從“點、面”到“體”的自主跨越

靳穎

【摘 要】“表面涂色的正方體”屬于數(shù)學綜合實踐的教學內(nèi)容。以學生的生活經(jīng)驗為背景，由“點”到“面”再到“體”的自主跨越，溝通了一維、二維與三維空間的聯(lián)系，建立了空間觀念。學生把在“面”中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和關(guān)系自然遷移到“體”中，降低探究難度。整個探究過程由“面”到“體”、由簡到繁、由易到難、由少到多，經(jīng)歷想象和抽象，把思維漸漸引向問題本質(zhì)，拓寬視覺空間，突破了知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗的限制，促進了學生思維的提升和進階。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學綜合實踐 思維 遷移 空間觀念

【教學內(nèi)容】蘇教版數(shù)學六年級上冊第26～27頁。

【教學目標】

1.學生把表面涂色的正方體切成若干同樣大的小正方體，探究表面涂色的小正方體的各種情況，并發(fā)現(xiàn)隱含規(guī)律。

2.學生積累探究數(shù)學規(guī)律的活動經(jīng)驗，初步感悟模型思想，發(fā)展數(shù)學思維和空間觀念。

3.學生在探索數(shù)學規(guī)律的過程中感受數(shù)學實驗的價值，獲得發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和學會學習的愉悅體驗，激發(fā)學習數(shù)學的興趣。

【教學重難點】

探索、發(fā)現(xiàn)和表達小正方體中表面涂色面的個數(shù)的規(guī)律及在大正方體中的位置和彼此之間隱含的規(guī)律。

【教學準備】

課件、表面涂色的正方體學具、實驗單等。

【教學過程】

一、情境導入，引發(fā)問題

師：請看（課件播放學生走方陣表演），同學們正在操場上進行方陣表演慶祝國慶節(jié)！幾行幾列？（生：4行4列）

師：為了方便研究，我們把人看作小圓點，請看課件（課件播放圖1）幾行幾列？（生：2行2列、3行3列、4行4列、5行5列、6行6列）還可能更多行更多列……

課件出示：

師：為了表演的美觀，方陣最外圈除了4個角上的同學穿黑色衣服，其他同學穿灰色衣服，除去最外圈的同學，中間的都穿白色衣服。（課件播放點陣圖中對應(yīng)位置的點分別變成黑色、灰色和白色）

課件出示 （●表示穿黑色衣服，▲表示穿灰色衣服，■表示穿白色衣服，見圖2）

師：分別說說每個方陣圖中黑色、灰色、白色的點各有多少個，并說說你是怎樣想的。

【思考】由生活情境引出方陣，逐步呈現(xiàn)2行2列、3行3列等的點陣圖，借助生活情境中方陣最外圈4個角上的同學穿黑色衣服，其他人穿灰色衣服，除去最外圈的人，中間的人都穿白色衣服，進而提出問題：“分別說說每個方陣圖中黑色、灰色、白色的點各多少個，并說說你是怎樣想的”調(diào)動學生已有知識基礎(chǔ)和學習經(jīng)驗，激發(fā)其學習興趣，使學生借助情境找到自我學習的“舒適區(qū)”。

二、喚醒經(jīng)驗，導入新課

（一）點陣圖中，初識規(guī)律

師：誰來匯報每個方陣中黑色、灰色、白色的點各有多少個，并說說你是怎樣想的？

生1：每個方陣中的黑色點都是4個，灰色點分別是4個、8個、12個、16個，白色點分別是1個、4個、9個、16個。

師：每個方陣中灰色的點是怎樣計算的？白色的呢？

生2：方陣中灰色點在4條邊上，是（每條邊上的點子數(shù)-2）×4 個；白色點是去掉最外圈后剩下的點，在方陣的中間，是（每條邊上的點子數(shù)-2）?個。

生3：用n行n列概括所有方陣中每種顏色點的個數(shù)，黑色點在方陣的4個角上，灰色點在方陣的邊上是（n-2）×4個，白色點在方陣的中間是（n-2）?個。[板書：4 黑（n-2）×4 灰（n-2）? 白]

師：同學們解決了方陣中點的涂色問題，還發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律！

（二）方格圖中，重現(xiàn)規(guī)律

師：請看屏幕（課件播放圖3：點陣圖中黑色、灰色、白色的點分別變?yōu)橄鄳?yīng)顏色的小正方形，點陣圖變成方格圖。）發(fā)生了什么？

課件出示：

生：點陣圖變成了方格圖。

師：什么變了？什么沒變？

生：小圓點變成小正方形，點變成了面，形狀發(fā)生了變化，每種顏色圖形的個數(shù)和所在的位置沒變。（板書：面）

師：你能用一句話或一個式子概括出這幾個方格圖中黑色、灰色、白色的小正方形的個數(shù)嗎？怎樣計算？

生：每個方格圖中黑色小正方形都在角上，是4個；灰色小正方形都在邊上，是（每條邊上的方格數(shù)-2）×4個；白色小正方形在中間，是（每條邊上的方格數(shù)-2）?個。

師：大家同意他的說法嗎？誰來再說一遍？如果是10行10列呢？n行n列呢？

生：黑色的都是4個，灰色的是4（n-2）個 ，白色的是（n-2）?個，與方陣的特征和小正方形在方陣中的位置有關(guān)。

師：說得真好！同學們通過探究不但解決了方陣圖中各種顏色圖形的個數(shù)問題，還用簡潔的式子概括出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（三）立體圖中，猜想規(guī)律

師：請看課件（課件播放2×2的方格圖變成2×2×2的正方體），又發(fā)生了什么？

生：面變成了體。（板書：體）

師：（手拿2×2的方格圖）這個平面圖形有1個面，（手拿2×2×2的正方體）這個正方體有幾個面？（生：6個）它的棱等分成2份，切開后等分成多少個小正方體？[生：2×2×2=8（個）]

師：（課件播放2×2、3×3、4×4、5×5、6×6的方格圖分別變成2×2×2、3×3×3、4×4×4、5×5×5、6×6×6的正方體，方格圖消失的同時正方體出現(xiàn)，見圖4。）正方體的棱等分成幾份？（生：2份、3份、4份、5份、6份）

課件出示：

師：（拿起棱等分成3份的正方體）這個正方體的表面涂上顏色，沿著棱切開，得到的每個小正方體會出現(xiàn)怎樣的涂色情況？它們的涂色是否和剛才研究的平面圖形一樣有一定的規(guī)律呢？（生舉手）

師：都有想法了！這就是我們今天要探究的問題——正方體的涂色問題。（板書課題：正方體的涂色問題）

【思考】先找出方陣中相應(yīng)顏色點的個數(shù)，再由“點”變“面”，點陣圖變成方格圖，在“什么變了，什么沒變”的追問中，學生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)只是形狀發(fā)生了變化，位置和每種顏色圖形的個數(shù)沒變，把點陣圖中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律自然遷移到方格圖中，解決了方格圖中的涂色問題。接著，由方格圖變?yōu)檎襟w，由“點、面”自主跨越到“體”，提出問題：“正方體的表面涂上顏色，沿著棱切開之后，得到的每個小正方體會出現(xiàn)怎樣的涂色情況？它們的涂色問題是否也像剛才研究的點陣圖和方格圖一樣有一定的規(guī)律呢？”順應(yīng)學生的思維，引發(fā)猜想，探究新知。

三、實踐操作，探究新知

（一）操作交流，探究問題

師：我們帶著剛才的問題繼續(xù)探究。

課件出示（見圖5）：

1.介紹活動要求：每組選兩個正方體，探究表面涂色的小正方體的個數(shù)，分工合作，做好記錄。比一比，算一算，看哪個組最先完成任務(wù)，請先完成的小組把你們的研究成果展示在黑板上，并請小組代表匯報你們組的探究成果及想法。

2.學生在音樂聲中分工合作，探究交流。（小組展示探究結(jié)果，并上臺匯報）

組1：我們組探究的是棱等分成3份的正方體的表面涂色問題（拿起棱等分成3份的表面涂色的正方體），切成3×3×3=27（個）小正方體，3面涂色的小正方體在頂點處有8個；2面涂色的在棱上，每條棱上有“3-2”個，12條棱有12個；1面涂色的小正方體在每個面的中間，每個面上有1個，6個面共有6個。大家同意我們組的觀點嗎？還有什么問題嗎？

生2：為什么3面涂色的小正方體都在頂點處呢？兩面涂色的都在棱上呢？

組1：頂點是正方體三條棱相交的點，每兩條棱組成了一個面，所以三面涂色的都在頂點處。兩個面相交成棱，所以兩面涂色的都在棱上。

（兩個組的代表借助表面涂色的正方體，分別介紹棱等分成4份、5份的大正方體切開后得到的1面、2面、3面涂色的小正方體的個數(shù)及探究過程。）

師：耳聽為虛，眼見為實?。ㄕn件播放）這是棱等分成4份的表面涂色正方體，共同驗證1面、2面、3面涂色的小正方體分別在大正方體的哪里？各有幾個？

師：（課件播放，驗證棱等分成4份的正方體切開后3面、2面、1面涂色的小正方體所在的位置及個數(shù)，結(jié)合驗證過程提問）

課件出示（見圖6）：

師：這是? ? ? ? ? ? ? （生：3面涂色的小正方體在頂點處）有幾個？（生：共有8個）

課件出示（見圖7）：

師：這是? ? ? ? ? ? ? （生：2面涂色的小正方體，在棱上，共有12個）

課件出示（見圖8）：

師：這是? ? ? ? ? ? ? （生：1面涂色的小正方體在面上，共有24個）。

師：驗證得出我們的探究結(jié)果是對的。

【思考】由“點”到“面”再到“體”的自主跨越，建立了一維到二維再到三維的空間觀念，溝通了二維與三維空間的聯(lián)系，突破了知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗的限制，將在方陣圖中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律自然遷移到立體圖形中，引發(fā)猜想：“正方體的表面涂色問題會像平面圖形中的涂色問題一樣與圖形的特征有關(guān)且具有一定規(guī)律嗎？”學生帶著猜想探究驗證、交流和討論，解決了棱等分成3份、4份、5份的正方體的表面涂色問題，初步發(fā)現(xiàn)3面、2面、1面涂色的小正方體的個數(shù)與正方體的特征有關(guān)，在“面”“體”的自主跨越中，自然遷移方法，降低了探究難度。

（二）縱橫對比 概括規(guī)律

師：通過實踐操作，我們探究出了棱等分成3份、4份、5份的正方體中各種顏色小正方體的個數(shù)。

課件出示（見圖9）：

師：觀察每一列涂色的小正方體，發(fā)現(xiàn)什么？（學生在組內(nèi)討論、交流后匯報）

生1：豎著看，小正方體的涂色情況與正方體的特征有關(guān)，從第1列看3面涂色的都在正方體的頂點處；從第2列看2面涂色的都在大正方體的棱上；從第3列看1面涂色的都在大正方體的面上。（板書：頂點? ?棱? ?面）

生2：橫著看，棱等分成3份的3面涂色的小正方體每個頂點處都有1個，2面涂色的每條棱上有“3-2”個，1面涂色的每個面上有（3-2）?個；棱等分成4份的3面涂色的小正方體在每個頂點處都有1個，2面涂色的每條棱上有“4-2”個，1面涂色的每個面上有（4-2）?個；棱等分成5份的3面涂色的小正方體每個頂點處有1個，2面涂色的每條棱上有“5-2”個，1面涂色的每個面上有（5-2）?個。

師：如果棱等分成6份呢？10份呢？100份呢？更多份呢？……

生1：棱等分成6份的3面涂色小正方體每個頂點處有1個，2面涂色的小正方體每條棱上有“6-2”個，1面涂色的小正方體每個面上有（6-2）?個。

生2：小正方體的涂色問題與正方體的特征有關(guān)。無論棱等分成幾份，3面涂色的小正方體在頂點處，正方體有8個頂點，三面涂色的有8個；2面涂色的在棱上，每條棱上有“n-2”個，正方體有12條棱，兩面涂色的有12（n -2）個；1面涂色的在面上，每個面上有（n-2）?個，正方體有6個面，1面涂色的有6（n-2）?個。

[板書：8 （n -2）×12 （n-2）?×6]

師：真睿智！通過觀察、對比和想象發(fā)現(xiàn)并抽象概括出正方體涂色問題的規(guī)律。把掌聲送給愛思考的你們?。ㄕ坡暎?/p>

【思考】學生在探究棱等分成3份、4份、5份的表面涂色正方體的基礎(chǔ)上，通過縱向觀察比較發(fā)現(xiàn)3面涂色的小正方體都在大正方體的頂點處，2面涂色的小正方體都在大正方體的棱上，1面涂色的小正方體都在大正方體的面上。學生又通過橫向比較發(fā)現(xiàn)大正方體的棱不管等分成幾份，3面涂色的都在頂點處，有8個；2面涂色的都在棱上，有12（n-2）個；1面涂色的都在面上，有6（n-2）2個。學生通過縱橫對比，發(fā)現(xiàn)把表面涂色的正方體切成若干個同樣大的小正方體后表面涂色的小正方體的各種情況，感悟到正方體的棱等分成的份數(shù)不同，變化的只是顯性的數(shù)量，而變化中不變的卻是隱藏的規(guī)律，深知萬變不離其宗的是特征。由特殊到一般，由直觀到抽象，發(fā)現(xiàn)并概括規(guī)律，學生的思維在探究中不斷進階。

四、運用規(guī)律，拓展規(guī)律

師：我們探究出了表面涂色的正方體切成若干個同樣大的小正方體后，1面、2面、3面涂色的情況及隱含的規(guī)律，你們還有什么問題嗎？

生1：把棱等分成3份、4份、5份的正方體切開后分成的小正方體的總個數(shù)減去1面、2面、3面涂色的小正方體的個數(shù)，剩下的是沒有涂色的小正方體的個數(shù)。如棱等分成3份：3?=27（個），27-8-12-6=1（個），棱等分成4份的……

生2：找1面、2面、3面涂色的小正方體的方法同樣適應(yīng)找沒有涂色的小正方體，如棱等分成3份的正方體，（課件播放）正方體的左右、上下和前后面最外層的小正方體剝離掉之后，沒涂色的小正方體在正方體的中間是棱為“3-2”的正方體，有（3-2）?=1（個）；所以棱等分成幾份，沒有涂色的小正方體就有（棱等分的份數(shù)-2）?個。

課件出示（見圖10）：

師：找出了規(guī)律和關(guān)系，通過計算就能知道沒有涂色的小正方體的個數(shù)。請拿出棱等分成4份、5份的正方體驗證剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，看沒有涂色正方體各有幾個。

生：棱等分成4份的正方體切開后沒涂色的小正方體是（4-2）?個；棱等分成5份的沒涂色的小正方體是（5-2）?個；棱等分成n份的沒涂色的小正方體是（n-2）?個，都在正方體中間。

五、回顧總結(jié)，拓展延伸

師：這節(jié)課我們是怎樣探究正方體的涂色問題的？

課件出示（見圖11）：

生1：我們的探究由點陣圖到方格圖，再到正方體，我發(fā)現(xiàn)它們的涂色問題都與圖形的特征有關(guān)。（板書：面 → 體）

生2：我還發(fā)現(xiàn)不管是研究點陣圖和方格圖還是研究正方體的涂色問題，都是由少到多發(fā)現(xiàn)規(guī)律的。（板書：簡 → 繁）

師：真厲害！同學們不但解決了表面涂色的正方體切成若干個同樣大的小正方體的表面涂色問題，還發(fā)現(xiàn)了隱含的規(guī)律，學會了學習。同學們還想研究什么？

生：（齊聲）長方體的表面涂色問題。

師：（拿起表面涂色的長方體）請看這個長方體長5厘米、寬4厘米、高3厘米，等分成棱長是1厘米的正方體，猜想一下切開后分成的表面涂色的小正方體會有怎樣的情況。

生：我猜想探究長方體表面涂色問題的方法與探究正方體的表面涂色問題的方法一樣，長方體的棱等分成若干份切開后得到的小正方體的涂色問題也與長方體的特征有關(guān)，3面涂色的小正方體在頂點處有8個；2面涂色的小正方體在棱（長a、寬b、高c）上，有[（a-2）+（b-2）+（c-2）]×4個；1面涂色的小正方體在面上，有[（a-2）×（c-2）+（a-2）×（b-2）+（b-2）×（c-2）]×2個；沒涂色的小正方體在長方體的中間，有（a-2）×（b-2）×（c-2）個……

師：這位同學的猜想是否正確呢？我們就帶著這個猜想課后繼續(xù)探究驗證。

【思考】學生把表面涂色的正方體切成若干個同樣大的小正方體，探究出表面涂色的小正方體的各種情況及隱含的規(guī)律之后，及時組織回顧和反思：本節(jié)課是如何在自主探究中解決問題的？回顧探究過程，在從“點”到“面”再到“體”的自主跨越中，學生把在平面圖形中探究的方法遷移到立體圖形中，從“面”到“體”、從少到多解決問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學會學習。當教師追問“你們還想探究什么？”時，學生脫口而出：“還想探究長方體的表面涂色問題。”教師及時追問：“表面涂色的正方體的規(guī)律同樣適用于表面涂色的長方體嗎？”學生的演繹思路隨之打開，把正方體表面涂色問題的規(guī)律正遷移到長方體中，猜想到長方體的表面涂色問題同樣與其特征有關(guān)，拓展規(guī)律，發(fā)掘了潛能，強化了探究學習應(yīng)有的追求精神。學生在回顧和反思中，進一步積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟活動過程中蘊含的數(shù)學思想方法，積淀和發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)。

上述案例，筆者主要是從以下兩方面進行思考和教學的：一是精心選用素材，降低探究難度。正方體的涂色問題涉及幾何圖形，若只是簡單地模仿記憶就遠離了學生的生活實際，且增加了學生學習的困難。為此，筆者從生活中的慶祝國慶節(jié)走方陣表演這個熟悉的生活情境入手，為了便于研究把方陣隊伍變?yōu)辄c陣圖，接著由點變面、由面變體，這樣相繼呈現(xiàn)三組學習材料（點陣圖、方格圖、表面涂色的正方體），新穎且順應(yīng)學生的思維特征。由“點”到“面”再到“體”的自主跨越，建立起一維、二維到三維的空間觀念。整個探究過程由簡到繁、由易到難、由少到多、由“面”到“體”，學生經(jīng)歷了想象和抽象，把思維漸漸引向問題本質(zhì)，拓寬了視覺空間，突破了知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗的限制，溝通了二維與三維空間的聯(lián)系，符合學生的認知規(guī)律和思維發(fā)展順序，促進學生思維的提升和進階，降低了探究難度。

二是“面”“體”自主跨越，方法遷移自然。這節(jié)課并不滿足于學生會利用提升的公式計算各種涂色小正方體的個數(shù)，而是在探究和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)數(shù)學模型，做到學會學習。通過找點陣圖中的各種不同顏色點的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和關(guān)系，正遷移到方格圖中，再把平面圖中的規(guī)律和關(guān)系正遷移到立體圖形中，引發(fā)猜想并通過實踐操作探究出表面涂色正方體切成若干相同的小正方體后，小正方體涂色面的個數(shù)以及隱含的規(guī)律，體驗“從特殊到一般”“由簡單到復雜”的探究學習，學生的探究逐步深入，知識的學習由薄到厚，“面”“體”自主跨越，方法遷移自然，思維的火花不斷碰撞迸發(fā)。

【參考文獻】

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[2]成尚榮.從關(guān)注學生現(xiàn)實性走向開發(fā)可能性[J].人民教育，2009（8）.

注：本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃立項課題“現(xiàn)行小學數(shù)學教材中實踐作業(yè)資源的深度開發(fā)與運用研究”（D/2018/02/178）的階段性研究成果。