在猜想與驗證的探究過程中發(fā)展學生數(shù)學思維

陳浩玲

一、教學內(nèi)容

《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》（人教版）五年級下冊第57頁例1、例2及相關(guān)練習。

二、教學分析

（一）教材分析

“分數(shù)的基本性質(zhì)”是人教版義務(wù)教育課程標準實驗教材五年級下冊第四單元的一個教學內(nèi)容，知識編排是基于分數(shù)的意義、分數(shù)與除法的關(guān)系和商不變的規(guī)律等認知基礎(chǔ)而設(shè)立。它是本單元教學內(nèi)容的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點和單元教學的重點，建立抽象的概念模型是教學過程的難點。因此，在研讀教材內(nèi)容時，要緊扣直觀性操作——折紙活動，通過經(jīng)歷“兩次折紙”的親身體驗，參與“三層研學”的猜想驗證，讓學生深入感受分數(shù)的分子和分母變化及同組分數(shù)大小關(guān)系，加深對“分數(shù)基本性質(zhì)”這一概念的理解。同時，“分數(shù)的基本性質(zhì)”是約分和通分的知識基礎(chǔ)，而約分和通分與分數(shù)四則混合運算的教學關(guān)系密切。“分數(shù)的基本性質(zhì)”概念的建立也為“比的基本性質(zhì)”做好充分的遷移準備。因此，理解和運用“分數(shù)的基本性質(zhì)”顯得尤為重要。

（二）學情分析

高年段學生處于從直觀思維逐漸向抽象思維過渡的階段，主要以直觀形象思維作為基礎(chǔ)。在實施本課教學時，應充分考慮到學生的直觀形象性思維和原有的認知基礎(chǔ)，著力給學生搭建這一遷移過渡的平臺，保證學生能理解和運用“分數(shù)的基本性質(zhì)”。通過現(xiàn)實的活動情境，在合情推理和類比推理中，學生積累探究新知的經(jīng)驗，借助新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，喚起學生思維有效鏈接。

三、設(shè)計理念

基于“研學后教”升級版理念的指導下，本節(jié)課著力將課程標準中“數(shù)學規(guī)律學習活動應當是一個生動活潑的、主動的且富有個性的過程”的教學理念落實到課堂教學中。本教學設(shè)計從內(nèi)容上強調(diào)學生研學過程，目標上把創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)緊密相連，讓遷移和推理成為數(shù)學學習的重要途徑。研學課堂安排充分的數(shù)學活動和探究時間，經(jīng)歷“猜想—操作—驗證—歸納”的探究過程。把遷移類比、推理歸納、建模等數(shù)學思想和解決問題的數(shù)學方法滲透到數(shù)學課堂當中，讓學生潛移默化地體驗數(shù)學文化，提高他們的數(shù)學核心素養(yǎng)，養(yǎng)成用數(shù)學的眼光看世界、用數(shù)學的語言描述世界、用數(shù)學的思想思考世界的習慣。

四、教學目標

1. 在動手操作中理解分數(shù)的基本性質(zhì)，能運用分數(shù)的基本性質(zhì)解決問題。

2. 經(jīng)歷猜想和驗證過程，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，培養(yǎng)歸納推理能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

3. 激發(fā)學生積極學習的熱情，體驗數(shù)學學習的樂趣和成功解決數(shù)學問題的喜悅。

五、教學重難點

1. 教學重點：理解和運用分數(shù)的基本性質(zhì)去解決問題。

2. 教學難點：能從抽象數(shù)組中概括出分數(shù)的基本性質(zhì)。

六、教學準備

2種學具紙：長方形、正方形各3張；油性筆；研學案；課件。

七、教學過程

（一）大膽猜想，遷移概念

1. 請快速完成以下三道計算題。

（1）120÷30＝

（2）（120×3）÷（30×3）＝

（3）（120÷10）÷（30÷10）＝

計算后思考：你是根據(jù)什么規(guī)律去快速算出結(jié)果？（出示商不變的規(guī)律）

2. 填空。

匯報后思考：你是根據(jù)以前學過的什么知識來完成的？（分數(shù)與除法的關(guān)系）

3. 分數(shù)與除法的關(guān)系非常密切，被除數(shù)相當于分數(shù)中的分子，除數(shù)相當于分母，商就是我們平時所說的分數(shù)的大小，除法中有商不變的規(guī)律，那么，分數(shù)中也有類似的規(guī)律嗎？誰來猜一猜？你們的猜想是否正確？我們一起來探究。

【設(shè)計意圖】由于分數(shù)和除法有著密切的聯(lián)系，新課教學之前，對分數(shù)與除法的關(guān)系、商不變的規(guī)律進行簡單的復習，喚醒學生已有的認知，創(chuàng)設(shè)集體“猜想”的情境，學生生成猜測性的規(guī)律，讓溝通成為新舊遷移的橋，也為“驗證”規(guī)律提供了教與學的資源。

（二）操作驗證，形成概念

1. 一折感知：直觀感受數(shù)組間的相等關(guān)系。

（1）首先，我們一起來玩“折紙游戲”。每人請選擇其中一種學具紙片，用“平均分并涂上陰影”的方法，分別表示出[12]、[24]、[48]三個分數(shù)。

（2）游戲后提問：你是怎樣平均分？

（3）觀察游戲生成的學具紙片：你發(fā)現(xiàn)了什么？三個分數(shù)的大小有什么關(guān)系？（匯報后板書：[12]＝[24]＝[48]）

2. 二折深化：溝通聯(lián)系數(shù)組間的相等關(guān)系。

（1）按照剛才的思路，我們還可以繼續(xù)折，你還能折出與這些分數(shù)的陰影部分相同的其他分數(shù)嗎？

（2）小結(jié)：我們繼續(xù)反復對折下去，原來可以折出無數(shù)個與[12]大小相等，而分子、分母卻不同的分數(shù)。（補充板書：[12]＝[24]＝[48]……）

3. 三層研學：根據(jù)板書上的圖示（見下頁圖），觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)組間的變化規(guī)律。

第一層：從左往右觀察，分數(shù)的分子和分母各是怎樣變化的？

歸納小結(jié)：分數(shù)的分子和分母同時乘相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變。

第二層：從右往左觀察，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

歸納小結(jié)：分數(shù)的分子和分母同時除以相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變。

第三層：其他的分數(shù)也會有這樣的發(fā)現(xiàn)嗎？

（1）除了與[12]相等的分數(shù)外，其他分數(shù)也會有以上的發(fā)現(xiàn)嗎？以[13]和[14]為例，課件上演示折紙過程，得到一組與[13]大小相等，而分子、分母卻不同的分數(shù)；再利用數(shù)軸，證明一組與[14]大小相等的分數(shù)。（板書：[13]＝[26]＝[412]、[14]＝[312]＝[936]）

（2）你能把剛才的兩個不同的發(fā)現(xiàn)“合二為一”，即用一句話把它們的意思表達出來嗎？同步板書：分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變。

（3）對于我們歸納的發(fā)現(xiàn)，還有補充嗎？適時增加關(guān)鍵詞“0除外”的重要性。

（4）數(shù)學家們把這個規(guī)律叫作“分數(shù)的基本性質(zhì)”（板書課題）。

【設(shè)計意圖】讓學生通過動手操作，把靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)的求知過程，感受“數(shù)形結(jié)合”“類比遷移”等數(shù)學思想方法。以足量的感性材料作為探究的依據(jù)，讓學生充分經(jīng)歷“猜測—推理—歸納”等研學過程，把握現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，結(jié)合語言表征和動作表征去深入理解分數(shù)的基本性質(zhì)，在抽象歸納的過程中滲透不完全歸納的思想，培養(yǎng)學生合情推理的能力。

（5）變式判斷：

【設(shè)計意圖】規(guī)律性概念形成后，及時地安排在實踐中運用，通過“辨析練習”，加深對概念的內(nèi)化理解，真正讓學生將“分數(shù)的基本性質(zhì)”中“同時”“乘或除以”“相同”和“0除外”等關(guān)鍵詞理解好，為后續(xù)應用概念做好充分準備。

（6）翻開書本P57頁內(nèi)容，閱讀新知并質(zhì)疑。

（三）內(nèi)化理解，應用概念

1. 研學思考：你能把一個分數(shù)化成分母不同而大小相等的分數(shù)嗎？

2. 把[23]和[1024]化成分母是12而大小不變的分數(shù)。

3. 學生獨立完成后交流匯報，說說轉(zhuǎn)化過程及依據(jù)。

【設(shè)計意圖】學數(shù)學是為了用數(shù)學，在“研學后教升級版”理念的指導下，本環(huán)節(jié)放手讓學生先自主研學，再小組合作探究式學習，利用分數(shù)的基本性質(zhì)去解決問題，讓剛剛建立的概念模型得到及時的應用，學生在一系列的追問中，掌握解決問題的方法，為后續(xù)的學習做好鋪墊。

（四）鞏固練習，延伸概念

【設(shè)計意圖】練習的設(shè)計有層次，引導學生科學有序地鞏固概念。通過基礎(chǔ)性練習，及時鞏固新知；綜合性練習，旨在運用本節(jié)課建立的概念模型，解決生活中的問題，培養(yǎng)學生解決問題的能力；延伸性檢測，很好地啟發(fā)學生的思維，讓學生帶著問題走出課堂。

（五）回顧反思，總結(jié)評價

通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？你覺得自己的表現(xiàn)如何？

【設(shè)計意圖】讓學生學會總結(jié)與反思，分享經(jīng)驗，促進學生逐步養(yǎng)成自覺反思、不斷總結(jié)學習經(jīng)驗的習慣。同時，有利于學生揚長補短，促進個人及小組的共同進步。

（六）作業(yè)布置

1. 完成課本58頁第1、2、3題。

2. 小游戲——分數(shù)接龍。同桌選擇其中一組分數(shù)，省略的分數(shù)可能是幾分之幾？

附：板書設(shè)計

分數(shù)的基本性質(zhì)

分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。