數(shù)形結(jié)合思想下中高年級數(shù)學(xué)圖形題解題技巧探究

□甘肅省酒泉市南苑小學(xué) 陳懷興

在小學(xué)階段的教育教學(xué)中，涉及了較多知識模塊，也存在著各種數(shù)學(xué)思維方式，其中數(shù)形結(jié)合是重點方式之一，同時又是經(jīng)常應(yīng)用的思維方式。其強調(diào)將數(shù)和圖形互融合，憑借“以數(shù)助形、以形助數(shù)”的方式來簡化一些抽象的圖形問題，應(yīng)用更加形象的方法幫助孩子們突破難點。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重融入數(shù)形結(jié)合思想，持續(xù)加深孩子們對知識的理解，由此降低學(xué)習(xí)難度，提高解決實際問題的能力?；诖?，本文分析了在教學(xué)過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的意義，并且提出了行之有效的具體措施，希望能夠提升學(xué)生的解題技巧，促進其全面發(fā)展。

何謂數(shù)形結(jié)合，主要指將抽象數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗蟮膸缀螆D形，由此更方便地處理圖形問題。數(shù)形結(jié)合有著多個類型，對于以形助數(shù)，一般指利用圖形的直觀來描述“數(shù)”的抽象；對于以數(shù)解形，一般指利用數(shù)的精確來描述圖形性質(zhì)；對于數(shù)形互依，一般指利用數(shù)形等量轉(zhuǎn)換來處理圖形問題。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，圖形定義通常包括圖形的數(shù)量關(guān)系，所以，當認識數(shù)學(xué)圖形時，可借助數(shù)形結(jié)合在孩子們的大腦中搭建圖形和數(shù)量關(guān)系的橋梁，基于數(shù)形結(jié)合既能把抽象、復(fù)雜的圖形問題簡單化，又能拓寬孩子們的思維視野，使其思維更清晰，更易形成數(shù)學(xué)思維，把握數(shù)形對應(yīng)關(guān)系，進而提升孩子們的學(xué)科綜合素養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合概念

小學(xué)階段是打好基礎(chǔ)的核心時期，也是形成學(xué)習(xí)習(xí)慣的關(guān)鍵時期。教師在小學(xué)階段要重視孩子們的身心健康全面發(fā)展。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)一般是生活數(shù)學(xué)，與孩子們的實際生活有著很大的聯(lián)系。在教學(xué)過程中數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式被大多數(shù)教師靈活應(yīng)用。數(shù)與形是圖形教學(xué)中研究的重要對象，在適當條件下可以彼此轉(zhuǎn)化，二者是彼此聯(lián)系的，這樣的關(guān)系即是數(shù)形結(jié)合。數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)形結(jié)合知識較多，比如：看圖列式計算、圖形應(yīng)用題等。所以，數(shù)形結(jié)合思想貫穿了孩子們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全過程，數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的重要性

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對于運用數(shù)形結(jié)合的重要性，本文主要從以下方面進行分析。

（一）提高思考問題能力。解題首先要讓孩子們理順數(shù)量關(guān)系，在把握題目邏輯的基礎(chǔ)上，再借助圖形展開解答，由此引導(dǎo)孩子們將基礎(chǔ)知識拓展到深層知識中。加深孩子們對知識內(nèi)容體系的理解。這樣不僅能夠為學(xué)生提供鍛煉思考能力的機會，也有助于孩子們進一步理解題目的邏輯關(guān)系，同時，還能夠提升孩子們解答圖形題的能力。

（二）使圖形問題簡單化。當給孩子們講授圖形問題時，可有效運用數(shù)形融合的方式，這樣有助于孩子們更好地理解題目。與此同時，還有利于增強其解答圖形題的能力。教學(xué)時融入數(shù)形結(jié)合的方式，能夠幫助孩子們更形象地感受此方法為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來的便利，激發(fā)掌握應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來解答圖形題的興趣。

（三）提升思維靈敏度。在孩子們掌握數(shù)形結(jié)合的前提下，還應(yīng)引導(dǎo)孩子對題目展開聯(lián)想，這樣在圖形題解答過程中能更好地運用數(shù)形融合的方式。實際上，這一環(huán)節(jié)對孩子們的思維靈敏度有著較為嚴格的要求。孩子們通過運用數(shù)形結(jié)合的方式，能進一步掌握題目所包含的邏輯關(guān)系，也有利于提高他們的思維靈敏度。

（四）能夠帶動解答圖形題的熱情。與以往的解答模式相比，數(shù)形結(jié)合可以進一步帶動孩子們解答圖形題的積極性，由于在教學(xué)過程中孩子們的解題技巧和數(shù)學(xué)思維還需要加以鍛煉，因此難免會存在抽象、復(fù)雜的圖形題。教學(xué)期間有效融入圖形結(jié)合方式，除了能夠健全孩子們的解答模式，也能讓其在學(xué)習(xí)知識時將這一方法靈活應(yīng)用起來。

三、數(shù)形結(jié)合思想下中高年級數(shù)學(xué)圖形題解題技巧探究

（一）使用“以數(shù)解形”的方法，建立完整的知識體系

孩子們的認知水平、理解水平還處在發(fā)展環(huán)節(jié)，相比成人而言較差，學(xué)習(xí)抽象知識時缺少一定的自主意識；分析圖形題時需要在教師的引導(dǎo)下方才掌握新的知識。但若在教學(xué)過程中教師直接講解，把圖形題的解答方法和計算過程直接說出來，孩子們的邏輯思維能力就有了約束性。孩子們僅是跟著老師的思路分析問題，難以充分理解怎樣應(yīng)用已掌握的知識解答圖形題，并且孩子們也難以轉(zhuǎn)換思維，對學(xué)習(xí)效果和學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)非常不利。而數(shù)形融合使抽象問題直觀化，有利于引導(dǎo)孩子們轉(zhuǎn)換思維。所以，在教學(xué)中教師要重視根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，有效應(yīng)用數(shù)形融合方法開展教學(xué)，把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化成圖形來講解，或采取以數(shù)解形的方法引導(dǎo)孩子們梳理知識，建立知識結(jié)構(gòu)，讓其更好掌握圖形之中的數(shù)量關(guān)系，把二者關(guān)系結(jié)合起來，建立健全的知識體系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常會使用以數(shù)解形的方式。比如，當學(xué)習(xí)長方形與正方形時，若僅告訴孩子們4 條邊，4 角相等的數(shù)量關(guān)系，無法在孩子們大腦中產(chǎn)生相應(yīng)圖形，圖形特點也將難以和數(shù)量關(guān)系相融合，此時就應(yīng)該用“形”來直觀展現(xiàn)。在教學(xué)時，可以先要求孩子們“找一找、講一講，分辨這兩種圖形和其他圖形的區(qū)別是邊數(shù)的多少”。再要求孩子們對邊與角展開測量，獲得二者的數(shù)量關(guān)系。同時，通過對比得出邊與角的差異和共同之處。由此可見，將數(shù)形融合起來，讓孩子們在觀察、對比的基礎(chǔ)上把二者的數(shù)量關(guān)系和圖形進行充分融合，鍛煉了他們的圖形思維能力。接著利用格子圖，畫出長方形與正方形，在動手實踐過程中，再次體驗數(shù)形結(jié)合過程，使孩子們充分感受到圖形及其數(shù)量二者是相輔相成的。通過剪一剪的方法，利用一張長方形紙，要求孩子們剪出正方形，使其認識數(shù)量關(guān)系的改變造成圖形的改變。在區(qū)分數(shù)量關(guān)系差異的同時，也使孩子們明白數(shù)量關(guān)系的改變與否能直接決定圖形的改變。因此在教學(xué)中，相應(yīng)地選取所學(xué)圖形和數(shù)量關(guān)系相互融合的數(shù)形結(jié)合方法展開講解，會使得圖形題目簡單化，抽象知識形象化，由此達到孩子們認識圖形的目標。

（二）用參數(shù)構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，用數(shù)據(jù)作為參考分析圖形問題

圖形和數(shù)量的關(guān)系，除了表現(xiàn)于圖形定義、邊角間的關(guān)系，也體現(xiàn)于公式、計算法則中。例如：對于三角形，它的面積＝底邊×高÷2，把面積通過邊的數(shù)量關(guān)系展現(xiàn)出來，有力彰顯了“以數(shù)解形”的方法。把圖形問題代數(shù)化，可以幫助孩子們建立知識體系。當運用該方法分析、處理圖形題時，要重視引導(dǎo)孩子們有效理解運算法則，除了要講解運算方式，也要使孩子們了解數(shù)量關(guān)系和公式使用方法。同時，教師在應(yīng)用“以數(shù)解形”的方法進行教學(xué)時，要重視科學(xué)利用參數(shù)構(gòu)建對等數(shù)量關(guān)系，將數(shù)據(jù)當作參考分析圖形題，從而達到以數(shù)解形，突破教學(xué)重難點的目的。另外，結(jié)合孩子們的特點用精準的數(shù)學(xué)描述，使他們?nèi)轿焕斫狻靶巍钡奶卣鳎龑?dǎo)孩子們從“數(shù)”的層面揭示“形”的規(guī)律。

再如：針對平行四邊形，在其面積教學(xué)過程中，基于知識點采取“以數(shù)解形”的方式，簡要且精準地描述其面積＝底邊×高。這便彰顯了數(shù)形結(jié)合中面積、底邊、高度間的數(shù)量關(guān)系。孩子們在掌握計算公式之前，應(yīng)該讓其經(jīng)歷有關(guān)的數(shù)學(xué)探究過程。比如：觀察與分析。首先要求孩子們聯(lián)系這兩種圖形之間的面積關(guān)系，圖形有關(guān)數(shù)量的改變造成其他數(shù)量改變。接著讓孩子們數(shù)數(shù)方格，確定四邊形面積也是基于單位面積對圖形面積展開研究的，二者的計算轉(zhuǎn)變成數(shù)量間的運算。最后，讓孩子們拼一拼，通過實際操作讓孩子們把四邊形面積公式轉(zhuǎn)變成長方形面積公式，這樣就實現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換，孩子們結(jié)合實際的操作就能很容易總結(jié)出面積公式。

通過以上操作，使孩子們感受到面積的改變造成的代數(shù)式的改變，數(shù)形二者相輔相成，通過數(shù)量關(guān)系式來展現(xiàn)圖形數(shù)量關(guān)系，彰顯了數(shù)學(xué)中的簡潔性，也使孩子們體會到了數(shù)形結(jié)合思想在圖形學(xué)習(xí)中的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常常會用“以數(shù)解形”的方式，利用“數(shù)”的優(yōu)點，把“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)換，用數(shù)量關(guān)系表達“形”的特征。通過數(shù)形結(jié)合的實踐探究，使孩子們初步構(gòu)建數(shù)形關(guān)系，把抽象與形象思維互相融合，加深孩子們理解圖形與其數(shù)量關(guān)系，提高數(shù)形問題的解題能力。

（三）借助數(shù)形結(jié)合方法，將抽象概念具象化

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容很多源自生活，存在一定的邏輯性、理論性，這也導(dǎo)致數(shù)學(xué)所涵蓋的概念與定理較多。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間，需要孩子們概括概念，而他們的年齡較小，相比于成年人，他們的自主概括能力較低，可能發(fā)生概括不到位的情況，這將不利于其學(xué)習(xí)，甚至還會打擊孩子們的學(xué)習(xí)自信心。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要有效發(fā)揮引導(dǎo)作用，引導(dǎo)孩子們應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，將抽象知識形象化、簡單化，使其能夠?qū)Ω拍钫莆崭樌?。利用?shù)形結(jié)合思想，孩子們能初步掌握概念本質(zhì)，為進一步學(xué)習(xí)概念與定理，提供良好的學(xué)習(xí)思維方法。就學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念而言，核心在于產(chǎn)生深刻印象，一些孩子在學(xué)習(xí)之后，未在第一時間復(fù)習(xí)，就很可能與相似概念混淆，這是因為文字的限制性不及圖像深刻。而基于數(shù)形結(jié)合教學(xué)，孩子們能夠看到文字向圖形過渡，在其大腦中能產(chǎn)生更深刻的印象。

比如，教師在對分數(shù)知識開展教學(xué)時，發(fā)現(xiàn)孩子們在做判斷題與計算題時出錯率較高。經(jīng)過分析，原因在于孩子們對分數(shù)概念認識不足，對其理解還停留于整數(shù)層面。此時在教學(xué)中采取數(shù)形結(jié)合方法，把分數(shù)轉(zhuǎn)換為圖形，使孩子們能夠在圖形組成的構(gòu)建下，進一步認識分數(shù)概念。在實際操作上，先要求所有孩子準備一張白色A4 紙，接著要求他們對折，對折，再對折。之后把紙張打開，就能清楚地看到紙被平均分成八個大小一樣的格子。利用這些格子，讓孩子們畫上自己喜歡的顏色，接著去統(tǒng)計各種顏色的格子依次占到多少個。比如有的孩子畫了五個黃色格子，而紙張上一共包含八個格子，則黃色格子就占到了紙張的5/8。采取這樣的方法，孩子們不再只依靠文字與抽象的概念去理解掌握分數(shù)，而是可以基于圖形的幫助，對照所學(xué)習(xí)的知識，掌握分數(shù)的含義及其作用。

（四）融入數(shù)形結(jié)合思想，提高解題技巧

數(shù)學(xué)自身的特性導(dǎo)致了學(xué)生在學(xué)習(xí)期間會遇到各種問題。就習(xí)慣用思維分析的孩子而言，不易理解抽象的知識點。在教學(xué)中，除了要將基礎(chǔ)知識點教給孩子們，也要引導(dǎo)其掌握有關(guān)的解題技巧，以便孩子們將處理問題的能力應(yīng)用在圖形題上，意識到掌握知識點也是提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。利用數(shù)形結(jié)合的幫助，教師能夠簡化知識與圖形題的難度，使孩子們在把握規(guī)則、思考問題與處理問題中找出解答問題的方式。面對抽象問題，教師要應(yīng)用圖形結(jié)合的思想，提高孩子們解決圖形題的能力。在數(shù)形結(jié)合的幫助下，孩子們對圖形題的看待方式將更為直觀，從各個層面對圖形進行對比分析，提取所需的內(nèi)容，之后在大腦中構(gòu)建直觀圖形，這樣既能提高孩子們的解題速度，同時又能掌握問題走向，使答案更精準。

比如：教師在開展“積的變化規(guī)律”教學(xué)時，可借助長方形面積模型引導(dǎo)孩子們理解積的變化規(guī)律。具體如下，畫出一個長方形，其長寬依次是10 米、8米，之后教師再引導(dǎo)孩子們開展猜想：“孩子們，在長不變的條件下，把寬擴大到原來的2 倍，那么，面積將如何變化？若在長不變的條件下，將寬縮小到原來的二分之一時，面積又將如何變化？”在教師提問結(jié)束后，孩子們可嘗試計算，結(jié)合教師所畫的長方形展開聯(lián)想，同時提出個人的想法。在孩子們計算思考之后，教師可借助多媒體課件向他們進行展示，使其能夠直觀看到：長不變，但寬擴大到原來的2 倍，變?yōu)榱?6 米，圖形也發(fā)生了改變，結(jié)合面積公式計算，面積也擴大到原來的2 倍；當長不變，寬縮小到原來的二分之一時，結(jié)合面積公式計算，面積也縮小到原來的二分之一。孩子們在圖形的變化與比較過程中，進一步認知“積的變化規(guī)律”。

（五）創(chuàng)造情境教學(xué)，增強理解效果

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，運用數(shù)字和圖的融合思想需得到數(shù)形的幫助。在強調(diào)數(shù)圖融合的同時，也要重視“以數(shù)解形”，不能顧此失彼。只有相輔相成，才能更好解題。在具體教學(xué)中，教師應(yīng)該重視情境設(shè)置，建立良好學(xué)習(xí)氛圍，使孩子們?nèi)谌胂鄳?yīng)的情境中，進一步理解并掌握知識。利用情境教學(xué)能夠讓孩子們進一步投入學(xué)習(xí)，更好地掌握知識，同時在教學(xué)時能夠有效體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢。教師可以讓孩子們把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)變成圖形，舉一反三，把圖形變成知識，把所掌握的知識更好應(yīng)用于實踐，增強孩子們的知識應(yīng)用能力，產(chǎn)生良好的思維方式，為今后的學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ)。

比如，當講解“時、分、秒”內(nèi)容時，可讓孩子們從理解時針、分針、秒針的表達的意識著手，要求孩子們整理個人的時間表，確定標題與時鐘時間的聯(lián)系。可列出一些時間，之后要求孩子們開展調(diào)試，以滿足題目的要求。通過實際操作，只要孩子們看到時鐘，就會在大腦中產(chǎn)生清晰圖像，由此更易于處理與時間有關(guān)的圖形題。

為進一步理解有關(guān)圖形的知識點，教師要積極引導(dǎo)孩子們回家之后觀察其他相關(guān)的事物。比如學(xué)習(xí)《長方形面積》時，觀察書桌長寬，推測其大概面積，通過測量，開展驗證等。這樣能夠在孩子們大腦中產(chǎn)生較為深刻的印象，進一步明確數(shù)形存在密切的關(guān)聯(lián)，二者的結(jié)合，能夠推動圖形題的簡單化，提高解題效率。

四、結(jié)語

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師借助數(shù)形結(jié)合的方法可以有效解決圖形問題，培養(yǎng)孩子們的思維轉(zhuǎn)變能力、發(fā)展抽象思維。教師要將數(shù)形結(jié)合方法靈活運用在教學(xué)中，讓學(xué)生深入淺出理解抽象的知識點，同時學(xué)會運用已學(xué)知識解決圖形問題，從而提升教學(xué)效果，推動學(xué)生全面發(fā)展。