，電流表G2內阻的測量值rg＝__________.

（3）若該同學通過測量得到電流表G2的內阻為190 Ω，他必須將一個__________kΩ的電阻與電流表G2串聯，才能改裝為一塊量程為20 V的電壓表.

分析：應用等效法，只要保持滑動變阻器的滑片位置不變，調節(jié)電阻箱R1的阻值，使得電流表G1的示數仍為I時，則此時電阻箱的阻值與電流表G2內阻相等，即電流表G2內阻的測量值rg=r.

電流表G2再串聯一個電阻即可改裝成一個電壓表，由歐姆定律得：U=Ig（rg+R）

即：R=UIg-rg=2500×10?-6??Ω-190 Ω=3810 Ω

三、半偏法

1.電流表半偏法

如圖10所示的電路，斷開開關S2，閉合開關S1，調節(jié)滑動變阻器R1，使電流表的示數等于電流表的量程Im；保持滑動變阻器R1的阻值不變，閉合開關S2，調節(jié)電阻箱R2，使電流表的示數等于?12Im?，若滿足R1RA，則此時電阻箱R2的有效阻值約等于電流表的內阻，即?RA＝?R2.

由于在閉合開關S2時，總電路的電阻減小，導致總電流增大，雖然此時的電流表半偏，但流經R2的電流比電流表所在支路的電流大，

所以，R2的電阻實際上比電流表的電阻小，所以，這樣測出的電流表的內阻偏小.

2.電壓表半偏法

如圖11所示的電路，先將電阻箱R2的阻值調零，閉合開關S，調節(jié)滑動變阻器R1，使電壓表的示數等于它的量程Um；然后，保持滑動變阻器R1的滑片位置不變，調節(jié)電阻箱R2，使電壓表示數等于12Um，讀出此時電阻箱R2的有效阻值，若滿足R1RV，則此時電壓表的內阻可認為?RV＝?R2.

當調節(jié)電阻箱R2，使電壓表的示數等于12Um時，由電路知識可知，此時電阻箱R2兩端的電壓大于12Um，即R2>RV，可見，這樣測出的結果，將造成電壓表RV的測量值偏大.

【例5】實驗室可選用器材：①電阻箱1，最大阻值為999999 Ω；②電阻箱2，最大阻值為2 kΩ：③電源E1，電動勢約為2 V，內阻不計；④電源E2，電動勢約為6 V.內阻不計：另外有開關2個，導線若干，電流表的量程為1 mA，內阻約100 Ω.現采用如圖12所示的電路測量電流表的內阻rg.

（1）實驗步驟的順序為???；

①斷開S2，合上S1，調節(jié)R，使電流表A滿偏；

②再合上S2，調節(jié)R1，使電流表A半偏，則rg=R1；

③斷開S1，S2，將R調到最大.

（2）可變電阻R1應選擇①②中的???（填“①”或“②”）.為使結果盡可能準確，可變電阻R應選???（填“①”或“②”），電源E應選???（填“③”或“④”）；

（3）認為內阻rg=R1，此結果與rg的直實值相比???（填“偏大”“偏小”或“相等”）.

分析：（1）按半偏法測電流表內阻的原理，其步驟為③?①②.

（2）為了減小實驗的誤差，應使電阻R的阻值盡量大些，最好使電阻R大于電流表內阻rg100倍以上，所以電阻R選電阻箱1，由閉合電路的歐姆定律估算電源的電動勢為：?E=Im（rg+R），?顯然，為使R盡量大一點，則電源必須?選E2.

（3）閉合S2，由于多并聯了電阻R1，則總電路中的電流增大了，電流表電流為12Ig，但流過R1的電流將大于12Ig，因此，R1的電阻小于rg.

四、電橋法

如圖13所示是電橋法測電阻的的實驗電路.圖中Rx是待測電阻，R是電阻箱，R1、R2是已知阻值的定值電阻.閉合開關S，靈敏電流計的指針發(fā)生偏轉.再調整電阻箱R的阻值為R0時，使得靈敏電流計的示數為零.

當靈敏電流計的示數為0時，說明靈敏電流計兩端電勢相等，根據串聯電路電流相等的特點，可得：

U?R1?R1=U?R2?R2，URR0=U?Rx?Rx

解得：Rx=R2R0R1

由此可知，只要知道R1、R2、R0，利用電橋法可以計算出待測電阻Rx.

【例6】某同學利用如圖14所示的電路測量一微安表（量程為100 μA，內阻大約為2 500 Ω）的內阻.可使用的器材有：兩個滑動變阻器R1、R2（其中一個阻值為20 Ω，另一個阻值為2 000 Ω）；電阻箱Rz（最大阻值為99 9999 Ω）；電源E（電動勢約為15 V）；單刀開關S1和S2.C、D分別為兩個滑動變阻器的滑片.

（1）完成下列填空：

①R1的阻值為?????Ω（填“20”或“?2 000?”）.

②為了保護微安表，開始時將R1的滑片C滑到接近圖14中的滑動變阻器的?????端（填“左”或“右”）對應的位置；將R2的滑片D置于中間位置附近.

③將電阻箱Rz的阻值置于2 5000 Ω，接通S1.將R1的滑片置于適當位置，再反復調節(jié)R2的滑片D的位置.最終使得接通S2前后，微安表的示數保持不變，這說明S2接通前B與D所在位置的電勢????（填“相等”或“不相等”）.

④將電阻箱Rz和微安表位置對調，其他條件保持不變，發(fā)現將Rz的阻值置于2 6010 Ω時，在接通S2前后，微安表的示數也保持不變.待測微安表的內阻為???Ω（結果保留到個位）.

（2）寫出一條提高測量微安表內阻精度的建議：

分析：（1）①要將滑動變阻器R1接成分壓電路，則必須選擇阻值較小的20 Ω的滑動變阻器；

②為了保護微安表，開始時將R1的滑片C滑到接近圖14中滑動變阻器的左端對應的位置；

③將電阻箱Rz的阻值置于2 5000 Ω，接通S1；將R1的滑片置于適當位置，再反復調節(jié)R2的滑片D的位置；最終使得接通S2前后，微安表的示數保持不變，這說明S2接通前后在BD中無電流流過，可知B與D所在位置的電勢相等；

④設滑動變阻器R2的滑片D兩側電阻分別為R?21?和R?22?，因B與D所在位置的電勢相等，可知；R?z1?R?21?=RAR?22?；同理當Rz和微安表對調后，仍有：RAR?21?=R?z2?R?22?；聯立兩式解得：RA=R?z1?R?Z2?=2 500×2 601 Ω=2 550 Ω.

（2）為了提高測量精度，調節(jié)R1上的分壓，盡可能使微安表接近滿量程.

五、歐姆表法

如圖15所示是歐姆表的內部結構圖，當被測電阻Rx接入電路后，根據閉合電路的歐姆定律可求出通過表頭的電流為I=ERg+R1+r+Rx.由此可知，對給定的歐姆表，電路中的電流I與被測電阻Rx具有一一對應的關系，所以，事先在刻度盤上直接標出電阻值，由表頭指針的位置就可以知道Rx的大小.

1.直接測量法

【例7】如圖16所示，某同學對一段金屬導體粗測電阻，金屬導體的橫截面為空心的等邊三角形，內三角形為中空.為了合理選用器材設計測量電路，他先用多用表的歐姆擋“×1”按正確的操作步驟粗測其電阻，指針如圖乙，則粗測結果應記為_______ ?Ω.

分析：從歐姆表的刻度盤上讀出的數據是6，則該金屬導體的電阻為：

R=6×1 Ω＝6 Ω.

2.間接測量法

【例8】（2000年理科綜合）電阻R1，R2，R3，連結成如圖17圖示的電路，放在一個箱中（虛框所示），箱面上有三個接線柱A、B、C請用多用表和導線設計

一個實驗，通過A、B、C的測量，確定各個電阻的阻值，要求

寫出實驗步驟并用所測值表示電阻R1、R2、R3.

分析：為了測出三個電阻的阻值，可將導線短接電路，使其中的一個電阻被短路，再用多用表測出另二個電阻并聯的總電阻.

用導線短接BC，測出A、B兩點間的電阻值為Rx，則：

1Rx=1R1+1R2;

用導線短接AB，測出B、C兩點間的電阻值為Ry，則：1Ry=1R2+1R3;

用導線短接AC，測出A、C兩點間的電阻值為Rz，則：1Rz=1R1+1R3;

解以上三式得：R1=2RxRyRzRxRy+RyRz-RxRz，R2=2RxRyRzRyRz-RxRy+RxRz，R3=2RxRyRzRxRy+RxRz-RyRz.

六、規(guī)律法

1.應用閉合電路的歐姆定律

【例9】（1999年上海高考）現有一阻值為100Ω的定值電阻、一個電鍵、若干根導線和一個電壓表，該電壓表表面上有刻度但無刻度值，要求設計一個能測定某電源內阻的實驗方案，已知電壓表內阻很大，電壓表量程大于電源電動勢，電源內阻約為幾歐，要求：

（1）在右邊方框中畫出實驗電路圖；

（2）簡要寫出完成接線后的實驗步驟；

（3）寫出用測得的量計算電源內阻的表達式r=?_____.

分析：由于電壓表表盤刻度是均勻的，說明電壓表兩端的電壓與電壓表指針偏轉數成正比.

所以，可設計如圖18所示的實驗電路，設電壓表偏轉1格代表的電壓值為U0，當S斷開時，記下電壓表偏轉格數N1，即得電源電動勢為N1U0；當S閉合時，記下電壓表偏轉格數N2，則電阻R兩端的電壓為N2U0，由閉合電路歐姆定律得流過R的電流：

I=ER+r=N1U0R+r

R兩端的電壓為：U=I·R=N1U0R+r·R，U=N2U0

解得：r=N1-N2N2·R

2.應用并聯電路分流原理

【例10】（1999年全國高考）如圖19所示為測量電阻的電路，Rx為待測電阻，R的阻值已知，R′為保護電阻，阻值未知，電源E的電動勢未知，S1、S2均為單刀雙擲開關.A為電流表，其內阻不計.

測量Rx的步驟為：將S2向d閉合，S1向a閉合，記下

電流表讀數I1，再將S2向c閉合，S1向__________閉合，

記下電流表讀數I2.

計算Rx的公式是Rx=__________.

分析：該實驗通過開關S1、S2使Rx和R組成并聯電

路，電流表A分別測出通過Rx和R的電流，從而可得Rx的值.

將S2向d閉合，S1向a閉合，通過電流表的電流I1即為通過Rx的電流，再將S2向c閉合，S1向b閉合，通過電流表的電流I2即為通過R的電流，兩種情況下，Rx和R組成同樣的并聯電路，由并聯電路的分流原理得：

I1I2=RRx，整理后得：Rx=I1·RI2.

總之，在測量電阻時，不僅要靈活選用測量電阻的方法，而且要弄清具體的實驗條件，這樣，就會有效地測出被測電阻的阻值，達到實驗的目的.

責任編輯??李平安