農(nóng)機(jī)滑動(dòng)軸承油膜潤(rùn)滑理論及邊界條件的研究*

高宇星 ， 徐武彬 ， 李 冰 ， 趙江南

（1.廣西科技大學(xué)機(jī)械與交通工程學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.廣西土方機(jī)械協(xié)同創(chuàng)新中心，廣西 柳州 545006）

0 引言

滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在大型農(nóng)業(yè)機(jī)械領(lǐng)域中有極為廣泛的應(yīng)用[1-2]。由于滑動(dòng)軸承圓度誤差會(huì)導(dǎo)致軸承的油膜幾何特征發(fā)生變化，從而改變油膜的發(fā)散和收斂邊界，此時(shí)軸承的油膜特性將發(fā)生很大的變化，這對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的工作性能和運(yùn)行特性有很大的影響，因此與滑動(dòng)軸承油膜潤(rùn)滑理論及邊界條件相關(guān)的研究一直是旋轉(zhuǎn)機(jī)械研究領(lǐng)域中重點(diǎn)關(guān)注的問題[3-5]。

從滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析模型的建立到線性和非線性油膜力計(jì)算的研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞滑動(dòng)軸承油膜潤(rùn)滑理論及邊界條件進(jìn)行的研究已經(jīng)取得了一系列進(jìn)展[6-7]。然而，所開展的軸承油膜潤(rùn)滑分析中也存在著多種問題，如誤差信息表達(dá)不足、油膜力求解方法的穩(wěn)定性差以及油膜邊界條件選取不合理等，這些問題對(duì)滑動(dòng)軸承的潤(rùn)滑特性均有影響。

滑動(dòng)軸承油膜潤(rùn)滑理論研究的關(guān)鍵是在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下尋找Reynolds方程及其他控制方程（如能量方程、熱變形方程等）的解。由于滑動(dòng)軸承工作表面的制造誤差與油膜厚度在同一量級(jí)（μm）上，所以軸承工作表面的制造誤差會(huì)導(dǎo)致油膜的幾何特征發(fā)生變化，從而會(huì)改變油膜的發(fā)散邊界和收斂邊界[8]。因此，如何確定符合實(shí)際的Reynolds方程邊界條件將成為滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑理論分析的關(guān)鍵問題。

1 滑動(dòng)軸承油膜潤(rùn)滑理論的發(fā)展和研究現(xiàn)狀

滑動(dòng)軸承油膜潤(rùn)滑理論的核心就是Reynolds方程[9]。該方程是三維Navier-Stokers方程根據(jù)油膜潤(rùn)滑的特性忽略方程中的慣性項(xiàng)得到的[10-12]，但是，由于Reynolds方程并不存在任何封閉形式的解，所以該方程的求解成為該領(lǐng)域新的難點(diǎn)。

1904年，德國(guó)著名的理論物理學(xué)家Arnold Sommerfeld提出了無限長(zhǎng)軸承的假設(shè)，通過對(duì)雷諾方程進(jìn)行解析求解，最終得到了無限長(zhǎng)軸承的油膜壓力分布[13]。1953年，Dubois和Ocvirk[14]在長(zhǎng)軸承假設(shè)的基礎(chǔ)上，提出了一種短軸承假設(shè)，建立了無限短軸承的解析解。長(zhǎng)軸承假設(shè)和短軸承假設(shè)方法的核心是假設(shè)軸承長(zhǎng)徑比無限大或無限小，從而使Reynolds方程實(shí)現(xiàn)降階可積，并最終求出解析解。但是，在工程領(lǐng)域中使用的滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)大多是有限長(zhǎng)軸承，因此有限長(zhǎng)軸承油膜力的計(jì)算也成為這一領(lǐng)域重點(diǎn)研究的問題[15]。在1941年，學(xué)者Christopherson[16]首次提出運(yùn)用FDM的方法對(duì)雷諾方程進(jìn)行求解，并采用Southwell松弛法來進(jìn)行迭代計(jì)算，獲得Reynolds方程的數(shù)值解，他在研究中假定所有負(fù)向的壓力為0，油膜起始端和末端的壓力及壓力梯度也均被設(shè)為0，而這樣的假定實(shí)際上便是Reynolds方程的邊界條件。1949年，Cameron等[17]基于Christopherson所提出的有限差分法求解了有限長(zhǎng)滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的雷諾方程，獲得了滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下的運(yùn)行特性，并證明穩(wěn)態(tài)特性與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。1958年，Raimondi和Boyd[18]通過有限差分法求解得到了軸承油膜壓力的數(shù)值解，并進(jìn)一步通過積分法獲得了滑動(dòng)軸承的軸承力。此后，有限差分法得到了較為廣泛的運(yùn)用，并且還在不斷地完善和發(fā)展?；瑒?dòng)軸承研究的關(guān)鍵是在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下尋找Reynolds方程的解。由于數(shù)值方法相對(duì)于其他方法而言更易于操作、具有更高的精度。因此，近年來Reynolds方程的求解主要采用數(shù)值方法。

隨著軸承潤(rùn)滑理論的發(fā)展，軸承油膜潤(rùn)滑理論的研究對(duì)象越來越復(fù)雜，理論中考慮的實(shí)際因素越來越全面。Elrod等[19]提出了一種考慮空穴效應(yīng)的算法，該算法在JFO的邊界條件下保證了整個(gè)軸承區(qū)域內(nèi)潤(rùn)滑油的質(zhì)量守恒。Kim等[20]提出了一種TEHD計(jì)算模型，該模型考慮了軸承內(nèi)的熱效應(yīng)和彈性變形效應(yīng)對(duì)油膜特性的影響，被影響的因素主要包括潤(rùn)滑油粘度、油膜的熱傳導(dǎo)效應(yīng)及軸承的熱傳導(dǎo)效應(yīng)等。Hashimoto等[21]分別在層流和湍流狀態(tài)下研究了由于磨損造成的軸承的幾何變化對(duì)滑動(dòng)軸承動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特性的影響。在1978年，Lund和Thomsen[22]根據(jù)有限差分法提出了一種考慮油膜破裂邊界的高效算法，能夠?qū)Σ煌Y(jié)構(gòu)的軸承進(jìn)行特性預(yù)測(cè)，如油膜壓力分布及軸承的承載力等。本文提出的Reynolds邊界條件（又稱Swift-Stieber邊界條件）也是目前最為常見的軸承潤(rùn)滑邊界條件。

2 潤(rùn)滑油膜的形成機(jī)理及Reynolds方程

根據(jù)摩擦表面之間油膜形成的原理，得到如圖1所示的滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑油膜形成機(jī)理圖。在滑動(dòng)軸承高速運(yùn)轉(zhuǎn)的過程中，滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在收斂區(qū)內(nèi)可以通過軸承與軸頸之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)而自動(dòng)形成潤(rùn)滑油膜，滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以依靠該油膜進(jìn)行潤(rùn)滑[23]。

圖1 滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑油膜形成機(jī)理圖

Reynolds對(duì)軸承動(dòng)壓油膜的形成機(jī)理進(jìn)行了詳細(xì)分析，并提出油膜潤(rùn)滑理論的核心是Reynolds方程。該方程可以從理論上計(jì)算兩個(gè)相互滑動(dòng)表面之間形成的油膜壓力，并對(duì)軸承的油膜壓力分布進(jìn)行描述。Reynolds方程如公式（1）所示：

方程從左到右的各項(xiàng)分別描述了油膜壓力沿軸承圓周方向（記作X軸方向）的壓力變化、油膜壓力沿軸承軸線方向（記作Z軸方向）的壓力變化、流體的動(dòng)壓效應(yīng)及油膜的擠壓效應(yīng)。

3 求解Reynolds方程的邊界條件

在油膜潤(rùn)滑理論的研究中，油膜形成和破裂的邊界條件的觀點(diǎn)各有不同[24]。目前，工程實(shí)際中經(jīng)常采用的邊界條件有：Sommerfeld邊界條件[25]；半Sommerfeld邊界條件[26]；Swift-Stieber邊界條件[27]等。

3.1 Sommerfeld邊界條件

該邊界條件認(rèn)為油膜在滑動(dòng)軸承軸頸圓周360°上的每個(gè)位置都存在完整的油膜，并且該潤(rùn)滑油膜在收斂楔與發(fā)散楔內(nèi)可以形成相互對(duì)應(yīng)的正、負(fù)壓力區(qū)域，如圖2、圖3所示。

圖2 油膜力分布

圖3 Sommerfeld邊界條件

Sommerfeld邊界條件示意圖如圖3所示，在該邊界條件下油膜壓力沿軸承軸線方向（記作Z軸方向）的壓力變化滿足周期函數(shù)，即p(φ)=f(2π+φ)，Reynolds方程在Sommerfeld邊界條件下的求解區(qū)間如公式（2）所示：

3.2 半Sommerfeld邊界條件

該邊界條件認(rèn)為油膜在滑動(dòng)軸承運(yùn)行工作中只承受油膜正壓區(qū)（0,π）區(qū)間內(nèi)的正壓力，而在負(fù)壓區(qū)（π,2π）區(qū)間內(nèi)不承受任何壓力。因此，該邊界條件下的油膜壓力分布假設(shè)可以認(rèn)為是Sommerfeld邊界條件下油膜壓力p(φ)的簡(jiǎn)化。

如圖4所示，半Sommerfeld邊界條件示意圖中存在正壓區(qū)p(φ)，在求解過程中只計(jì)算油膜收斂楔正壓區(qū)p(φ)內(nèi)的承載力，不考慮負(fù)壓區(qū)內(nèi)油膜壓力的影響，因此Reynolds方程在半Sommerfeld邊界條件下進(jìn)行求解時(shí)，設(shè)定的求解區(qū)間如公式（3）所示：

圖4 半Sommerfeld邊界條件

3.3 Swift-Stieber邊界條件

Swift-Stieber邊界條件認(rèn)為，形成油膜正壓區(qū)的起止點(diǎn)是從最大軸承間隙hmax開始的，而軸承油膜破裂的邊界位置由油膜壓力為0以及切向壓力梯度為0這兩個(gè)條件來決定，具體邊界區(qū)間如公式（4）所示，因此該邊界條件也被稱為自然破裂邊界條件。

Swift-Stieber邊界條件示意圖如圖5所示，認(rèn)為流體潤(rùn)滑壓力的出發(fā)點(diǎn)在最大流體潤(rùn)滑油膜處，而且滿足油膜的流動(dòng)連續(xù)性。

圖5 Swift-Stieber邊界條件

Reynolds方程在Swift-Stieber邊界條件下進(jìn)行求解時(shí)，要求在油膜破裂邊界處的油膜壓力及其梯度值均為0。因此，設(shè)定的求解區(qū)間如公式（4）所示：

Swift-Stieber邊界條件具有較高的精度和較為方便的施加過程，是目前油膜潤(rùn)滑分析中最為常見的邊界條件之一。與上述兩種邊界條件相比，Swift-Stieber邊界條件以油膜區(qū)內(nèi)液體流動(dòng)的連續(xù)性為出發(fā)點(diǎn)，符合壓力和流量的連續(xù)條件。因此，該邊界條件在油膜破裂處使用更加合理，符合潤(rùn)滑軸承的實(shí)際情況。但是Swift-Stieber邊界條件僅適用于理想軸承，且不能保證潤(rùn)滑邊界上潤(rùn)滑油的質(zhì)量守恒。考慮制造誤差的影響后，該條件有可能失效，而且不能解釋油膜再形成的情況，因此不適用于對(duì)誤差軸承的理論分析。

3.4 三種邊界條件的對(duì)比

Sommerfeld邊界條件和半Sommerfeld邊界條件相對(duì)較為簡(jiǎn)單，在理論推導(dǎo)和精度要求不高的情況下使用較多，但是二者僅考慮在正壓區(qū)域內(nèi)的計(jì)算，而將負(fù)壓區(qū)域的壓力值設(shè)定為0，也未考慮空穴區(qū)域壓力或者是外部大氣壓壓力；Swift-Stieber邊界條件在不同的情況下考慮了流體的質(zhì)量守恒，其壓力計(jì)算結(jié)果和實(shí)際情況較為接近，在數(shù)值計(jì)算中使用較多。

在滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)際工作的過程中，由于軸承圓度誤差會(huì)導(dǎo)致軸承的油膜幾何特征發(fā)生變化，從而改變油膜的發(fā)散和收斂邊界，且負(fù)壓區(qū)油膜的破裂會(huì)導(dǎo)致油膜在軸頸的圓周表面上不連續(xù)，與假設(shè)條件相違背，因而傳統(tǒng)的邊界條件如半Sommerfeld邊界條件、Sommerfeld邊界條件均不適用于對(duì)誤差軸承進(jìn)行潤(rùn)滑特性分析。與這兩種傳統(tǒng)邊界條件相比，Swift-Stieber邊界條件要求在油膜破裂邊界處的油膜壓力及其梯度值均為0，這種邊界條件更加符合滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析的實(shí)際情況。

4 Reynolds方程的求解算例

滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是通過改變油膜壓力來運(yùn)行的，作用在軸頸上的非線性油膜力既與軸頸的位置有關(guān)，又與軸頸的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，因此可以通過壓力場(chǎng)的數(shù)值積分得到。

為提高求解精度，在求解油膜壓力P的過程中，首先將油膜壓力的收斂精度設(shè)為1×10-7，并在Swift-Stieber邊界條件下對(duì)Reynolds方程進(jìn)行數(shù)值求解，最終得到軸頸表面油膜壓力P的分布。其中，滑動(dòng)軸承油膜壓力分布圖如圖6所示。

圖6 滑動(dòng)軸承油膜壓力分布圖

該算例與Ogrodnik[28]給出的油膜壓力分布結(jié)果的對(duì)比圖如圖7所示，在Swift-Stieber邊界條件下求得的壓力計(jì)算結(jié)果與壓力分布和實(shí)際情況較為接近，說明在Swift-Stieber邊界條件下對(duì)Reynolds方程進(jìn)行數(shù)值求解具有較高的準(zhǔn)確性，可用于后續(xù)的研究。

圖7 油膜壓力結(jié)果對(duì)比圖

在研究圓度誤差旋量參數(shù)對(duì)滑動(dòng)軸承油膜壓力分布影響的過程中，滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)表

圓度誤差對(duì)油膜壓力的影響規(guī)律如圖8所示。當(dāng)考慮圓度誤差旋量dx﹥0時(shí)，滑動(dòng)軸承油膜壓力的最大位置在軸承寬度的中心，壓力沿軸承長(zhǎng)度均勻分布，并且其油膜壓力分布與理想滑動(dòng)軸承的油膜壓力分布基本一致，但是旋量參數(shù)dx會(huì)改變最大油膜壓力的數(shù)值。與理想圓截面相比，圓度誤差旋量dx越大，油膜壓力越大。

圖8 圓度誤差對(duì)油膜壓力的影響

5 結(jié)語(yǔ)

1）本文在闡述滑動(dòng)軸承油膜潤(rùn)滑理論研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，著重對(duì)求解Reynolds方程的三種邊界條件進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的邊界條件如半Sommerfeld邊界條件、Sommerfeld邊界條件不適用于對(duì)誤差軸承進(jìn)行潤(rùn)滑特性分析，而Swift-Stieber邊界條件可以對(duì)誤差軸承的潤(rùn)滑特性進(jìn)行良好的分析。

2）在Swift-Stieber邊界條件下求得的壓力計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況較為接近，Swift-Stieber邊界條件在數(shù)值計(jì)算中使用較多，是目前比較符合實(shí)際的邊界條件。

3）通過算例求解了在Swift-Stieber邊界條件下的Reynolds方程，并進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，圓度誤差旋量參數(shù)會(huì)改變最大油膜壓力的數(shù)值，與理想圓截面相比，油膜壓力會(huì)隨著旋量參數(shù)的增大而增大。