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    基于分類的幾何和圖形教學(xué)實踐

    2023-05-30 17:23:22蔣開林
    小學(xué)教學(xué)研究 2023年3期
    關(guān)鍵詞:分類思想空間觀念深度學(xué)習(xí)

    蔣開林

    【摘 要】在幾何和圖形的學(xué)習(xí)中,分類思想可以讓學(xué)生的探究活動更加有效、思維路徑更加清晰、認知網(wǎng)絡(luò)更加通暢。本文聚焦分類的過程、知識的梳理和問題的解決,借助分類,辨析概念內(nèi)涵、連通認知網(wǎng)絡(luò)和架構(gòu)思維路徑,從而提高學(xué)生解決問題的能力,發(fā)展學(xué)生的空間觀念,促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

    【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí) 分類思想 空間觀念

    分類思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想方法之一,學(xué)會分類有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識,有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題。尤其在幾何和圖形領(lǐng)域中,借助分類思想,能促進學(xué)生辨析概念內(nèi)涵,引發(fā)學(xué)生進行有序思考,從而培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維,有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

    一、覓起點,辨析概念內(nèi)涵

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效發(fā)生,離不開教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)起點進行分析和預(yù)設(shè)。基于分類的幾何和圖形教學(xué)也往往需要從學(xué)生的認知起點出發(fā),激發(fā)指向概念內(nèi)涵的分類活動,規(guī)避無效或低效的分類任務(wù),盡可能地提高教與學(xué)的質(zhì)量。

    (一)明確分類依據(jù),感知概念內(nèi)涵

    在皮亞杰的認知發(fā)展理論中,學(xué)習(xí)分為同化和順應(yīng)。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),大部分采用同化,把新知融入已有的圖式和認知體系中,發(fā)散概念。當新知無法在已有的認知體系中找到呼應(yīng)的節(jié)點時,需要通過順應(yīng),重新建構(gòu)新圖式。對于空間領(lǐng)域的概念學(xué)習(xí),由于學(xué)生已具有一定的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ),通過正向的遷移學(xué)習(xí),能夠輕松掌握新知,但是在實踐教學(xué)過程中,對于很多看似簡單的問題,學(xué)生卻難以正確地分析和解決。同化的思維慣性,讓教師和學(xué)生失去對同化學(xué)習(xí)的警惕和忽視。因此,在新概念的形成過程中,教師應(yīng)該讓學(xué)生在充分感知概念的外延的基礎(chǔ)上,明確分類依據(jù),通過不斷地辨析和比較,明晰概念的內(nèi)涵和本質(zhì)的區(qū)別,發(fā)展批判性思維。

    如在三角形的分類中,學(xué)生了解了三角形的概念,接觸過各種不同的三角形,那么對三角形進行分類應(yīng)該不是一個很困難的任務(wù)。但是,如果放手讓學(xué)生自己對三角形進行分類,課堂上會出現(xiàn)各種分類方法,看似在“熱鬧”的學(xué)習(xí)中,學(xué)生的思維非常活躍。如果仔細去琢磨,太多的分類方法,反而對學(xué)生進行正確的分類產(chǎn)生負向遷移。因此,在分類前提醒三角形的特征主要是有關(guān)角和邊,引導(dǎo)學(xué)生從角或邊出發(fā)進行分類,規(guī)避“長相”“是否常見”等低效分類。在學(xué)生構(gòu)建出兩類分類后(見圖1),教師還應(yīng)該讓學(xué)生進一步思考如何把這兩種分類進行呼應(yīng),如在按角分類的關(guān)系圖中,等腰三角形、等邊三角形可能出現(xiàn)在哪里?教師在對三角形進行分類、辨析和呼應(yīng)的過程中,加強學(xué)生對三角形的認知,培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。

    (二)明晰分類標準,感悟本質(zhì)屬性

    在幾何和圖形領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中,如果僅僅從豐富、精致的學(xué)習(xí)素材中“習(xí)得”概念,這樣的學(xué)習(xí)活動難以讓學(xué)生真正感知概念的本質(zhì)屬性。有效的概念學(xué)習(xí),應(yīng)該基于學(xué)生的已有認知,讓學(xué)生探析原有的認知和新知之間的契合點,在認知沖突中進行對比、辨析、想象和抽象,明晰分類標準,從而感悟其本質(zhì)屬性。

    如在學(xué)習(xí)“垂直與平行”時,如果先讓學(xué)生通過自學(xué)找到平行的概念,再從概念出發(fā),通過辨析幾組直線的位置關(guān)系,從而內(nèi)化概念,通過“習(xí)得—應(yīng)用—感悟”的學(xué)習(xí)路徑,進行順向的探究活動,這樣,學(xué)生的學(xué)習(xí)相對比較“順利”,學(xué)生出錯的概率也比較低,“先學(xué)后教”的學(xué)習(xí)模式也契合以生為本的教學(xué)理念。但這樣給學(xué)生鋪好學(xué)習(xí)坦途的教學(xué),往往讓學(xué)生感覺概念學(xué)習(xí)輕而易舉,從而導(dǎo)致課中學(xué)習(xí)輕松愉悅,課后練習(xí)錯誤頻出的狀況。因此,教師不妨讓學(xué)生先畫出兩條直線,對幾組直線進行位置關(guān)系的分類活動。在教學(xué)實踐中,我們不難發(fā)現(xiàn),學(xué)生對于可明確看出相交和平行的兩種情況沒有異議。那么,教師就可以聚焦看似不相交的幾組直線,讓學(xué)生通過討論交流,從直線無限延長的本質(zhì)屬性出發(fā),在操作、想象和辯論中,讓分類的標準更加明晰,凸顯概念的本質(zhì)屬性,從對現(xiàn)象的分類到本質(zhì)屬性的辨析、抽象和概括,借助分類,使學(xué)生對直線的位置關(guān)系的認知結(jié)構(gòu)更加清晰。教師還可以進一步進行分類,讓學(xué)生思考在一組平行線中,再增加一條直線,它們的位置關(guān)系又可以分成幾類,從而促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

    二、重梳理,連通認知網(wǎng)絡(luò)

    學(xué)生的深度學(xué)習(xí),需要對知識點的理解和應(yīng)用,更需要對知識點進行梳理。通過學(xué)習(xí)活動和任務(wù)驅(qū)動,學(xué)生在分類梳理的過程中,連通相關(guān)的知識點,形成脈絡(luò)清晰、系統(tǒng)有序的認知網(wǎng)絡(luò)。

    (一)以數(shù)襯形,融通知識脈絡(luò)

    在數(shù)與計算的學(xué)習(xí)中,我們常常借助形的支撐,讓算理更加形象生動,促進算法和算理的有效融合。而在幾何和圖形的學(xué)習(xí)中,我們有時也同樣需要借助數(shù)的特征,來溝通圖形之間的聯(lián)系,通過分類梳理,在感知序的基礎(chǔ)上,把圖形融入整個體系中,讓整個知識脈絡(luò)更加清晰。

    如在學(xué)習(xí)“角的分類”時,學(xué)生通過拼角和拆角的操作過程,對形成的學(xué)習(xí)素材進行分類,從而溝通周角、平角、鈍角、直角和銳角之間的聯(lián)系;在用直角拼的過程中,進一步鞏固周角、平角和直角之間的倍數(shù)關(guān)系;在用三角板拼角后,按照角的大小,對所拼得的角進行分類,并按照從大到小排列,再對這些角的度數(shù)進一步進行觀察,發(fā)現(xiàn)用三角板拼出的角都是15°的倍數(shù)。這無疑又讓學(xué)生進一步探究其緣由:三角板的角分別是15°的2倍、3倍、4倍和6倍,因此拼出的都是15°的倍數(shù),也就是說,把角的度數(shù)除以15,如果有余數(shù),那么便無法用三角板中的角拼出。有序的排列也能進一步促進學(xué)生對角的大小的感知,對學(xué)生估測角的大小也有一定的參照依據(jù)。學(xué)生從生成的素材出發(fā),在分類整理中,找到數(shù)與形之間的聯(lián)系,把各類角融入整個學(xué)習(xí)活動中,并從中提煉出判斷的標準,再提出問題解決的策略。

    學(xué)生在拆角的過程中,也應(yīng)該有分類的意識,如把一個鈍角拆成兩個角有很多種可能,但是把這些可能進行分類的話,可分為三類:鈍角=鈍角+銳角,鈍角=直角+銳角,鈍角=銳角+銳角。相對于大小確定的直角、平角和周角,鈍角和銳角具有一定的區(qū)間范圍。在拼角和拆角的任務(wù)驅(qū)動下,學(xué)生通過不斷的分類、辨析比較,溝通了這些角之間的聯(lián)系,感知鈍角和銳角所對應(yīng)的大小范圍,讓形成的認知網(wǎng)絡(luò)更加穩(wěn)固,知識點之間的聯(lián)系更加通暢。

    (二)思維導(dǎo)圖,外顯認知網(wǎng)絡(luò)

    圖形與幾何的整理復(fù)習(xí),離不開學(xué)習(xí)素材,而好的學(xué)習(xí)素材往往來自學(xué)生的生成。因此,教師應(yīng)設(shè)計一個好的學(xué)習(xí)任務(wù),以驅(qū)動學(xué)生生成素材。學(xué)生通過重組素材,在分類梳理中,對認知結(jié)構(gòu)進行解構(gòu)和重構(gòu),連通更多的認知節(jié)點,在對比溝通中,讓認知網(wǎng)絡(luò)在原有的基礎(chǔ)上生長和拓展。

    如在對四邊形進行分類整理時,教師可以讓學(xué)生在一組平行線上再增加兩條直線,可以圍成四邊形,借助圍成的四邊形素材,讓學(xué)生進行分類,并說明分類的理由,在分類梳理的過程中,喚醒學(xué)生對各類四邊形的特征認知。(見圖2)

    隨著分類的不斷推進,四邊形的思維導(dǎo)圖也不斷得到完善。有了思維導(dǎo)圖的支撐,學(xué)生對四邊形的特征以及它們之間的聯(lián)系有更加直觀、清晰的認識。

    三、尋策略,架構(gòu)思維路徑

    在解決關(guān)于幾何和圖形的問題中,一旦遇到新的情境或者相對復(fù)雜的問題,學(xué)生往往手足無措、毫無頭緒。這些問題的解決,需要循序漸進的過程。學(xué)生應(yīng)該根據(jù)規(guī)則進行大膽嘗試,積累一定的活動經(jīng)驗,在“操作嘗試—分類辨析—提煉策略—應(yīng)用策略”中,架構(gòu)解決問題的思維路徑。

    (一)探析解決策略,促進有序思考

    分類思想,不管在生活中還是在今后的學(xué)習(xí)和工作中,都極具價值。它能讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,把具象的感知轉(zhuǎn)化為理性的思索,有助于學(xué)生分析問題和解決問題,激發(fā)學(xué)生的空間想象力。

    如數(shù)學(xué)游戲“小熊戳蛋糕”,游戲剛開始時,教師出示“2×2×2”的正方體蛋糕,可以引導(dǎo):如果讓你戳,可以怎么戳?根據(jù)戳的方向,一般來說可以分為6種(從前往后戳、從左往右戳、從上往下戳、從后往前戳、從右往左戳和從下往上戳)和3種(前后戳、左右戳和上下戳),讓學(xué)生辨析感知:從前往后戳和從后往前戳在解決一共戳中蛋糕的數(shù)量時是相同的,在有關(guān)空間的問題中,相對的兩種可以合二為一。解決“一共戳中幾塊蛋糕”的策略分為兩類:一類是先按上下、前后和左右各戳中幾塊,再找出重復(fù)多算了幾次,上下戳中的塊數(shù)+前后戳中的塊數(shù)+左右戳中的塊數(shù)-重復(fù)多算的次數(shù)=總數(shù),也就是用分類的策略解決;另一類是分別按每層各戳中幾塊,然后逐層累加,也就是用分層的策略解決。教師在學(xué)生感知到這兩種策略后,要留足時間讓學(xué)生去思考辨析這兩種策略的優(yōu)缺點。

    分類的思想,不僅在于讓學(xué)生用分類的方法去分析問題和解決問題,還在于讓學(xué)生感受到分類是基于分類標準進行的,不同的分類具有不同的解決問題的路徑。學(xué)生不僅要學(xué)會分類,還要對不同分類進行比較、辨別和選擇。分類的策略容易想象,而分層的策略能避免重復(fù)帶來的干擾,兩種策略各有利弊,可以相互補充、相互驗證。分層的策略又可以按照不同的方向分為三類:上下分層、左右分層和前后分層(見圖3)。對于這三類的感知,其目的在于感知解決三維空間問題的思維路徑,進一步提升空間想象能力。

    (二)建構(gòu)分類模型,明晰思維路徑

    空間相關(guān)問題的解決,最大的困難在于模型的感知和建構(gòu)。當學(xué)生無法自行探究出解決的思維路徑時,教師不妨讓學(xué)生進行分類,從而探析解決問題的模型。如果學(xué)生建構(gòu)出有效的解決模型,這將促進學(xué)生全面地思考問題,而且,學(xué)生在求解的過程中也能“求全”。

    如在“尋找螞蟻回家的最短路線”的游戲中(見圖4),螞蟻從A點出發(fā)沿著正方體的表面達到P點,學(xué)生根據(jù)規(guī)則形成很多的路線。我們可以對這些路線進行分類,沿著棱的組合路線(與A點相連的棱有AM、AB和AD三條,如從AM出發(fā),有AM—MQ—QP和AM—MN—NP兩條,從AB出發(fā),有AB—BN—NP和AB—BC—CP兩條,從AD出發(fā)同樣也有兩條)共6條;沿著對角線和棱的組合路線(先對角線后棱,如AN—NP、AQ—QP和AC—CP,先棱后對角線,如AM—MP、AB—BP和AD—DP)共6條。

    把路線進行分類后,學(xué)生的思維路徑更加清晰,思考也更加全面。對這兩類路線進行對比,我們發(fā)現(xiàn)對角線和棱的組合路線相對短一些。那么,有沒有更短的路線呢?教師引發(fā)學(xué)生思考:對角線比兩條棱長的和要短,也就是說,在平面內(nèi)兩點之間線段最短,如果把這個正方體展開,能否找到一條能夠直接連接A點和P點的線段呢?通過正方體的展開圖,教師把立體空間的問題轉(zhuǎn)化為平面兩點間的距離問題。學(xué)生最終得到尋找最短路徑的策略:從棱上找中點,中點分別與A點和P點相連,如在棱MN上找中點O1,再連接AO1和PO1,得到的就是最短的路徑。像這樣的最短路徑一共有幾條呢?要想找到全部的最短路徑,學(xué)生就需要對這些路徑進行辨析和分類:與A點相連的面有3個,其中在前面可以找到兩條),左面和下面也各有2條,一共有6條最短路徑。尋找最短路徑的過程,離不開學(xué)生的空間想象和有序思考。

    空間想象和有序思考是解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵所在。如果思維是混亂的,沒有進行有序的思考,是難以正確解決問題的。只有在有序思考的前提下,學(xué)生才能正確地分析問題和解決問題,才能有效培養(yǎng)空間觀念,發(fā)展空間想象力。

    大部分的學(xué)習(xí)和研究都離不開對分類思想的應(yīng)用,教師要在分類操作中尋找學(xué)生的學(xué)習(xí)起點,在分類對比中辨析概念的本質(zhì)屬性,在分類梳理中連通知識的來龍去脈,在分類思考中提煉問題的解決策略。在圖形和幾何的教學(xué)中,分類是一種有效的、普適的學(xué)習(xí)方式,能促進認知網(wǎng)絡(luò)在活動中得到形成、完善和生長,助推學(xué)生進行深度學(xué)習(xí),進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

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