把握數(shù)的概念核心本質(zhì) 發(fā)展學(xué)生高層次思維

董文彬

“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”是北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級上冊 “分?jǐn)?shù)的意義”單元的起始課，由于分?jǐn)?shù)在學(xué)生數(shù)的概念認(rèn)知系統(tǒng)中占有十分重要的地位，因此“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”也成為數(shù)的認(rèn)識領(lǐng)域一節(jié)經(jīng)久不衰的核心課，其意義不言而喻。

縱觀各版本教材，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識在小學(xué)數(shù)學(xué)中大致分為兩個階段：第一階段是在第一學(xué)段三年級學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”，第二階段是在第二學(xué)段五年級學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”。以北師大版教材為例，在第一學(xué)段，學(xué)生已經(jīng)在分物的背景下從“平均分”的角度初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，從“平均分”一個“整體”（特指一個單獨(dú)的物體或圖形），如蘋果、長方形、正方形、圓等，到平均分一個“群體”（或稱之為“集合”），如一群小鴨子、一堆五角星等?？梢?，三年級學(xué)生已經(jīng)初步完成了對分?jǐn)?shù)的意義（比率層面）的建構(gòu)與認(rèn)識：一個物體或圖形作為整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識、一群（多個）物體或圖形作為整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識。這里“整體”的意義因拓展而內(nèi)涵豐富，分?jǐn)?shù)表示的是一個整體的一個部分，是部分與整體相互依存的倍比關(guān)系。學(xué)生在用畫圖的方式表達(dá)一個分?jǐn)?shù)的意義時，積累了由面積模型到集合模型的分?jǐn)?shù)表征的活動經(jīng)驗。五年級“分?jǐn)?shù)的意義”是對三年級分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的繼續(xù)深入——在分物或測量的背景下繼續(xù)探索分?jǐn)?shù)的“比率”“度量”“商”等多維度層面的意義，進(jìn)而使學(xué)生從多重角度形成清晰的脈絡(luò)來幫助理解分?jǐn)?shù)意義獨(dú)特而豐富的內(nèi)涵，從不同的學(xué)習(xí)路徑完成對分?jǐn)?shù)的意義多元性的認(rèn)識與拓展。而“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”作為單元起始課，主要是在三年級延伸的基礎(chǔ)上繼續(xù)完成對分?jǐn)?shù)“比率”這一維度意義的深化再認(rèn)識——平均分的對象由一個物體或圖形到多個物體或圖形再到多組物體或圖形，從不同角度認(rèn)識整體“1”的豐富內(nèi)涵，進(jìn)而概括和深化認(rèn)識分?jǐn)?shù)比率層面的意義——分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系。換而言之，對分?jǐn)?shù)表達(dá)“關(guān)系”的認(rèn)識是“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”這節(jié)課的核心。

基于以上思考，“部分、整體”是分?jǐn)?shù)發(fā)展的基礎(chǔ)，是學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念最基本、最重要的維度。筆者在這節(jié)課中設(shè)計了相關(guān)核心學(xué)習(xí)活動，通過層層深入的學(xué)習(xí)路徑幫助學(xué)生建立對分?jǐn)?shù)比率意義層面的深入理解。從解構(gòu)到建構(gòu)，以期在把握數(shù)的概念本質(zhì)中幫助學(xué)生發(fā)展高層次思維。

一、喚醒經(jīng)驗，建構(gòu)意義

教師出示“活動一”：以圖形“圓”為素材創(chuàng)作表示出[14]這個分?jǐn)?shù)。

師：我們已經(jīng)初步學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)，下面請以圖形“圓”為素材表示出[14]這個分?jǐn)?shù)。

教師展示交流學(xué)生作品，有如下4種。

師：大家看這4幅圖都能表示[14]嗎？請你具體說說是怎樣表示[14]這個分?jǐn)?shù)的。

生（指圖1）：這幅圖是把一個圓平均分成4份，其中涂色的1份就表示占這個圓的[14]。

生（指圖2）：把4個圓平均分成4份，其中涂色的1份是1個圓，就表示占這4個圓的[14]。

生（指圖3）：把8個圓平均分成4份，其中涂色的1份是2個圓，表示占這8個圓的[14]。

生（指圖4）：把12個圓平均分成4份，其中涂色的1份是3個圓，就表示占這12個圓的[14]。

師：每幅圖的涂色部分都表示了[14]，每個[14]的大小一樣嗎？

生：不一樣。

師：為什么不一樣？

生：因為它們各自的整體不一樣。

生：第一個[14]平均分的是1個圓，第二個[14]平均分的是4個圓，第三個[14]平均分的是8個圓，第四個[14]平均分的是12個圓，它們各自的整體不一樣，平均分成4份后，其中1份的面積就不一樣。

師：它們各自的整體不一樣，為什么涂色部分又都能表示[14]這個分?jǐn)?shù)？

生：因為都是把它們各自的整體平均分成了4份，涂色部分占了4份中的1份。

師：也就是說，不管整體是多少，只要把它們平均分成4份——

生：其中的1份就可以用[14]表示。

師：由此看來，分?jǐn)?shù)實際上是用來表示什么的？

生：表示部分占整體的幾分之幾。

生：表示部分和整體的關(guān)系。

師：以[14]為例，它表示了部分和整體之間怎樣的關(guān)系？

生：其中的部分1份占整體4份的[14]。

生：我們也可以反過來看，整體4份是部分1份的4倍。

【分析與思考】讓學(xué)生以圖形“圓”為素材創(chuàng)作表示出[14]這個分?jǐn)?shù)，是為了幫助學(xué)生喚醒第一學(xué)段對分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)識經(jīng)驗。學(xué)生從平均分1個圖形到多個圖形再到多組圖形，在創(chuàng)作并表示出[14]的過程中體會到了表示同一個分?jǐn)?shù)可以有不同的情形，豐富了整體“1”的內(nèi)涵，同時也在自我建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的意義。特別是對“每個[14]的大小一樣嗎，為什么不一樣？”“它們各自的整體不一樣，為什么涂色部分又都能表示[14]這個分?jǐn)?shù)？”這兩個進(jìn)階問題的討論中，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確了分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)——分?jǐn)?shù)表達(dá)的是部分與整體的關(guān)系。

二、逆向創(chuàng)造，理解意義

教師出示“活動二”：一個圖形的[13]是[ ]，畫出這個圖形。

學(xué)生依次呈現(xiàn)下面9種畫法（如圖5）。

師：作為[ ]的整體，這些圖形都畫得對嗎？

生：都對。

師：可是這些圖形的形狀各不相同，行嗎？說說理由。

生：我認(rèn)為行，因為雖然形狀不同，但都是由9個小方格組成的。

生：一個圖形的[13]是[ ]，是連著的3個小方格，也就是說[ ]是這個圖形整體的一部分，說明這個圖形整體應(yīng)該是部分的3倍，應(yīng)該是9個小方格，所以只要畫出的這個圖形是9個小方格就行了。

生：我明白了，不管這個圖形畫成什么形狀，只要3個小方格是一份，畫出這樣的3份就可以。

師：為什么只要畫出這樣的3份就可以？

生：部分占整體的[13]，那么整體就一定是部分的3倍，把部分[ ]看成1份，那么整體應(yīng)該就是這樣的3份。

師：也就是說，我們上面所畫出的這些圖形都表達(dá)了——

生：部分和整體之間的關(guān)系。

師：什么關(guān)系？

生：部分占整體的[13]，整體是部分的3倍。

【分析與思考】這個活動是讓學(xué)生根據(jù)圖形的一部分畫出其原來的整體，學(xué)生在畫的過程中要根據(jù)[13]的意義思考：[ ]與整個圖形（整體）之間有什么關(guān)系？原圖形是由幾個[ ]組成的？通過這種由部分逆向創(chuàng)造整體的過程，在“同與不同”的深度追問中幫助學(xué)生進(jìn)一步理解了部分和整體之間的關(guān)系：部分占整體的幾分之幾，整體是部分的幾倍——這是作為“關(guān)系”的分?jǐn)?shù)最本質(zhì)的意義。

三、對比刻畫，深化意義

教師出示“活動三”：為災(zāi)區(qū)人民捐款，笑笑捐獻(xiàn)了零花錢的[12]，淘氣捐獻(xiàn)了零花錢的[12]，他們捐的錢一樣多嗎？請說明理由。

生：一樣多，捐的都是[12]，都是一半。

生：不一定吧，他們的零花錢要是不一樣多呢？

師：他們捐的錢到底是不是一樣多？請在學(xué)習(xí)單上寫出你的想法。

生：我覺得這個問題的結(jié)論有三種可能。假設(shè)笑笑的零花錢是a元，淘氣的零花錢是b元，他們都捐了各自零花錢的一半；當(dāng)a>b也就是笑笑的零花錢比淘氣多時，笑笑捐得多；當(dāng)a=b也就是他倆零花錢一樣多時，他們捐得也一樣多；當(dāng)a<b也就是笑笑的零花錢比淘氣少時，那淘氣捐得多。

生：我同意他的想法，他們雖然都捐了各自零花錢的[12]，但捐得是不是一樣多還得看他們的零花錢是不是一樣多。

生：我是通過畫圖表示的（指圖6）。大家能看懂我的想法嗎？

生：這種方法其實和之前那位同學(xué)的想法是一樣的，只是畫圖更直觀了。

【分析與思考】數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多少，分?jǐn)?shù)也不例外。這個活動是讓學(xué)生討論“兩人都捐了零花錢的[12]的前提下，捐的錢是否一樣多”，讓學(xué)生進(jìn)一步理解：對于同一個分?jǐn)?shù)來說，整體的數(shù)量不同，對應(yīng)部分的數(shù)量也不同。同時，深化理解分?jǐn)?shù)表示多少的相對性：從相對量的角度理解分?jǐn)?shù)意義中部分與整體的關(guān)系。

教師繼續(xù)出示（變換數(shù)據(jù)）：為災(zāi)區(qū)人民捐款，奇思捐獻(xiàn)了零花錢的[14]，妙想捐獻(xiàn)了零花錢的[34]，他們捐的錢一樣多嗎？請說明理由。

（學(xué)生思考，之后展示他們的想法如圖7。）

生：我是這樣想的，假設(shè)妙想有4元零花錢，她捐出[34]就是捐出3元。如果奇思有28元零花錢，他捐出[14]就是7元，這時奇思捐得多。如果奇思有12元零花錢，他捐出[14]就是3元，這時他們捐得一樣多。如果奇思也有4元零花錢，他捐出[14]就是1元，這時妙想捐得多。所以有三種情況。

教師課件動態(tài)演示，幫助學(xué)生直觀理解上述三種情況。

師：通過討論這個問題，你們對分?jǐn)?shù)有什么新的認(rèn)識嗎？

生：只知道各自捐的錢占各自零花錢的幾分之幾，不知道各自零花錢的總數(shù)，無法確定誰捐得多，誰捐得多得根據(jù)他們零花錢的總數(shù)而定。

生：只知道各自部分和整體的關(guān)系，不知道各自整體是多少，就無法確定各部分的大小。

【分析與思考】這個活動是對上一個問題的進(jìn)階思考，讓學(xué)生進(jìn)一步討論“各自捐的錢占各自零花錢的幾分之幾不同的前提下，捐的錢是否一樣多”，讓學(xué)生在舉例、畫圖中進(jìn)一步理解：對于不同的分?jǐn)?shù)，整體的數(shù)量不同，對應(yīng)部分的數(shù)量有時不同，有時相同。對這種不確定性的討論，是學(xué)生對分?jǐn)?shù)表示多少的相對性的再次深入認(rèn)識，能深化作為“關(guān)系”的分?jǐn)?shù)的意義。

四、關(guān)聯(lián)話題，延伸意義

教師出示信息：甲捐款10000元，乙捐款100元。

師：在為災(zāi)區(qū)捐款的活動中，甲、乙兩人一位捐款10000元，一位捐款100元。你有什么感受？

生：甲捐得多，乙捐得少。

生：甲很慷慨，乙比較“摳門”。

教師出示補(bǔ)充信息：一位億萬富翁捐款10000元，一位普通的快遞員捐款100元。

師：你又有什么想說的嗎？

生：開始只看甲、乙捐款的錢數(shù)時，我也認(rèn)為乙捐得少，有點(diǎn)兒摳門，但是看到他們各自的收入后，我的想法改變了，我覺得甲捐得不算多，乙也并不摳門。因為甲是一位億萬富翁，他捐10000元，與他的收入相比只是微小的一部分而已，而乙是一位普通快遞員，收入較低，他捐100元，和他的收入相比，已經(jīng)不少了。

師：誰能具體解釋解釋？

生：假設(shè)甲有1億元，而他捐了10000元，相當(dāng)于他只捐了他收入的[110000]，而假設(shè)乙的收入是5000元，他捐100元相當(dāng)于他收入的[150]，所以我覺得相比之下快遞小哥捐得更多。

生：看誰捐得多不能只看他捐了多少錢，還要看他的收入，更重要的是要看他捐款的錢數(shù)和他收入的比例關(guān)系。

師：其實就捐款這件事而言，只要為災(zāi)區(qū)人民捐出了自己的錢，奉獻(xiàn)了愛心，就都是好樣的。但這個話題能夠引起大家聯(lián)想到用分?jǐn)?shù)關(guān)系來解釋思考，表達(dá)自己的觀點(diǎn)，老師還是為你們感到高興的。相信你們對分?jǐn)?shù)一定又有了更高層次的認(rèn)識。

【分析與思考】這個活動是在捐款的情境中讓學(xué)生直觀感受和討論“兩人捐款的多與少”，在接續(xù)補(bǔ)充信息的過程中，學(xué)生認(rèn)知上發(fā)生了變化，這樣學(xué)生在表達(dá)自己觀點(diǎn)的過程中自然地在頭腦中構(gòu)造和關(guān)聯(lián)分?jǐn)?shù)的意義去解釋自己的想法：在看待問題時不要只關(guān)注部分，還要關(guān)注整體，關(guān)注部分與整體的關(guān)系，這正是分?jǐn)?shù)作為比率維度的最基本的意義。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）