題組變換做“加法”，問(wèn)題解決做“減法”

徐羽 萬(wàn)妍青

［摘? 要］ 教師在日常教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生在解決復(fù)雜幾何問(wèn)題時(shí)，加強(qiáng)對(duì)基本圖形變化本質(zhì)的理解，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和直觀想象能力，能從同類型問(wèn)題中總結(jié)出基本模型并加以運(yùn)用.文章以“正方形背景下的幾何證明”為例，通過(guò)抓住同類型問(wèn)題的本質(zhì)特點(diǎn)，通過(guò)題組變式，并加以歸納推廣，從而助力學(xué)生解決問(wèn)題.

［關(guān)鍵詞］ 正方形；幾何證明；題組變換

對(duì)于幾何證明，學(xué)生容易產(chǎn)生畏懼心理，尤其當(dāng)圖形復(fù)雜或條件繁多時(shí)，就會(huì)比較慌亂，沒(méi)有解題思路. 筆者曾對(duì)本校學(xué)生進(jìn)行過(guò)《優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)對(duì)提升專題復(fù)習(xí)效率》的問(wèn)卷調(diào)查，學(xué)生對(duì)于幾何證明感覺(jué)難以解決的原因如圖1：

通過(guò)分析，可以發(fā)現(xiàn)幾何證明常涉及四邊形與相似三角形、全等三角形的綜合，圖形比較復(fù)雜，對(duì)于學(xué)生的識(shí)圖、研圖、解圖能力要求較高；同時(shí)有些題型涉及輔助線的添加，對(duì)于學(xué)生綜合分析、應(yīng)用能力的要求更高. 由于學(xué)生在幾何證明中，沒(méi)有歸納常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，沒(méi)有積累常見(jiàn)的基本解題方法，故只要題目稍加變式，就會(huì)變得一籌莫展.

鑒于此，在日常教學(xué)中，教師需要將一些典型證明題以題組的形式進(jìn)行呈現(xiàn)，對(duì)題組做“加法”，即抽象基本模型（如A型、X型、子母三角形等），規(guī)范基本解法（如利用比例線段、銳角三角比、構(gòu)造全等或相似等），力求一題多解或多題一解，當(dāng)對(duì)一道例題進(jìn)行完整的剖析，自然能培養(yǎng)學(xué)生化難為易、舉一反三的能力. 當(dāng)學(xué)生面對(duì)類似背景時(shí)，就能夠很自然地抽絲剝繭、化繁為簡(jiǎn)，在問(wèn)題解決的時(shí)候做“減法”，最終掌握解決此類問(wèn)題的通識(shí)通法. 筆者以“正方形背景下的幾何證明”為例進(jìn)行闡述.

問(wèn)題背景

例題? 如圖2，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)CM. 若點(diǎn)G在線段CM上，且∠AGB=90°，延長(zhǎng)AG，BG分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

求證：（1）BE=CF；（2）BE 2=BC·CE.

例題分析

1. 識(shí)圖，尋找邊、角數(shù)量關(guān)系

在識(shí)圖階段，學(xué)生應(yīng)該將條件中的文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言建立有機(jī)聯(lián)系，抓住關(guān)鍵文字、幾何關(guān)系，并迅速在腦海中建立其對(duì)應(yīng)的基本圖形，以及聯(lián)想該圖形特有的性質(zhì)、結(jié)論，為最終獲得結(jié)論奠定基礎(chǔ).

2. 研圖：建立已知、未知間的橋梁

在識(shí)圖環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)圖形中邊、角的數(shù)量關(guān)系，并將文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言. 那么在研圖環(huán)節(jié)，學(xué)生需要做的就是通過(guò)整合這些數(shù)量關(guān)系，從而通過(guò)新的隱性結(jié)論探索與未知結(jié)論的聯(lián)系，找到問(wèn)題解決的方案.

例題中第（1）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，結(jié)論需要證明BE=CF，而B(niǎo)E和CF位于兩個(gè)全等的三角形中，因此通過(guò)“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”即可得到結(jié)論. 利用正方形的性質(zhì)以及結(jié)論②即可得到△ABE≌△BCF（ASA），繼而得到BE=CF.

例題中第（2）問(wèn)的結(jié)論BE2=BC·CE是一個(gè)等積式. 如圖3，借助目標(biāo)分析法，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于等積式的證明往往有以下兩種方法：找到一組相似三角形，其對(duì)應(yīng)邊成比例；在A型或X型的基本圖形中，尋找線段間的比例關(guān)系.

方法1：尋找子母三角形，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立等量關(guān)系.

由結(jié)論①和結(jié)論②得△CGE∽△CBG，得到 CG2=BC·CE，由結(jié)論③和結(jié)論④得CF=CG，第（1）問(wèn)中已經(jīng)求得CF=BE，等量代換得到BE 2=BC·CE.

方法2：構(gòu)造平行線，依據(jù)A型或X型的基本圖形構(gòu)造比例關(guān)系.

解法1：如圖4，延長(zhǎng)DC，AE交于點(diǎn)N. 由CD∥AB，得=，==，得CF=CN=BE，即得到=，即BE 2=BC·CE.

解法2：如圖5，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AE于N，由MN∥BC，M為AB中點(diǎn)，得BE=2MN. 由MN∥BC，CF∥AB，得==，即=，BE 2=BC·CE.

3. 解圖：積累基本模型，梳理基本方法

通過(guò)識(shí)圖、研圖的環(huán)節(jié)，雖然將一道題目順利解決，但是如果就此畫上句號(hào)，那么對(duì)部分學(xué)生而言還是停留在“就題論題”的層面，對(duì)于典型的例題，我們還需要做“加法”，進(jìn)行追問(wèn)：如何聯(lián)想到尋找子母三角形？輔助線的添加還有其他情況嗎？圖中的哪些基本圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵呢？正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說(shuō)：“解題的價(jià)值不是答案本身，而是在于弄清‘怎樣想到這個(gè)解法的，是什么促使你這樣想、這樣做的？”

問(wèn)題（2）中BE 2=BC·CE中BE是BC和CE的比例中項(xiàng)，若從“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”思考，則BE應(yīng)為子母三角形的公共邊，而B(niǎo)E，BC，CE在一條直線上，因此尋找與BE相等的線段，將CG進(jìn)行代換，利用△CGE∽△CBG，最終解決問(wèn)題. 若從“平行線間對(duì)應(yīng)線段成比例”思考，除了上述兩種構(gòu)造方法，有些學(xué)生還構(gòu)造了圖6的輔助線. 通過(guò)嘗試，發(fā)現(xiàn)圖6的三種輔助線都不能得到最終的結(jié)論，由于E是線段的分割點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，故構(gòu)造的基本圖形必須同時(shí)涵蓋這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn). 圖6的輔助線都只能得到相關(guān)的一組比例關(guān)系，因此無(wú)法得到最終的結(jié)論.

梳理整個(gè)解題過(guò)程，圖7是例題中涉及的基本圖形，而積累常見(jiàn)的基本圖形和基本方法是將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)的重要手段. 通過(guò)從復(fù)雜圖形中剝離基本圖形，可以將復(fù)雜問(wèn)題變成一個(gè)個(gè)可以解決的小問(wèn)題，通過(guò)串聯(lián)小問(wèn)題，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

題組變式

題組變式是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生高階思維的有效方式. 瑞斯尼克深刻地指出：高階思維具有不規(guī)則性和復(fù)雜性，能夠產(chǎn)生多種解決方法，需要多種應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生能夠自動(dòng)調(diào)節(jié)，且包含不確定性. 而題組變式的目的就是通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行加工、補(bǔ)充、完善，使問(wèn)題更具靈活性，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維.

1. 對(duì)調(diào)條件和結(jié)論

變式1? 如圖2，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)CM. 若在邊BC上取一點(diǎn)E，滿足BE 2=BC·CE，連結(jié)AE交CM于點(diǎn)G，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)BG并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)F.

求證：∠AGB=90°.

解法分析：盡管題目的結(jié)論和條件發(fā)生改變，但是問(wèn)題的解決路徑還是一致的，問(wèn)題的突破點(diǎn)還是在于如何轉(zhuǎn)化“BE 2=BC·CE”. 由于“∠AGB=90°”由已知條件變?yōu)樗蠼Y(jié)論，故尋找子母三角形的方法就行不通了. 但是構(gòu)造平行線，利用比例線段求解的方法還是可行的，通過(guò)比例關(guān)系得到BE=CF，再證明△ABE≌△BCF（SAS），得到∠A=∠CBG ，最終求得∠AGB=90°. 這樣的解題過(guò)程在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維.

2. 改變考查形式

變式2? 如圖2，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)CM. 若在邊BC上取一點(diǎn)E，滿足BE 2=BC·CE，連結(jié)AE交CM于點(diǎn)G，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)BG并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)F.

求：tan∠CBF的值.

解法分析：由于題目中未出現(xiàn)線段的長(zhǎng)度或明顯的數(shù)量關(guān)系，故對(duì)求具體的三角比產(chǎn)生了不小的難度. 由“BE 2=BC·CE”，得E是BC的黃金分割點(diǎn)，=通過(guò)變式1的探索得到BE=CF，繼而得到tan∠CBF==. 黃金分割比的融入在一定程度上體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的糅合，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維.

3. 改變?cè)仃P(guān)聯(lián)

變式3? 如圖8，已知正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠CAB的平分線分別交BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，作BH⊥AF，垂足為H，BH的延長(zhǎng)線分別交AC，CD于點(diǎn)G，P.

求證：（1）AE=BG；（2）GO·AG=CG·AO.

解法分析：本題是一個(gè)新的背景，但是可以發(fā)現(xiàn)的是圖形中還是存在著子母三角形、X型基本圖形. 在第（1）問(wèn)中，解決方法還是圍繞著利用全等三角形證明線段相等；在（2）問(wèn)中，解決方法還是通過(guò)利用相似三角形、平行線間的比例線段證明線段間的比例關(guān)系. 不僅如此，本題還可以利用tan∠OBG=tan∠CBP來(lái)解決，由此產(chǎn)生了全新的解題思路. 這無(wú)疑提升了學(xué)生的類比、聯(lián)想能力，拓展了學(xué)生的思維寬度.

以上三道問(wèn)題通過(guò)從不同的角度進(jìn)行變式，提升了學(xué)生不同維度的思維能力. 對(duì)題組進(jìn)行變式，也是學(xué)生對(duì)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造、再認(rèn)識(shí)的過(guò)程. 在分析例題時(shí)，教師已充分挖掘題目?jī)?nèi)涵、總結(jié)通識(shí)通法、積累基本模型，這樣做“加法”的過(guò)程幫助學(xué)生建構(gòu)了系統(tǒng)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展了深度化的高階思維. 因此，當(dāng)學(xué)生再遇到類似問(wèn)題時(shí)，只需要做“減法”，剔除多余線段，抽象基本圖形，利用相關(guān)結(jié)論，化未知為已知，問(wèn)題便可解決.

教學(xué)建議

1. 應(yīng)倡導(dǎo)“以題會(huì)類”而非“以題見(jiàn)類”

教師若采用“就題論題”的傳統(tǒng)練習(xí)題教學(xué)模式，缺乏對(duì)知識(shí)本質(zhì)的挖掘和方法的歸納，則只能起到“蜻蜓點(diǎn)水”之效. 雖然學(xué)生見(jiàn)識(shí)了多種類型，但遇到具體問(wèn)題時(shí)該如何處理，恐怕只能取決于學(xué)生的自悟能力或平時(shí)量的積累所形成的“條件反射”. 因此，學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的幾何證明時(shí)，往往顯得手忙腳亂. 其實(shí)，若教師對(duì)每類問(wèn)題逐一舉例剖析，并適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行題組變式，則一定能把培養(yǎng)學(xué)生“以題會(huì)類”的遷移能力落到實(shí)處.

2. 應(yīng)強(qiáng)調(diào)“基本方法”而非“劍走偏鋒”

相對(duì)于代數(shù)問(wèn)題，學(xué)生認(rèn)為幾何問(wèn)題更難把控，一旦沒(méi)有思路，整道題就只能被束之高閣了. 其實(shí)幾何題的難度很大程度上由圖形的復(fù)雜程度決定，而一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形往往由多個(gè)基本圖形組合而成. 如果學(xué)生已熟練掌握基本圖形，他們?cè)诮忸}時(shí)就能對(duì)復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行拆分，做到化繁為簡(jiǎn). 在幾何教學(xué)時(shí)，教師只有引導(dǎo)學(xué)生積累基本圖形、基本解決方法，注重題組變式，才能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從量變到質(zhì)變的飛躍.

3. 應(yīng)突出“學(xué)法指導(dǎo)”而非“實(shí)戰(zhàn)演練”

解題方法是教學(xué)內(nèi)容的精髓，是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，它滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)及問(wèn)題解答過(guò)程. 專題復(fù)習(xí)的意義不在于檢測(cè)學(xué)生的課堂解題能力，而在于解題方法的傳授與思維方式的完善，著力點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“怎樣轉(zhuǎn)化”和“如何類化”. 因此，借助“目標(biāo)分析”和“知識(shí)溯源”把思路生成的隨機(jī)性轉(zhuǎn)化為分析的必然性，妙用“本題屬于什么類型”和“同一類型還可以怎么做”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移性的深度思考，必然能完善學(xué)生的思維方式. 由此可見(jiàn)，學(xué)生只有在題組分解、變換時(shí)做“加法”，才能最終在解決問(wèn)題時(shí)做“減法”，從而全面提升分析問(wèn)題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維.