雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)分析

韓 博 高 超 韓媛媛 許允斗 姚建濤 趙永生

(1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 秦皇島 066004; 2.衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 衡水 053000)

0 引言

遙感衛(wèi)星技術(shù)以及遙感地面應(yīng)用技術(shù)已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)監(jiān)測(cè),包括作物面積與空間分布、生長(zhǎng)情況、病蟲(chóng)害、產(chǎn)量預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)等[1]。空間可展開(kāi)天線(xiàn)作為遙感衛(wèi)星的一部分,是一種為了更好地滿(mǎn)足航天器結(jié)構(gòu)大型化發(fā)展趨勢(shì)而產(chǎn)生的具有折疊與展開(kāi)功能的新型航天裝備[2-3]。其在發(fā)射過(guò)程中處于折疊收攏狀態(tài),進(jìn)入軌道后按控制指令逐漸展開(kāi)并鎖定,具有支撐定位、收集能量、傳遞信號(hào)等作用[4-6]。環(huán)形可展開(kāi)天線(xiàn)具有收攏率高、質(zhì)量輕、展開(kāi)面積大等特點(diǎn),是可展開(kāi)天線(xiàn)中應(yīng)用較多的一種結(jié)構(gòu)形式[7-8]。

環(huán)形可展開(kāi)天線(xiàn)整體呈環(huán)形,由若干個(gè)相同的并聯(lián)機(jī)構(gòu)單元組成,單元與單元之間通過(guò)運(yùn)動(dòng)副連接,其中雙環(huán)可展開(kāi)天線(xiàn)相較于單環(huán)可展開(kāi)天線(xiàn)結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜,展開(kāi)過(guò)程中涉及到復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[9]。

由于受到實(shí)驗(yàn)條件等因素的限制,對(duì)環(huán)形可展開(kāi)天線(xiàn)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模與仿真,是了解和改善其運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)特性最為有效的手段[10]。為此相關(guān)學(xué)者做了大量研究,文獻(xiàn)[11]成功研制了口徑為6 m的雙環(huán)環(huán)形可展開(kāi)天線(xiàn),并對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了分析;文獻(xiàn)[12]利用閉環(huán)矢量法建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,基于拉格朗日乘子法建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,并驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)建模的正確性;文獻(xiàn)[13-17]對(duì)環(huán)形可展開(kāi)天線(xiàn)進(jìn)行了深入的研究,并基于廣義逆矩陣方法分析了雙環(huán)可展開(kāi)天線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,驗(yàn)證了有限元法分析環(huán)形可展開(kāi)天線(xiàn)動(dòng)力學(xué)的正確性;文獻(xiàn)[18]提出一種四自由度高速并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu),并基于虛功原理建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程,通過(guò)模型仿真結(jié)果驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性;文獻(xiàn)[19]對(duì)大型環(huán)形可展開(kāi)天線(xiàn)展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,并提出了一種星載環(huán)形天線(xiàn)重力補(bǔ)償方法;文獻(xiàn)[20]對(duì)Tripod并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與分析,通過(guò)ADAMS和Matlab仿真軟件對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行了驗(yàn)證,通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性;文獻(xiàn)[21-22]對(duì)環(huán)形可展開(kāi)天線(xiàn)展開(kāi)后的結(jié)構(gòu)應(yīng)力進(jìn)行了分析,利用有限元軟件驗(yàn)證了分析的正確性;文獻(xiàn)[23]針對(duì)一種四自由度混聯(lián)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了靜力學(xué)及運(yùn)動(dòng)特性仿真與設(shè)計(jì);文獻(xiàn)[24]利用坐標(biāo)變換法構(gòu)建了仿生移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,利用幾何建模和數(shù)值求解方法進(jìn)行驗(yàn)證與分析證明,上述研究雖然對(duì)可展開(kāi)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了建模與分析,然而使用的建模方法卻各不相同,并沒(méi)有一種程式化的適用于多桿可展開(kāi)天線(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)建模與分析的方法。目前空間可展開(kāi)天線(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)建模方法有相對(duì)坐標(biāo)法、矢量力學(xué)法、自然坐標(biāo)法、螺旋理論、拉格朗日法和牛頓-歐拉法等。其中文獻(xiàn)[25-26]基于螺旋理論和牛頓-歐拉法分析了雙層環(huán)形桁架可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)特性,通過(guò)理論計(jì)算與模擬仿真驗(yàn)證了理論模型的正確性,為分析雙環(huán)可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)提供了新方法,具有重要的意義。

本文提出一種雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu),首先對(duì)其構(gòu)型特征進(jìn)行分析以及整體機(jī)構(gòu)進(jìn)行單元分解,然后基于螺旋理論分析雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的速度與加速度,通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求導(dǎo)法得到其速度雅可比矩陣,并基于拉格朗日方程建立雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)方程,最后通過(guò)數(shù)值計(jì)算與模擬仿真來(lái)驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性,并對(duì)雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析。

1 雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)構(gòu)型分析

圖1為雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu),主要由內(nèi)層環(huán)形桁架和外層環(huán)形桁架組成,內(nèi)層環(huán)形桁架與外層環(huán)形桁架之間通過(guò)剪刀式單元連接,雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)為雙層環(huán)形機(jī)構(gòu),內(nèi)層環(huán)形桁架和外層環(huán)形桁架同心設(shè)置,機(jī)構(gòu)中各個(gè)構(gòu)件之間均通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。

圖1 雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)

通過(guò)對(duì)雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析,可以將其分解為若干個(gè)結(jié)構(gòu)相同的單元機(jī)構(gòu),如圖2所示,相鄰單元機(jī)構(gòu)之間共用2個(gè)外環(huán)節(jié)點(diǎn)、2個(gè)內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)和1組剪刀式單元。

圖2 雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)分解

對(duì)單元機(jī)構(gòu)進(jìn)行分解,可再分為如圖3～5所示的不同類(lèi)型剪刀式單元與構(gòu)件。

圖3 2種不同的連接桿單元

圖3為2種不同的連接桿單元,內(nèi)連接桿單元由2根內(nèi)連接桿通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接組成,每根內(nèi)連接桿長(zhǎng)度為l1,外連接桿單元由2根長(zhǎng)度相等的外連接桿組成,每根外連接桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1,2根外連接桿之間通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。由圖3可知,可將內(nèi)連接桿單元與外連接桿單元看作是3R平面機(jī)構(gòu)(R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副),內(nèi)外連接桿單元將可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)中相鄰的2個(gè)節(jié)點(diǎn)連接起來(lái),增加了雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的剛度,可以提高展開(kāi)過(guò)程中的穩(wěn)定性。

圖4為3種不同類(lèi)型的剪刀式單元,對(duì)于3種剪刀式單元可以看作是5R平面機(jī)構(gòu)。內(nèi)剪刀式單元位于內(nèi)層環(huán)形桁架上,由2個(gè)內(nèi)長(zhǎng)桿通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接組成,每根內(nèi)長(zhǎng)桿的長(zhǎng)度均為l,內(nèi)剪刀式單元通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副與內(nèi)層節(jié)點(diǎn)連接。剪刀式單元位于內(nèi)層環(huán)形桁架與外層環(huán)形桁架之間,將內(nèi)層環(huán)桁架與外層環(huán)桁架連接起來(lái),一個(gè)剪刀式單元由2個(gè)中間桿組成,2個(gè)中間桿之間通過(guò)中心轉(zhuǎn)動(dòng)副連接,2根中間桿的長(zhǎng)度為(l+L)/2。外剪刀式單元由2個(gè)外長(zhǎng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)副連接組成,外長(zhǎng)桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng),外剪刀式單元位于外層環(huán)形桁架上通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副與外節(jié)點(diǎn)連接,5R平面機(jī)構(gòu)與3R平面機(jī)構(gòu)在單元展開(kāi)平面內(nèi)提供相同的約束,內(nèi)外節(jié)點(diǎn)受到重復(fù)約束限制了其自身的運(yùn)動(dòng),因此組合后的單元機(jī)構(gòu)為過(guò)約束機(jī)構(gòu),拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。過(guò)約束機(jī)構(gòu)的存在不會(huì)影響可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)的展開(kāi)特性,但卻提高了可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的穩(wěn)定性和可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)的剛度,因此有必要探究其運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)特性。

圖4 3種不同的剪刀式單元

圖5為內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)示意圖,圖5內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)上的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)與內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)中心點(diǎn)之間的距離為b,內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)到內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)最外側(cè)距離為b1,內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)作為一個(gè)連接節(jié)點(diǎn)將2個(gè)內(nèi)連接桿單元連接起來(lái)同時(shí)與內(nèi)剪刀式單元相連接,是組成雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的重要構(gòu)件。

圖5 內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)俯視圖

圖6為組成單元機(jī)構(gòu)的外環(huán)節(jié)點(diǎn)示意圖,圖6中的外環(huán)節(jié)點(diǎn)中共有2個(gè)參數(shù),n為外環(huán)節(jié)點(diǎn)中心點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)的距離,n1為轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)到外環(huán)節(jié)點(diǎn)最外側(cè)的距離,外環(huán)節(jié)點(diǎn)將2個(gè)外連接桿單元連接起來(lái),同時(shí)與外剪刀式單元通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。

圖6 外環(huán)節(jié)點(diǎn)俯視圖

由文獻(xiàn)[27]可知,圖3～6中所示構(gòu)件的尺寸參數(shù)均滿(mǎn)足

(1)

式中N——可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)中單元機(jī)構(gòu)的數(shù)目

由式(1)可知,隨著組成雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的單元機(jī)構(gòu)數(shù)目的增加,內(nèi)層構(gòu)件與外層構(gòu)件的尺寸參數(shù)比例逐漸增大,但比例不會(huì)超過(guò)1,即內(nèi)層環(huán)形桁架的尺寸不會(huì)超過(guò)外層環(huán)形桁架的尺寸。

2 雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)速度分析

2.1 單元機(jī)構(gòu)中構(gòu)件速度分析

由第1節(jié)分析可知雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)由若干個(gè)結(jié)構(gòu)相同的單元機(jī)構(gòu)組成,為了便于對(duì)單元機(jī)構(gòu)進(jìn)行速度分析,將其劃分為一個(gè)封閉單元機(jī)構(gòu)和一個(gè)開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu),圖7為單元機(jī)構(gòu)分解圖,在封閉單元機(jī)構(gòu)的外環(huán)節(jié)點(diǎn)外接圓圓心處建立空間笛卡爾坐標(biāo)系,坐標(biāo)系X軸與節(jié)點(diǎn)A中心點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)B中心點(diǎn)連線(xiàn)重合,Z軸與節(jié)點(diǎn)A中心點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)D中心點(diǎn)連線(xiàn)重合,Y軸的方向由右手法則確定,為了便于建立封閉單元機(jī)構(gòu)和開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu)的螺旋約束圖,對(duì)單元機(jī)構(gòu)中各個(gè)構(gòu)件用字母進(jìn)行表示。

圖7 單元機(jī)構(gòu)分解圖

封閉單元機(jī)構(gòu)螺旋約束圖如圖8所示,圖中AC表示連接構(gòu)件A與C之間的外長(zhǎng)桿,AB1和AB2表示連接構(gòu)件A與B之間的2個(gè)外連接桿,$i則表示連接2個(gè)構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)副,利用帶箭頭的直線(xiàn)來(lái)表示運(yùn)動(dòng)副,其中箭頭方向用于確定動(dòng)構(gòu)件與定構(gòu)件。

圖8 封閉單元機(jī)構(gòu)螺旋約束圖

根據(jù)圖8封閉單元機(jī)構(gòu)的螺旋約束圖可得封閉單元機(jī)構(gòu)的約束方程組為

(2)

式中O——6×1維零矢量

ωi——轉(zhuǎn)動(dòng)副i角速度

開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu)的螺旋約束圖如圖9所示。

圖9 開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu)螺旋約束圖

根據(jù)圖9建立開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu)約束方程,可以得到開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu)的螺旋約束方程組為

(3)

聯(lián)立式(2)、(3),可得單元機(jī)構(gòu)的螺旋約束方程組為

(4)

由文獻(xiàn)[27]可知,整個(gè)雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)以及組成雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的若干個(gè)單元機(jī)構(gòu)均為單自由度機(jī)構(gòu),因此只需要給定一個(gè)輸入就可以使展開(kāi)機(jī)構(gòu)具有確定的運(yùn)動(dòng),當(dāng)在單元機(jī)構(gòu)中指定位置添加一個(gè)驅(qū)動(dòng)時(shí),例如ω1,通過(guò)單元機(jī)構(gòu)的約束方程組可以求解出各個(gè)構(gòu)件的角速度,進(jìn)而由單元機(jī)構(gòu)中封閉單元機(jī)構(gòu)與開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu)之間的關(guān)系通過(guò)螺旋運(yùn)算可計(jì)算出單元機(jī)構(gòu)中各個(gè)構(gòu)件的螺旋速度。

在圖8所示的封閉單元機(jī)構(gòu)的螺旋約束圖中組成閉環(huán)Ⅰ的各個(gè)構(gòu)件速度為

(5)

式中VA、VAC、VAE、VDF、VD、VBD——構(gòu)件A、AC、AE、DF、D、BD螺旋速度

在圖8所示的螺旋約束圖閉環(huán)Ⅱ中,構(gòu)件BD、AC的螺旋速度已經(jīng)通過(guò)式(5)求出,因此閉環(huán)Ⅱ中其它構(gòu)件的螺旋速度可以根據(jù)已求得構(gòu)件的螺旋速度計(jì)算得到,閉環(huán)Ⅱ中其他構(gòu)件的螺旋速度為

(6)

式中VAB1、VAB2——構(gòu)件AB1和AB2的螺旋速度

同理根據(jù)閉環(huán)Ⅰ、Ⅱ求解過(guò)程可以依次求出圖8中閉環(huán)Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ中各個(gè)構(gòu)件的螺旋速度,再根據(jù)封閉單元機(jī)構(gòu)與開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu)之間的幾何關(guān)系便可求解出開(kāi)環(huán)單元機(jī)構(gòu)中閉環(huán)Ⅰ～Ⅴ中各個(gè)構(gòu)件的螺旋速度。

根據(jù)速度螺旋的物理意義可知,構(gòu)件i角速度為

ωi=φ(Vi)

(7)

式中φ(·)——提取速度螺旋前3項(xiàng)

速度螺旋中包含構(gòu)件角速度和線(xiàn)速度,其中前3項(xiàng)為構(gòu)件角速度,后3項(xiàng)為構(gòu)件上與原點(diǎn)重合點(diǎn)的線(xiàn)速度,則構(gòu)件i質(zhì)心處線(xiàn)速度為

vi=Φ(Vi)+iri

(8)

式中Φ(·)——提取速度螺旋后3項(xiàng)

ri——坐標(biāo)原點(diǎn)到構(gòu)件質(zhì)心的位移矢量

2.2 相鄰單元機(jī)構(gòu)中構(gòu)件速度分析

雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)呈環(huán)形,由若干個(gè)相同的單元機(jī)構(gòu)組成,單元機(jī)構(gòu)之間通過(guò)共用內(nèi)外節(jié)點(diǎn)相互連接,由2.1節(jié)分析可知,若各個(gè)單元機(jī)構(gòu)在相同的位置建立單元坐標(biāo)系,則各個(gè)單元相同位置處的構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特性必然相同。

圖10 2個(gè)單元機(jī)構(gòu)及其坐標(biāo)系

(9)

同理對(duì)于由N個(gè)單元機(jī)構(gòu)組成的雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析,如圖11所示任選其中一個(gè)單元機(jī)構(gòu)建立全局坐標(biāo)系,在其他剩余的N-1個(gè)單元機(jī)構(gòu)相同位置處建立單元坐標(biāo)系,由分析可知,假設(shè)相鄰2個(gè)單元之間坐標(biāo)系X軸之間的夾角為α,則α=360°/N,即α為旋轉(zhuǎn)角,N個(gè)單元機(jī)構(gòu)組成的雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)中由第j坐標(biāo)系向第j+1坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換只需繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α即可,旋轉(zhuǎn)變換矩陣由α組成。

圖11 雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)及其坐標(biāo)系

則在全局坐標(biāo)系中各個(gè)構(gòu)件速度為

(10)

其中

(11)

式中j——單元坐標(biāo)系序號(hào)

i——第j個(gè)單元坐標(biāo)系中構(gòu)件序號(hào)

2.3 雅可比矩陣求解

由2.2節(jié)分析可知雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)由多種構(gòu)件組成,則任意構(gòu)件i的空間位姿表達(dá)式為

(12)

式中pi——構(gòu)件i空間位姿

βi——構(gòu)件i姿態(tài)角

對(duì)式(12)求導(dǎo)可得

(13)

式中Ji(φ)——構(gòu)件i速度雅可比矩陣

φ——驅(qū)動(dòng)角函數(shù),即驅(qū)動(dòng)輸入

3 雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)加速度分析

根據(jù)螺旋理論可得螺旋加速度表達(dá)式為

(14)

式中Ai——構(gòu)件i上單元坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的六維加速度

εi——構(gòu)件i上單元坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的角加速度

ai——構(gòu)件i質(zhì)心處線(xiàn)加速度,由螺旋加速度表達(dá)式分析可知其后3項(xiàng)去除了構(gòu)件i的向心加速度

多剛體系統(tǒng)螺旋加速度合成法則為

(15)

式中 Lie[]——李括號(hào)運(yùn)算

如圖8在封閉單元機(jī)構(gòu)約束圖中閉環(huán)Ⅰ可得

(16)

其中

(17)

式中εi——轉(zhuǎn)動(dòng)副i角加速度

由式(16)可得

(18)

同理在圖8中的閉環(huán)Ⅱ～Ⅴ以及圖9中的閉環(huán)Ⅰ～Ⅴ也可以得到螺旋加速度方程,在已知輸入角加速度ε1的情況下,通過(guò)求解式(18)及其他螺旋加速度方程,便可以求解出單元機(jī)構(gòu)中構(gòu)件i的螺旋加速度。

在求解出構(gòu)件i的螺旋加速度之后,提取其前3項(xiàng),便可以得到構(gòu)件i的角加速度為

εi=ξ(Ai)

(19)

式中ξ(·)——提取螺旋加速度的前3項(xiàng)

在求解出構(gòu)件i的角加速度之后,根據(jù)螺旋加速度的物理意義,可以得到構(gòu)件i質(zhì)心線(xiàn)加速度為

ai=ζ(Ai)+ivi+iri+i(iri)

(20)

式中ζ(·)——提取螺旋加速度后3項(xiàng)

與之前速度求解過(guò)程一樣各個(gè)單元機(jī)構(gòu)中位置相同的構(gòu)件在單元坐標(biāo)系下加速度相同,則單元機(jī)構(gòu)中構(gòu)件i的加速度在全局坐標(biāo)系j中的表達(dá)式為

(21)

至此,得到了雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)中各個(gè)構(gòu)件在全局坐標(biāo)系下角速度、角加速度的表達(dá)式。

4 動(dòng)力學(xué)分析與模擬仿真

4.1 動(dòng)力學(xué)建模

采用拉格朗日法建立可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程?？烧归_(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)為單自由度機(jī)構(gòu),設(shè)外連接桿與外環(huán)節(jié)點(diǎn)之間的夾角為φ,選取輸入角φ作為廣義坐標(biāo)。則可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為

(22)

式中ET、EU、Q——?jiǎng)幽?、?shì)能以及廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義驅(qū)動(dòng)力

由第2節(jié)雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)速度分析可知,外環(huán)節(jié)點(diǎn)A在全局坐標(biāo)系中固定,其他內(nèi)外節(jié)點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中做平移運(yùn)動(dòng),剩余構(gòu)件在全局坐標(biāo)系中做平面運(yùn)動(dòng),可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)中做平移運(yùn)動(dòng)的內(nèi)外環(huán)節(jié)點(diǎn)總動(dòng)能表達(dá)式為

(23)

式中mi——構(gòu)件i的質(zhì)量

做平面運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件總動(dòng)能的表達(dá)式為

(24)

式中Ji——構(gòu)件i繞過(guò)質(zhì)心軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

則可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)總動(dòng)能為

ET=T1+T2

(25)

宇航空間環(huán)境為微重力環(huán)境,這里暫不考慮重力作用,因此可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)的勢(shì)能EU=0,將驅(qū)動(dòng)角函數(shù)代入式(22),即可求出廣義坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的廣義驅(qū)動(dòng)力。

4.2 模擬仿真與理論計(jì)算驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性,通過(guò)仿真軟件ADAMS和計(jì)算軟件Matlab進(jìn)行模擬仿真與數(shù)值計(jì)算,仿真模型中各構(gòu)件參數(shù)如表1所示。如圖12所示,在選定位置處添加一個(gè)驅(qū)動(dòng)進(jìn)行模擬仿真。雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的展開(kāi)過(guò)程如圖12～14所示。

表1 各個(gè)構(gòu)件物理參數(shù)

圖12 完全收攏狀態(tài)

圖12為可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)完全收攏時(shí)的狀態(tài),此時(shí)可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)中相鄰2個(gè)內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)之間和相鄰2個(gè)外環(huán)節(jié)點(diǎn)之間完全靠攏,可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)的體積最小,隨著可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)逐漸展開(kāi),相鄰內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)和相鄰?fù)猸h(huán)節(jié)點(diǎn)之間的距離不斷增大。圖13為可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)半展開(kāi)狀態(tài),此時(shí)機(jī)構(gòu)中相鄰2個(gè)內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)之間和相鄰2個(gè)外環(huán)節(jié)點(diǎn)之間的距離逐漸加大。圖14為可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)完全展開(kāi)狀態(tài),體積達(dá)到最大,可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)中通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副相連接的2個(gè)內(nèi)連接桿之間的夾角為180°,可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)處于奇異位形狀態(tài)。

圖13 半展開(kāi)狀態(tài)

圖14 完全展開(kāi)狀態(tài)

選取單元坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系重合的單元機(jī)構(gòu)中的內(nèi)長(zhǎng)桿、外連接桿、中間桿、內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)為目標(biāo)構(gòu)件,4種構(gòu)件沿X軸方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性曲線(xiàn)的仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果如圖15～19所示。

圖15 各構(gòu)件線(xiàn)速度

圖16 各構(gòu)件線(xiàn)加速度

由圖15～19可知,模擬仿真結(jié)果曲線(xiàn)與理論推導(dǎo)結(jié)果曲線(xiàn)基本一致,表明了之前理論推導(dǎo)的正確性,基于螺旋理論和拉格朗日法相結(jié)合的動(dòng)力學(xué)建模方法可較好地應(yīng)用于此類(lèi)空間可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)的分析中。由圖15可知,4種構(gòu)件沿X軸方向的速度均是先增加后減少,由圖17、18可知,內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)和外連接桿角速度、角加速度均為0,表明內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)僅做直線(xiàn)移動(dòng)不存在轉(zhuǎn)動(dòng),外連接桿做繞Y軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)間接近3.5 s時(shí)理論計(jì)算失效,說(shuō)明此時(shí)雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)處于完全展開(kāi)狀態(tài)并且處于奇異位形狀態(tài),理論分析與仿真結(jié)果相一致。由圖15～18可知,各個(gè)構(gòu)件角速度、角加速度、線(xiàn)速度以及線(xiàn)加速度曲線(xiàn)光滑,表明雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程動(dòng)作平穩(wěn),不存在沖擊與振動(dòng)。

圖17 各構(gòu)件角速度

圖18 各構(gòu)件角加速度

圖19 驅(qū)動(dòng)力矩

5 結(jié)論

(1)基于螺旋理論和拉格朗日法相結(jié)合的方法建立了雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析研究,并通過(guò)理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。

(2)研究的雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)為單自由度機(jī)構(gòu),整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,僅需一個(gè)驅(qū)動(dòng)便可展開(kāi)。通過(guò)理論計(jì)算與模擬仿真分析,結(jié)果表明雙環(huán)多桿天線(xiàn)展開(kāi)機(jī)構(gòu)整體展開(kāi)過(guò)程平穩(wěn),可作為星載大口徑可展開(kāi)天線(xiàn)機(jī)構(gòu)的支撐機(jī)構(gòu)。