基于量子遺傳算法優(yōu)化的空間魔法波形裝置動(dòng)態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)誤差分析

張凌寒，陸思良

基于量子遺傳算法優(yōu)化的空間魔法波形裝置動(dòng)態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)誤差分析

張凌寒，陸思良

（安徽大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，合肥 230601）

研究了一種基于量子遺傳算法的空間魔法波形裝置的動(dòng)態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算。空間魔法波形是一種由等長(zhǎng)木棍在三維空間拼接成動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)并由繩索驅(qū)動(dòng)的用于科普演示的裝置，木棍網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算對(duì)于裝置整體的設(shè)計(jì)和組裝有重要意義。引入一種將量子計(jì)算概念（量子態(tài)、量子門、量子狀態(tài)特性、概率幅等）融合到傳統(tǒng)遺傳算法中的優(yōu)化算法——量子遺傳算法，用量子位表示基因，再利用量子信息的疊加性使每個(gè)量子位表達(dá)基因的可能性相同，進(jìn)而通過基因位的旋轉(zhuǎn)完成基因的變異，每次完成變異后判斷適應(yīng)度是否滿足條件，滿足條件的解將持續(xù)更新，在不停地迭代計(jì)算下求出最終的最優(yōu)解。利用量子遺傳算法計(jì)算變化后的空間魔法波形木棍網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)比使用傳統(tǒng)遺傳算法和蒙特卡洛算法時(shí)的平均精度分別降低了0.0270%和0.0458%，該算法的使用提高了在機(jī)械設(shè)計(jì)、制造工藝、計(jì)量測(cè)試中坐標(biāo)求解的精度。

量子遺傳算法；空間魔法波形；凸輪機(jī)構(gòu)；坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算；適度函數(shù)

坐標(biāo)誤差是機(jī)械工程、力學(xué)等相關(guān)學(xué)科的重要影響因素，并且一直是機(jī)械設(shè)計(jì)、制造工藝、計(jì)量測(cè)試中的重要研究?jī)?nèi)容。坐標(biāo)誤差中的優(yōu)化分析問題通常采用智能算法解決，如：遺傳算法。這是一種借鑒生物學(xué)中遺傳、突變、自然選擇和雜交等現(xiàn)象的優(yōu)化算法，具有收斂性好、過程簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。它不僅應(yīng)用于坐標(biāo)誤差的分析優(yōu)化，還成功應(yīng)用于很多領(lǐng)域的優(yōu)化問題，沙勇[1]設(shè)計(jì)了一種基于遺傳算法的機(jī)器人路徑規(guī)劃方案，更好地解決了機(jī)器人實(shí)際路徑優(yōu)化問題；陳昊等[2]提出一種基于混合遺傳算法下的有軌制導(dǎo)車輛動(dòng)態(tài)調(diào)度模型，對(duì)不同方案求解時(shí)的實(shí)用性和有效性更強(qiáng)；金昕等[3]設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的多種群遺傳算法，在集成車間調(diào)度模型中更快地得到更好的優(yōu)化調(diào)度結(jié)果。

因傳統(tǒng)遺傳算法存在搜索時(shí)間長(zhǎng)，交叉變異過于隨機(jī)等不足，鑒于此，本文引入量子遺傳算法（Quantum Genetic Algorithm，QGA）這一種將量子計(jì)算與遺傳算法相結(jié)合的智能優(yōu)化算法，它具有隨機(jī)性小、魯棒性高等優(yōu)點(diǎn)，將量子態(tài)、量子門、量子狀態(tài)特性、概率幅等量子領(lǐng)域的概念，融合到傳統(tǒng)的遺傳算法中，用量子位表示基因，再利用量子信息的疊加性使每個(gè)量子位表達(dá)基因的可能性相同，進(jìn)而通過基因位的旋轉(zhuǎn)完成基因的變異，每次完成變異后判斷適應(yīng)度是否滿足條件，滿足條件的解將持續(xù)更新，在不停地迭代計(jì)算下求出最終的最優(yōu)解。近年來，量子遺傳算法在優(yōu)化領(lǐng)域的應(yīng)用比起傳統(tǒng)遺傳算法更加廣泛，趙輝[4]提出了基于混合量子遺傳算法的外貿(mào)企業(yè)物流配送車輛優(yōu)化調(diào)度算法，可以更好地進(jìn)行車輛路徑規(guī)劃能力；凌煜凡等[5]研究了量子遺傳算法在反應(yīng)堆流量分區(qū)問題上的收斂性分析，相比于傳統(tǒng)的遺傳算法能更快地搜索到最優(yōu)分區(qū)結(jié)果；周浩等[6]提出一種基于量子遺傳算法的耕地系統(tǒng)安全評(píng)價(jià)方法，為長(zhǎng)株潭地區(qū)耕地保護(hù)及社會(huì)經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展提供理論支撐；黃景光等[7]提出了一種基于量子遺傳算法的阻抗修正時(shí)的限過流保護(hù)方法，能夠有效提升保護(hù)過程中的選擇性和速動(dòng)性；繆麟等[8]提出了一種基于量子遺傳算法的離軸反射光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，為自由曲面離軸反射光學(xué)系統(tǒng)提供像質(zhì)良好、特定布局的初始結(jié)構(gòu)；馮建鑫等[9]利用量子遺傳算法對(duì)模糊自整定PID控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和適應(yīng)性。

本文基于空間魔法波形這一裝置，用量子遺傳算法進(jìn)行裝置的坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算，凸顯量子遺傳算法相比于傳統(tǒng)遺傳算法的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也可以給相關(guān)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和開發(fā)提供新思路。

1 問題分析

1.1 空間魔法波形動(dòng)態(tài)網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)

空間魔法波形是一種由等長(zhǎng)木棍在三維空間拼接成動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并由凸輪機(jī)構(gòu)和繩索驅(qū)動(dòng)的用于科普演示的裝置。豎直軸凸輪機(jī)構(gòu)與水平軸凸輪機(jī)構(gòu)相同，放置在相互垂直的方向上。木棍網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)豎直方向系有驅(qū)動(dòng)繩索，繩索驅(qū)動(dòng)的上下伸縮由水平和豎直兩個(gè)方向的凸輪機(jī)構(gòu)的周期運(yùn)動(dòng)合成。等長(zhǎng)木棍網(wǎng)格機(jī)構(gòu)由多根長(zhǎng)度、質(zhì)量相同的木棍，頭尾相接或呈90°角相連組成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，且每根木棍可圍繞連接處做一定幅度擺動(dòng)，通過繩索驅(qū)動(dòng)裝置帶動(dòng)每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行幅度不同的伸縮，形成一個(gè)曲面，進(jìn)行坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算的坐標(biāo)正是基于此曲面。裝置如圖1所示，主要包含從上到下的4個(gè)部分：（1）水平軸凸輪機(jī)構(gòu)；（2）豎直軸凸輪機(jī)構(gòu)；（3）繩索驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)；（4）等長(zhǎng)木棍網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。

圖1 一種9×9木棍網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的空間魔法波形

圖2 凸輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖

1.2 裝置的運(yùn)動(dòng)原理

水平凸輪機(jī)構(gòu)和豎直凸輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)原理相同，皆是通過凸輪的轉(zhuǎn)動(dòng)拉扯圈狀繩索，進(jìn)而帶動(dòng)可活動(dòng)桿來回運(yùn)動(dòng)，最終引起木棍網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)抬升的高度不同，形成不同的曲面。凸輪運(yùn)動(dòng)到如圖3(a)所示位置時(shí)，繩索被向下拉扯，進(jìn)而帶動(dòng)可活動(dòng)桿向右移動(dòng)；當(dāng)凸輪運(yùn)動(dòng)到圖3(b)所示位置時(shí)，繩索被拉扯的幅度較小，此時(shí)可活動(dòng)桿相對(duì)于圖3(a)時(shí)的位置向左移動(dòng)。

圖3 凸輪繩索驅(qū)動(dòng)桿運(yùn)動(dòng)示意圖

木棍網(wǎng)絡(luò)發(fā)生變化后，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上升的高度可以進(jìn)行精確計(jì)算。如圖4所示，以靠外側(cè)的一根繩索為例，最上端豎直繩索固定層與水平軸凸輪機(jī)構(gòu)的距離為1，水平軸凸輪機(jī)構(gòu)與豎直軸凸輪機(jī)構(gòu)之間的距離為2，豎直軸向桿與等長(zhǎng)木棍網(wǎng)絡(luò)之間的距離為，從最上端豎直繩索固定層到下端木棍網(wǎng)絡(luò)的繩索總長(zhǎng)度不變：

原連接處A0上升到移動(dòng)后的連接處A1的距離Δ為

1.3 木棍網(wǎng)絡(luò)的坐標(biāo)誤差來源

由于木棍組成的網(wǎng)絡(luò)具有不可壓縮性，因此網(wǎng)格從平面變成曲面時(shí)，在水平投影上會(huì)存在整體收縮現(xiàn)象。如圖5所示，計(jì)算得知，長(zhǎng)度為1.6m的網(wǎng)格形成截面為正弦波的曲面時(shí)，兩端分別有0.032 m的收縮。為此，精確計(jì)算每一個(gè)木棍網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的實(shí)際空間位置及其坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算對(duì)于演示裝置的設(shè)計(jì)和組裝有重要意義。鑒于木棍網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目較多，且收縮變形在三維空間中出現(xiàn)，因此通過解析建模的方法計(jì)算坐標(biāo)十分困難。為此，本文采用量子遺傳算法進(jìn)行網(wǎng)格曲面節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算，并用傳統(tǒng)遺傳算法和蒙特卡洛算法同時(shí)求解節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行精度對(duì)比。

圖5 網(wǎng)絡(luò)整體收縮趨勢(shì)示意圖

2 基于量子遺傳算法的坐標(biāo)誤差分析

2.1 量子遺傳算法

量子遺傳算法[10]是一種基于量子計(jì)算的遺傳算法，在遺傳編碼中引入量子的態(tài)矢量，用量子邏輯門來實(shí)現(xiàn)染色體的演化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)優(yōu)化的算法。

量子疊加態(tài)是QGA的基礎(chǔ)，其中一個(gè)量子比特的疊加態(tài)的表示為

QGA的最小單元是一個(gè)量子比特，一個(gè)染色體可以由如下矩陣表示：

每個(gè)量子被觀測(cè)后，由和組成的量子比特疊加態(tài)馬上隨機(jī)變成0態(tài)或者1態(tài)，基因也因此變成二進(jìn)制形式，且最小單位為1個(gè)比特，只能取到0或者1，式(4)中代表的染色體長(zhǎng)度可以用×來表示。

QGA中量子門更新的作用可對(duì)比傳統(tǒng)遺傳算法中的變異或交叉操作，效果類似。量子門在演化操作中扮演執(zhí)行機(jī)構(gòu)這一角色，執(zhí)行機(jī)構(gòu)種類有很多，為適配量子遺傳算法的計(jì)算特點(diǎn)，選擇量子旋轉(zhuǎn)門這一執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其計(jì)算方法為

將量子比特（式(5)）右乘式(7)，更新旋轉(zhuǎn)角度，得到新的量子比特，計(jì)算過程如下：

旋轉(zhuǎn)角使用的是一種與優(yōu)化問題無關(guān)的、通用的調(diào)整策略，如表1所示。

表1 旋轉(zhuǎn)角策略選擇

QGA的步驟：

(4)記錄下最優(yōu)的個(gè)體和其相對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度；

(5)判斷計(jì)算過程是否可以結(jié)束，若滿足終止條件，則停止，否則繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算；

(8)利用量子旋轉(zhuǎn)門對(duì)個(gè)體進(jìn)行調(diào)整，得到一個(gè)新種群；

(9)記錄下最優(yōu)的個(gè)體和其相對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度；

(10)迭代次數(shù)加1，返回步驟(5)。

量子遺傳算法求解流程如圖6所示。

圖6 量子遺傳算法求解流程

2.2 坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算

為更加準(zhǔn)確地進(jìn)行木棍網(wǎng)絡(luò)所形成的動(dòng)態(tài)網(wǎng)格的坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算，建立了各節(jié)點(diǎn)位置發(fā)生變化之前的初始狀態(tài)模型。設(shè)置軸為橫軸，軸為縱軸，為了方便坐標(biāo)軸設(shè)計(jì)和計(jì)算，讓整個(gè)結(jié)構(gòu)上下顛倒，也就是繩子從=0這個(gè)平面上“下垂”到=4左右的平面上，如圖7所示。

圖7 木棍網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)

每個(gè)凸輪的運(yùn)動(dòng)軌跡函數(shù)融合成木棍網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的三維曲面函數(shù)，隨著凸輪的運(yùn)動(dòng)和繩索驅(qū)動(dòng)裝置的帶動(dòng)，每個(gè)點(diǎn)的位置會(huì)隨之發(fā)生變化，但豎直繩索長(zhǎng)和木棍網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)木棍的長(zhǎng)度不變，這也是求解節(jié)點(diǎn)實(shí)際坐標(biāo)過程中的限制條件。網(wǎng)格是9×9規(guī)格，即9行9列，81個(gè)點(diǎn)，64個(gè)網(wǎng)格。為了方便節(jié)點(diǎn)的表示，給每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)記序號(hào)，按照從左到右，從上到下依次標(biāo)記為1到81，木棍網(wǎng)絡(luò)的俯視圖和節(jié)點(diǎn)的序號(hào)標(biāo)記如圖8所示。

鑒于每個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)刻在運(yùn)動(dòng)，且這些節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)又互相關(guān)聯(lián)，因此需要假設(shè)木棍網(wǎng)絡(luò)中心的節(jié)點(diǎn)沒有伸縮變形，即木棍網(wǎng)絡(luò)中心的繩索恒定為垂線，此時(shí)，可根據(jù)限制條件由內(nèi)而外的逐個(gè)求解節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。求解的限制條件包括：(1)每根豎直繩索長(zhǎng)度不變；(2)相鄰節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的空間距離（即連接相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的木棍長(zhǎng)度）。此外，還需給上述限制條件設(shè)置合理的誤差范圍，本文設(shè)置的誤差為0.001 m，即1mm，若計(jì)算求解過程中，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)誤差在所設(shè)置誤差范圍之內(nèi)，則認(rèn)為該解滿足條件。

2.3 適度函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)

量子遺傳算法中使用適應(yīng)度[12]這個(gè)概念來度量群體中全部個(gè)體在進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)可能達(dá)到或接近于最優(yōu)解的好壞程度。適應(yīng)度比較高的個(gè)體就有相對(duì)較高的概率遺傳到下一代；而適應(yīng)度較低的個(gè)體只有相對(duì)較小的概率遺傳到下一代。度量個(gè)體適應(yīng)度的函數(shù)被稱為適應(yīng)度函數(shù)（Fitness Function）。遺傳算法中以個(gè)體適應(yīng)度的大小評(píng)定各個(gè)個(gè)體的優(yōu)劣程度，從而決定其遺傳機(jī)會(huì)的大小。

圖8 9×9木棍網(wǎng)絡(luò)的俯視圖及節(jié)點(diǎn)序號(hào)

目標(biāo)函數(shù)是用變量表示的目標(biāo)形式，本文的目標(biāo)函數(shù)Fit()：

圖9 節(jié)點(diǎn)25與節(jié)點(diǎn)24、34的空間距離在z=0平面的投影

在本文中，目標(biāo)函數(shù)總?cè)》秦?fù)值，并且是以求函數(shù)最小值為優(yōu)化目標(biāo)，故可直接利用目標(biāo)函數(shù)值作為個(gè)體的適應(yīng)度。目標(biāo)函數(shù)的值越趨近于0，適應(yīng)度就越高，求得的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)就越準(zhǔn)確。節(jié)點(diǎn)41的投影即原點(diǎn)的坐標(biāo)已知，為求得全部的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，需先求投影在坐標(biāo)軸上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，從節(jié)點(diǎn)41開始往四周求其余各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。

3 結(jié)果分析

本文在用量子遺傳算法優(yōu)化計(jì)算實(shí)際坐標(biāo)的過程中，經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試200代左右進(jìn)化曲線收斂，所以設(shè)置每次運(yùn)算500代，以確保更準(zhǔn)確，而且為了結(jié)果更具有代表性，選取4個(gè)象限的點(diǎn)作為代表，以下是點(diǎn)25、31、65、81坐標(biāo)在500代計(jì)算后的進(jìn)化曲線。

圖10 點(diǎn)25坐標(biāo)的量子遺傳算法進(jìn)化曲線

圖11 點(diǎn)65坐標(biāo)的量子遺傳算法進(jìn)化曲線

圖12 點(diǎn)31坐標(biāo)的量子遺傳算法進(jìn)化曲線

圖13 點(diǎn)81坐標(biāo)的量子遺傳算法進(jìn)化曲線

本文還以傳統(tǒng)遺傳算法和蒙特卡洛算法[13]（Monte Carlo Method，MCM）求得的坐標(biāo)作為對(duì)比。蒙特卡洛算法是一種數(shù)值模擬算法，把概率現(xiàn)象作為研究對(duì)象，對(duì)于統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的問題可以直接解決，所求解的誤差與問題維數(shù)無關(guān)，可以比較快速且直接地求出大致結(jié)果。在使用蒙特卡洛算法求節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，在給定范圍的三維立方體空間中隨機(jī)生成一個(gè)坐標(biāo)，通過計(jì)算生成所有滿足前文兩點(diǎn)限制條件的坐標(biāo)后，再做平均，以平均坐標(biāo)作為所求點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，和量子遺傳算法求得的更為精細(xì)的坐標(biāo)對(duì)比。

表2是使用3種算法計(jì)算得到的點(diǎn)25、31、65、81的實(shí)際坐標(biāo)及誤差。因?yàn)槔K長(zhǎng)是不變的，所以坐標(biāo)誤差可以用求得的實(shí)際坐標(biāo)的豎坐標(biāo)值和繩長(zhǎng)計(jì)算表示：

表2 量子遺傳算法與蒙特卡洛法求解點(diǎn)25、31、65、81坐標(biāo)及誤差

4 結(jié)論

針對(duì)空間魔法波形木棍網(wǎng)絡(luò)形成的動(dòng)態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)求解及誤差分析，以最大精度為優(yōu)化目標(biāo)，提出一種基于量子遺傳算法的坐標(biāo)誤差優(yōu)化計(jì)算方法，并得到如下結(jié)論：

量子遺傳算法相比于傳統(tǒng)的遺傳算法搜索時(shí)間短，交叉變異操作相對(duì)穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)，將量子的態(tài)矢量表達(dá)引入遺傳編碼，利用量子邏輯門來實(shí)現(xiàn)染色體的演化，取得了比傳統(tǒng)遺傳算法更好的效果，彌補(bǔ)了因個(gè)別數(shù)值的選取而引起的算法不收斂這一不足，增加了算法的魯棒性；以空間魔法動(dòng)態(tài)網(wǎng)格坐標(biāo)誤差最小為優(yōu)化目標(biāo)，以另外兩種算法求得的坐標(biāo)和繩長(zhǎng)進(jìn)行誤差對(duì)比，結(jié)果顯示，3種算法的平均誤差分別為0.0155%、0.0425%、0.0613%，利用量子遺傳算法計(jì)算的坐標(biāo)比傳統(tǒng)遺傳算法和蒙特卡洛法的平均誤差分別降低了0.0270%和0.0458%，提高了坐標(biāo)求解的精度。

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Analysis of dynamic grid coordinate error of spatial magic waveform device based on quantum genetic algorithm optimization

ZHANG Ling-han，LU Si-liang

(School of Electrical Engineering and Automation, Anhui University, Hefei 230601, China)

In this paper, the optimal calculation of dynamic grid coordinate error for a kind of spatial magic waveform device based on quantum genetic algorithm (QGA) is studied. The space magic waveform is a dynamic network of equal-length wooden sticks stitched together at the 3D and driven by ropes for popular science demonstrations. The calculation of the coordinates of each node of the stick network is very important for the design and assembly of the whole device. The QGA optimization algorithm integrates the concepts of quantum computation (quantum states, quantum gates, properties of quantum states, probability amplitudes, etc.) into the traditional genetic algorithm. The superposition of quantum information leads to a fact that each qubit expression gene has the same possibility, and then the gene variation can be completed through the rotation of the qubit. In each completion of the mutation, the variated gene judges whether the fitness meets the conditions. The solution is updated continuously to satisfy the condition, and the final optimal solution is obtained by iterative calculation. Experimental results indicate that average error of the proposed QGA method decreases by 0.0270% and 0.0458% as compared with that of the traditional genetic algorithm and Monte Carlo method, respectively. The proposed algorithm shows great potentials in the optimization calculation in the fields of mechanical design, manufacturing process, and measurement.

quantum genetic algorithm；space magic waveform；cam mechanism；coordinate error optimal computation；fitness function

TH13

A

1007-984X(2023)03-0006-08

2022-11-23

國(guó)家自然科學(xué)基金（52075002）

張凌寒（1999-），男，山東煙臺(tái)人，本科，主要從事機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)研究，Z21301152@stu.ahu.edu.cn。

陸思良（1987-），男，廣西欽州人，博士，副教授，主要從事工業(yè)自動(dòng)化研究，silianglu@ahu.edu.cn。