基于小波變換的降雨時(shí)間序列去噪方法研究

李東升 馬金鋒 饒凱鋒 王曉燕

摘要：

小波變換在降雨時(shí)間序列數(shù)據(jù)的去噪方面具有顯著的優(yōu)勢(shì)，可有效提高降雨時(shí)間序列預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。為確定降雨時(shí)間序列小波去噪過程中小波基函數(shù)、分解尺度以及閾值估計(jì)方法的選擇，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)去噪，以國(guó)家氣象科學(xué)數(shù)據(jù)中心2008～2018年的日降雨時(shí)間序列為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，以中國(guó)5個(gè)不同氣候類型的省份為研究區(qū)域，基于復(fù)合指標(biāo)T對(duì)57種小波基函數(shù)的去噪效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，并評(píng)價(jià)去噪過程中可能的分解尺度和常用閾值估計(jì)方法。結(jié)果表明：7～10階的Daubechies小波是去噪效果最好的小波基函數(shù)組，最小T值在0.326 4～0.422 8 之間，Symlets小波族的去噪效果最差；最優(yōu)的分解尺度為3級(jí)，最小T值范圍為 0.184 4～0.252 6；混合閾值和Steins無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)閾值的去噪效果最好，最小T值在0.377 3～0.435 9之間。研究成果可為中國(guó)境內(nèi)降雨時(shí)間序列和其他水文氣象時(shí)間序列的去噪方法提供參考。

關(guān) 鍵 詞：

降雨時(shí)間序列； 小波去噪； 最優(yōu)去噪； 最優(yōu)小波基函數(shù)； 小波變換

中圖法分類號(hào)： P332

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2023.05.018

0 引 言

降雨過程是水文循環(huán)的主要環(huán)節(jié)，降雨量直接影響地表水資源的變化。降雨時(shí)間序列的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)在日常生活、自然災(zāi)害預(yù)防、水資源規(guī)劃管理等方面具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。統(tǒng)計(jì)法是常用的降雨預(yù)測(cè)方法，以大量的歷史數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過挖掘降雨自身的變化規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)［1］。如賀玉琪等［2］選用1951～2005年的降雨數(shù)據(jù)，構(gòu)建BRR-SVR模型，對(duì)降雨數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。然而受氣象等各方面因素影響，實(shí)際監(jiān)測(cè)得到的降雨時(shí)間序列總是存在一定的噪聲［3］。時(shí)間序列的本質(zhì)被噪聲掩蓋，對(duì)含有噪聲的時(shí)間序列進(jìn)行分析計(jì)算，不能反映其真實(shí)的變化特征。研究表明，時(shí)間序列去噪方法可以有效消除數(shù)據(jù)噪聲，提高預(yù)測(cè)精度［4］。

常用去噪方法包括：主成分分析法、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)以及小波變換等方法［5-6］。其中，離散小波變換方法具有多分辨率分析的能力，對(duì)離散非平穩(wěn)信號(hào)具有良好的去噪能力，因此被廣泛應(yīng)用于水文氣象時(shí)間序列去噪。Nourani等［7］基于小波去噪與極限學(xué)習(xí)機(jī)和最小二乘支持向量機(jī)的耦合模型預(yù)測(cè)站點(diǎn)徑流量，發(fā)現(xiàn)去噪后預(yù)測(cè)模型的相關(guān)系數(shù)提高了0.03，預(yù)測(cè)精度更好。Nury等［8］對(duì)孟加拉東北部的溫度時(shí)間序列進(jìn)行小波去噪，以去噪后的時(shí)間序列作為ARIMA和ANN模型的輸入，對(duì)比了二者的預(yù)測(cè)結(jié)果，結(jié)果發(fā)現(xiàn)小波去噪-ARIMA耦合模型具有更高的預(yù)測(cè)精度。張欣欣［9］和桑秀麗等［10］分別基于小波變換對(duì)降雨進(jìn)行去噪處理，利用去噪數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢(shì)分析或預(yù)測(cè)，均得到了滿意的結(jié)果。

小波基函數(shù)、分解尺度以及閾值估計(jì)方法的選擇決定了小波去噪的質(zhì)量。目前，多數(shù)學(xué)者僅憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行3種參數(shù)的選擇，或僅對(duì)一種參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單對(duì)比。例如，Nayak等［11］構(gòu)建小波-人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行降雨-徑流模擬，采用db5小波與3級(jí)分解對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)處理；Altunkaynak等［12］對(duì)降雨時(shí)間序列進(jìn)行小波3級(jí)分解，作為預(yù)測(cè)模型的輸入數(shù)據(jù)；趙文舉［13］與許磊［14］等分別指定sym4與db5小波作為小波基函數(shù)進(jìn)行降雨時(shí)間序列的去噪處理；

Nourani等［7］對(duì)比了db3～5小波，并開展了8級(jí)分解的去噪實(shí)驗(yàn)。目前，大量的小波去噪研究中，由于所采用的小波基函數(shù)數(shù)量較少，且并未進(jìn)行分解尺度與閾值估計(jì)方法的對(duì)比分析，不能保證獲得最優(yōu)的小波去噪結(jié)果。尤其，針對(duì)降雨時(shí)間序列的最優(yōu)小波去噪的研究較少，極大限制了降雨時(shí)間序列數(shù)據(jù)的應(yīng)用。

本文基于小波變換方法開展了相對(duì)完整的降雨時(shí)間序列最優(yōu)去噪對(duì)比研究。對(duì)可進(jìn)行離散變換的小波族，即Daubechies（db）、Symlets（sym）、Coiflet（coif）、BiorSplines（bior）和ReverseBior（rbio），以及常用的閾值估計(jì)方法，即通用閾值、Steins無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)閾值、混合閾值、極小極大閾值和貝葉斯閾值，以及不同分解尺度進(jìn)行對(duì)比評(píng)估。本文旨在識(shí)別適合降雨時(shí)間序列小波分解的最優(yōu)分解尺度，識(shí)別降雨時(shí)間序列最優(yōu)去噪效果的閾值估計(jì)方法，基于小波分解尺度與閾值估計(jì)方法，識(shí)別最優(yōu)去噪小波基函數(shù)，實(shí)現(xiàn)降雨時(shí)間序列的最優(yōu)小波去噪。

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

時(shí)間序列波形與小波波形的相似程度決定了小波去噪的質(zhì)量，因此需要不同幅度與頻率的降雨時(shí)間序列進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)以確定最優(yōu)小波基函數(shù)［15］。本文所使用數(shù)據(jù)來源于國(guó)家氣象科學(xué)數(shù)據(jù)中心（http：∥data.cma.cn），選取2008～2018年日降雨數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)據(jù)集。隨著氣候類型的改變，不同地區(qū)的降雨量與降雨頻率不同，進(jìn)而影響降雨時(shí)間序列的波形。為了確保實(shí)驗(yàn)結(jié)果的普適性，根據(jù)中國(guó)氣候區(qū)域劃分，選擇5個(gè)不同區(qū)域的氣象站點(diǎn)進(jìn)行研究，分別為海南、重慶、山東、青海與寧夏站點(diǎn)。降雨數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)與氣候區(qū)域如表1所列。

1.2 離散小波去噪

小波變換能夠在不同尺度下，利用小波函數(shù)Ψ（t）

一般情況下，離散小波去噪分為3步：① 選擇小波基函數(shù)和分解尺度k，將原始降雨時(shí)間序列分解為高頻系數(shù)與低頻系數(shù)；② 噪聲大多存在于高頻系數(shù)中［16］，需確定合理的閾值與閾值函數(shù)進(jìn)行高頻系數(shù)的閾值化處理；③ 將閾值化的高頻系數(shù)與低頻系數(shù)重建，得到去噪后降雨時(shí)間序列。

1.2.1 小波分解

小波函數(shù)具有正則性、緊支撐性、對(duì)稱性等特性［17］，其中具有緊支撐性可獲得合適的時(shí)頻分辨率。由于降雨時(shí)間序列為離散數(shù)據(jù)，對(duì)于PyWavelets支持的14種小波函數(shù)族，排除不能進(jìn)行離散小波變換和不具備緊支撐性的小波函數(shù)族后，選擇10個(gè)Daubechies小波、9個(gè)Symlets小波、8個(gè)Coiflet小波、15個(gè)BiorSplines 小波以及15個(gè)ReverseBior小波，共57種常見的小波基函數(shù)進(jìn)行研究，所有的小波基函數(shù)如表2所列。在本文中，分解尺度選擇1～6級(jí)。最大分解尺度為kmax=log2NNcoeff-1，其中，N為降雨時(shí)間序列的長(zhǎng)度，Ncoeff為小波函數(shù)濾波器長(zhǎng)度［18］。

2 結(jié)果與討論

2.1 不同分解尺度的去噪效果

本文研究了降雨時(shí)間序列離散小波去噪過程中不同分解尺度（1～6級(jí)）的去噪效果，選擇通用閾值與57種小波基函數(shù)對(duì)原始降雨序列進(jìn)行去噪。不同地區(qū)降雨時(shí)間序列在不同尺度下去噪的T值結(jié)果如圖1所示，5個(gè)地區(qū)的T值變化趨勢(shì)相同。隨著分解尺度的增大，T值的平均水平呈先減小后增大的變化趨勢(shì)，其中1級(jí)最大，3級(jí)最小，中位數(shù)范圍分別為0.606 8～0.645 5和0.257 3～0.295 8。表3對(duì)比了5個(gè)區(qū)域氣象站點(diǎn)數(shù)據(jù)各分解尺度的最優(yōu)去噪結(jié)果。所有站點(diǎn)的最小T值均來自3級(jí)分解（rbio3.1出現(xiàn)異常值，不考慮），在0.184 4～0.252 6之間。以上結(jié)果表明，3級(jí)分解的降雨時(shí)間序列去噪效果最好；1級(jí)分解去噪效果最差，不建議應(yīng)用于去噪實(shí)驗(yàn)中，該結(jié)果與王濤等［17］的結(jié)果一致。

2.2 不同閾值估計(jì)方法的去噪效果

選擇57種小波基函數(shù)，對(duì)降雨時(shí)間序列進(jìn)行3級(jí)分解，探討常用的5種閾值估計(jì)方法的去噪效果。各閾值估計(jì)方法復(fù)合指標(biāo)T箱型圖如圖2所示，rbio3.1出現(xiàn)異常值，排除其T值。本文發(fā)現(xiàn)所有地區(qū)Steins閾值與混合閾值的T值相等。這是因?yàn)榛旌祥撝到Y(jié)合了固定閾值和Steins閾值兩種閾值方法，并根據(jù)信號(hào)的信噪比大小確定具體閾值［30］。當(dāng)信號(hào)的信噪比較大時(shí)，混合閾值應(yīng)用Steins閾值。因此，降雨時(shí)間序列的信噪比較大，噪聲相對(duì)較少。對(duì)于降雨時(shí)間序列的離散小波去噪，本文認(rèn)為應(yīng)采用較保守的閾值估計(jì)方法進(jìn)行閾值計(jì)算，避免丟失真實(shí)信號(hào)成分。

圖2中，所有站點(diǎn)Steins閾值、混合閾值、貝葉斯閾值的T值均較小，其次為極小極大閾值，通用閾值的T值最大。對(duì)比貝葉斯閾值，Steins閾值與混合閾值的波動(dòng)程度較大，去噪效果不穩(wěn)定，但后二者T值平均水平較低，在0.401 5～0.466 4之間。

T值具體結(jié)果如圖3所示，由圖3可知：① 重慶和青海站點(diǎn)的結(jié)果中，Steins閾值與混合閾值（由于結(jié)果相同，下文以混合閾值統(tǒng)稱）的T值小于貝葉斯閾值，最低T值分別為0.377 3，0.396 0，去噪效果最優(yōu)；② 海南站點(diǎn)的結(jié)果顯示，在db族、sym族和coif族小波中混合閾值較優(yōu)，bior和rbio族小波中貝葉斯閾值較優(yōu)，就整體而言，混合閾值在db族、sym族和coif族小波中的結(jié)果更小，分別為0.394 1，0.393 1，0.392 8；③ 山東站點(diǎn)的混合閾值與貝葉斯閾值去噪效果相近，但每個(gè)小波族中的最小T值出自混合閾值，其范圍在0.400 0～0.549 2 之間；④ 寧夏站點(diǎn)的最小T值為0.435 9，出現(xiàn)在混合閾值的db6小波。綜上所述，混合閾值與Steins閾值的去噪效果最好；與保守的閾值估計(jì)方法不同，通用閾值過大，存在過度去噪風(fēng)險(xiǎn)，去噪效果最差，這與郭曉霞等［31］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

2.3 不同小波基函數(shù)的去噪效果

選擇去噪效果最優(yōu)的混合閾值以及3級(jí)分解，采用57種小波基函數(shù)對(duì)降雨時(shí)間序列進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以研究小波去噪的最優(yōu)小波基函數(shù)。由于沒有適用于所有信號(hào)的通用小波基函數(shù)［27］，因此，構(gòu)建能夠適應(yīng)不同波形且均取得較好去噪效果的最優(yōu)小波組合。本文將T值最小的前5個(gè)小波基函數(shù)視為最優(yōu)小波基函數(shù)，具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所列。

由表4可以看出，25個(gè)最小T值中，db族小波最多，占比44%；sym族小波最少，無最優(yōu)小波。db族小波在海南、重慶和山東地區(qū)得到了最小T值，去噪效果最優(yōu)，在青海與寧夏地區(qū)也取得了很好的去噪效果。所以，db族小波適用于所有地區(qū)降雨時(shí)間序列去噪且效果良好。其中，最小T值主要來自db7～10小波，范圍在0.326 4～0.422 8之間。除重慶地區(qū)以外，coif6～7小波的去噪效果較好，在寧夏地區(qū)coif6小波得到了最小T值0.370 8。該族小波的去噪效果僅次于db族小波。其次，bior3.5、rbio1.5也表現(xiàn)出了很好的去噪效果。sym族小波T值較大，去噪效果最差。綜上所述，db族小波具有更好的適用性與去噪效果，db7～10小波為最優(yōu)小波基函數(shù)。db族小波常用于水文氣象的小波研究［32-33］，Nalley等［34］將db5～10小波作為首選進(jìn)行降雨時(shí)間序列的離散小波變換。本文結(jié)果與前人研究中小波基函數(shù)的選擇一致，并在此基礎(chǔ)上明確最優(yōu)小波范圍。

3 驗(yàn)證與分析

將本文結(jié)果應(yīng)用于降雨時(shí)間序列預(yù)測(cè)，該數(shù)據(jù)來源于國(guó)家氣象科學(xué)數(shù)據(jù)中心，選擇北京市氣象站點(diǎn)2008～2018年的日降雨數(shù)據(jù)。在選用3級(jí)分解和啟發(fā)式閾值的基礎(chǔ)上，利用db7～10小波基函數(shù)進(jìn)行降雨時(shí)間序列去噪，得到去噪降雨時(shí)間序列。許浩然等［35］構(gòu)建了Prophet降雨時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，成功證明其在降雨預(yù)測(cè)方面的適用性。本文選用Prophet模型，將數(shù)據(jù)集按照8∶2的比例劃分為訓(xùn)練集和驗(yàn)證集，對(duì)原始數(shù)據(jù)與去噪后數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并以均方根誤差（RMSE）和平均絕對(duì)誤差（MAE）為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行預(yù)測(cè)精度對(duì)比，評(píng)價(jià)結(jié)果見表5。

由表5可知，db7小波去噪數(shù)據(jù)的RMSE為74.622，MAE為30.908，相比其他數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果均為最低，誤差相對(duì)較小，且去噪后數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度均優(yōu)于原始數(shù)據(jù)，證明小波去噪可有效提高降雨時(shí)間序列的預(yù)測(cè)效果。

4 結(jié) 論

基于小波變換的降雨時(shí)間序列去噪的質(zhì)量，取決于去噪過程中小波基函數(shù)、分解尺度和閾值估計(jì)方法的選擇。本文以國(guó)家氣象科學(xué)數(shù)據(jù)中心日降雨數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，以中國(guó)5個(gè)不同氣候類型的省份為研究區(qū)，基于復(fù)合評(píng)價(jià)指標(biāo)T評(píng)估降雨時(shí)間序列去噪中57種典型小波基函數(shù)的去噪效果，探討小波基函數(shù)、分解尺度和閾值估計(jì)方法的最優(yōu)組合，以實(shí)現(xiàn)降雨時(shí)間序列的最優(yōu)去噪。主要結(jié)論如下：

（1） db7～10被認(rèn)為是最優(yōu)小波基函數(shù)，T值范圍為0.326 4～0.422 8。coif6～7，bior3.5，rbio1.5的去噪效果與適用性次之，T值在0.319 3～0.443 7之間。sym族小波表現(xiàn)較差，因此，不建議應(yīng)用于降雨時(shí)間序列去噪。

（2） 降雨時(shí)間序列去噪的最優(yōu)分解尺度為3級(jí)，最小T值范圍為0.184 4～0.252 6；1級(jí)的去噪效果最差，最小T值范圍為0.530 1～0.558 4。

（3） 降雨時(shí)間序列的小波去噪適合較保守的閾值估計(jì)方法?；旌祥撝蹬cSteins無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)閾值的去噪效果最好，最小T值為0.377 3～0.435 9；貝葉斯閾值的性能次之，最小T值在0.411 3～0.440 8之間。

本文推薦db7～10、混合閾值或Steins無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)閾值、3級(jí)分解的組合作為基于小波的降雨時(shí)間序列的最優(yōu)去噪組合。該組合去噪效果良好，適用性強(qiáng)，可有效提高降雨時(shí)間序列預(yù)測(cè)精度。本文研究成果可為中國(guó)境內(nèi)降雨和其他水文氣象時(shí)間序列的小波去噪方法提供參考。同時(shí)，本文使用常規(guī)的軟閾值函數(shù)進(jìn)行閾值處理，這種方法在追求平滑過渡的同時(shí)，降低了去噪信號(hào)與原信號(hào)的相似度，建議下一步進(jìn)行改進(jìn)閾值函數(shù)的對(duì)比研究，以進(jìn)一步優(yōu)化去噪效果。

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（編輯：謝玲嫻）

Abstract：

The wavelet transform has remarkable advantages in denoising of precipitation time-series data，and can effectively improve the accuracy of precipitation time-series prediction.In order to determine the selection of wavelet basis function，decomposition scale and threshold estimation method in the process of wavelet denoising of precipitation time-series and achieve optimal denoising effect，the daily precipitation time-series from 2008 to 2018 of the National Meteorological Science Data Center were used as the basis data，and the five provinces with different climate types in China were selected as the study areas.Based on the composite index T，the denoising effects of 57 kinds of wavelet basis functions were evaluated，and the possible decomposition scales and common threshold estimation methods in the denoising process were also evaluated.The results showed that the Daubechies of 7～10 order was the best wavelet basis function group，and the minimum T values ranged from 0326 4 to 0422 8.Wavelet functions from the Symlets wavelet family showed poor performance.Moreover，the optimal decomposition scale was 3-level，and the minimum T values were between 01844 and 02526.Heursure threshold and Stein unbiased risk estimation threshold had the best denoising effect，and the minimum T values were between 0377 3 and 0435 9.The research results can provide a reference for denoising methods for precipitation time-series in China and other hydrometeorological time series.

Key words：

precipitation time-series；wavelet denoising；optimal denoising；optimal wavelet function；wavelet transform