隨機(jī)擾動(dòng)下車擺系統(tǒng)的實(shí)用軌跡跟蹤

鄭嘉璇　張會(huì)

摘 要：對(duì)于直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的車擺系統(tǒng)，本文研究了隨機(jī)擾動(dòng)下參數(shù)不確定性的實(shí)用軌跡跟蹤問(wèn)題?；谙鄬?duì)運(yùn)動(dòng)和等效電路原理，將系統(tǒng)受到隨機(jī)擾動(dòng)的影響看作轉(zhuǎn)矩或電壓，通過(guò)拉格朗日方程建立受有色噪聲影響的車擺系統(tǒng)的隨機(jī)模型。采用backstepping技術(shù)、滑模技術(shù)和耦合項(xiàng)噪聲分離技術(shù)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)backstepping滑模控制器解決系統(tǒng)的軌跡跟蹤問(wèn)題。基于隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，閉環(huán)誤差系統(tǒng)是依概率噪聲到狀態(tài)實(shí)用穩(wěn)定（NSpS-P）的，通過(guò)調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)參數(shù)，使得跟蹤誤差均方收斂到零的任意小鄰域。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出控制器的有效性。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)模型；車擺系統(tǒng)；自適應(yīng)backstepping跟蹤；滑?？刂?/p>

中圖分類號(hào)：O231.3? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2023）02-0001-07

1 引言

在過(guò)去的幾十年里，機(jī)械系統(tǒng)在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。為了獲得更好的系統(tǒng)性能，許多學(xué)者提出了一系列有效的控制方法，例如，滑?？刂芠1，2]，魯棒控制[3]，自適應(yīng)控制[4，5]等。車擺系統(tǒng)作為經(jīng)典機(jī)械系統(tǒng)，被廣泛應(yīng)用于港口、工廠車間等場(chǎng)所。因此，研究車擺系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制在工程應(yīng)用和控制理論中都具有重要意義。Mazenc等人解決了車擺系統(tǒng)的周期軌跡跟蹤問(wèn)題[6]。張安彩等人構(gòu)造了車擺系統(tǒng)最優(yōu)軌跡并設(shè)計(jì)跟蹤控制律，使得快速跟蹤到所構(gòu)造的軌跡[7]。而上述研究都是針對(duì)確定性的車擺系統(tǒng)，直接將車擺系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩作為控制輸入。

隨著隨機(jī)理論的發(fā)展[8]，將隨機(jī)噪聲合理地引入系統(tǒng)的隨機(jī)建模與控制中具有重要的研究意義。由于實(shí)際隨機(jī)擾動(dòng)的溫和性，將其描述為平穩(wěn)過(guò)程更為合理。隨機(jī)擾動(dòng)為平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，吳昭景構(gòu)建了隨機(jī)微分方程系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論框架[9]。針對(duì)崎嶇路面下的汽車懸架系統(tǒng)，崔明月等人將粗糙路面對(duì)力的影響看作系統(tǒng)受噪聲的干擾，建立了隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型并設(shè)計(jì)了穩(wěn)定控制器[10]。另一方面，在實(shí)踐過(guò)程中，基于直流電機(jī)的電壓控制作為機(jī)械系統(tǒng)的控制輸入比基于轉(zhuǎn)矩的控制更加合理。針對(duì)一類隨機(jī)擾動(dòng)下由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂，崔明月等人提出了建模和軌跡跟蹤控制方案[11]。

本文研究了隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的車擺系統(tǒng)的參數(shù)不確定性的實(shí)用軌跡跟蹤問(wèn)題。在構(gòu)建車擺系統(tǒng)的模型時(shí)，其耗散力通常會(huì)被忽略。本文考慮由線性形式和二次形式組成的阻尼項(xiàng)，在對(duì)直流電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的車擺系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)建模時(shí)，根據(jù)動(dòng)靜法和相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，將車擺系統(tǒng)所受到隨機(jī)擾動(dòng)的影響視為轉(zhuǎn)矩，基于等效電路原理，將直流電動(dòng)機(jī)中的熱噪聲描述為電壓。與現(xiàn)有確定性情況下的跟蹤控制方案相比，為了快速消除跟蹤誤差，結(jié)合滑?？刂坪妥赃m應(yīng)backstepping技術(shù)，設(shè)計(jì)實(shí)用軌跡跟蹤控制器，使跟蹤誤差均方收斂于零的任意小鄰域，閉環(huán)誤差系統(tǒng)是依概率噪聲到狀態(tài)實(shí)用穩(wěn)定的。

2 問(wèn)題提出和系統(tǒng)建模

2.1 問(wèn)題提出

如圖1所示，本文考慮由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的車擺系統(tǒng)，系統(tǒng)處于隨機(jī)振動(dòng)的工作空間，系統(tǒng)參數(shù)見表1。位于皮帶輪上的直流電機(jī)1為小車提供一個(gè)使其沿水平導(dǎo)軌向前滑動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力？子1（單位N），與此同時(shí)，位于小車上的直流電機(jī)2為剛性擺和負(fù)載提供一個(gè)使其在垂直平面上擺動(dòng)的扭矩？子2（單位N·m）。q1（單位m）為小車的水平位移，q2（單位rad）為剛性擺和載荷的擺動(dòng)角度。？覣1（單位N）為小車受到的阻尼力，？覣2（單位N·m）為剛性擺和負(fù)載受到阻尼力矩。ij和uj分別為第j（j=1，2）個(gè)直流電機(jī)的電流和電壓。由于車擺系統(tǒng)受到隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境的影響，將隨機(jī)振動(dòng)描述為隨機(jī)加速度[12]，即？孜1和？孜2分別表示水平方向和垂直方向上的隨機(jī)加速度，是獨(dú)立的平穩(wěn)過(guò)程。

對(duì)于受直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)車擺系統(tǒng)，負(fù)載質(zhì)量m2和阻尼系數(shù)？籽1，？籽'1，？籽2，？籽'2是未知的，本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋跟蹤控制器u=（u1，u2）T，使q=（q1，q2）T能夠盡可能地跟蹤到給定的二次連續(xù)可微有界的參考信號(hào)qr=，并且閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)依概率有界。

2.2 系統(tǒng)建模

為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型，忽略剛性擺的質(zhì)量以及剛性擺與負(fù)載之間的距離。隨機(jī)車擺系統(tǒng)的模型將分為如下兩步建立。

車擺系統(tǒng)受到環(huán)境中隨機(jī)振動(dòng)的影響，選取點(diǎn)O作為參考點(diǎn)。將？孜1和？孜2分別看作點(diǎn)O的水平加速度和垂直加速度。自然地，如圖1所示，在點(diǎn)O分解？孜1和？孜2，有aO1=？孜1和aO2=？孜2sinq2。根據(jù)動(dòng)靜法和相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，隨機(jī)振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響可以看作是對(duì)控制力和轉(zhuǎn)矩的擾動(dòng)，相當(dāng)于在？子1的方向上引入一個(gè)隨機(jī)力？子1？孜，在？子2的方向上引入一個(gè)隨機(jī)矩？子2？孜。即，？子1？孜=-m1？孜1，？子2？孜=-m2l？孜2sinq2。上述方程用矩陣形式表示為

仿真結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，跟蹤誤差在一個(gè)小的零鄰域內(nèi)，這意味著q近似跟蹤到給定的參考信號(hào)qr。與此同時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)都是有界的。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該閉環(huán)系統(tǒng)控制方案的有效性。

6 結(jié)論

本文研究了直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)車擺系統(tǒng)的自適應(yīng)軌跡跟蹤問(wèn)題。通過(guò)拉格朗日力學(xué)原理和電磁學(xué)建立系統(tǒng)的隨機(jī)模型。設(shè)計(jì)自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器使得跟蹤誤差均方收斂到零的任意小鄰域，并且閉環(huán)系統(tǒng)是NSpS-P的。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出方案的有效性。目前還存在一些需要考慮的問(wèn)題，如自適應(yīng)模糊跟蹤控制，有限時(shí)間控制。

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參考文獻(xiàn)：

〔1〕Shang D， Li X， Yin M， et al. Dynamic modeling and fuzzy compensation sliding mode control for flexible manipulator servo system[J]. Applied Mathematical Modelling， 2022， 107： 530-556.

〔2〕賀加樂(lè)，李宗坡，郭永杰，等.基于滑模控制的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制[J].自動(dòng)化應(yīng)用，2022，19（01）：1-4.

〔3〕Patterson Z J， Sabelhaus A P， Majidi C. Robust Control of a Multi-Axis Shape Memory Alloy-Driven Soft Manipulator[J]. IEEE Robotics and Automation Letters， 2022，7（02）：2210-2217.

〔4〕Zhan B， Jin M， Liu J. Extended-state-observer-based adaptive control of flexible-joint space manipulators with system uncertainties[J]. Advances in Space Research， 2022（08）：69.

〔5〕劉英虎，宋志鵬.機(jī)器人自適應(yīng)控制研究[J].南方農(nóng)機(jī)，2020，51（17）：2.

〔6〕Mazenc F， Bowong S. Tracking trajectories of the cart-pendulum system[J]. Automatica，2003， 39（04）： 677-684.

〔7〕Zhang A， She J， Qiu J， et al. Design of motion trajectory and tracking control for under-actuated cart-pendulum system[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control， 2019， 29（08）： 2458-2470.

〔8〕Krstic M， Deng H. Stabilization of nonlinear uncertain systems[M]. London： Springer， 1998.

〔9〕Wu Z. Stability criteria of random nonlinear systems and their applications[J]. IEEE Trans-actions on Automatic Control， 2014， 60（04）： 1038-1049.

〔10〕Cui M， Geng L， Wu Z. Random modeling and control of nonlinear active suspension[J]. Mathematical Problems in Engineering， 2017， 2017：1-8.

〔11〕Cui M， Wu Z. Trajectory tracking of flexible joint manipulators actuated by DC-motors under random disturbances[J]. Journal of the Franklin Institute， 2019， 356（16）： 9330-9343.

〔12〕Wu Z， Cui M， Shi P. Backstepping control in vector form for stochastic Hamiltonian systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization， 2012， 50（02）： 925-942.

〔13〕Wu Z， Karimi H R， Shi P. Practical trajectory tracking of random Lagrange systems[J]. Automatica， 2019， 105： 314-322.

〔14〕Brown R， Hwang P. Introduction to random signals and applied Kalman filtering[M]. New York， John Wiley & Sons， 1997.

收稿日期：2022-10-11

通訊作者：張會(huì)（1986-），山東臨沂人，副教授，博士。研究方向：隨機(jī)切換控制，非線性自適應(yīng)控制，機(jī)電系統(tǒng)控制。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（61703359；62073275）