“圓”自教材 觸類旁通

文／陸微微

教材是教與學(xué)的重要依據(jù)，也是考試命題的重要來源。學(xué)會研究教材中重要例習(xí)題及變式，既可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，又可以拓寬解題思路。

【原題呈現(xiàn)】（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第92 頁第10 題）如圖1，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D。若AB=10，AC=6，求BC、BD的長。

圖1

【解析】連接AD。由AB是直徑，得∠ACB=∠ADB=90°，即可求得BC=8。由CD平分∠ACB，得∠ACD=∠BCD=45°。由圓周角性質(zhì)，得∠ABD=∠ACD=45°，則∠BAD=45°，△ABD為等腰直角三角形，進(jìn)而求得BD=

【點(diǎn)評】本題的設(shè)計意圖是想讓同學(xué)們掌握圓周角定理，會通過構(gòu)造直徑所對的圓周角來解決問題。

變式1如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，BD為圓O的直徑，AC平分∠BAD，CD=，點(diǎn)E在BC的延長線上，連接DE。

圖2

（1）求直徑BD的長；

（2）若BE=計算圖中陰影部分的面積。

【解析】（1）用與原題同樣的方法可得∠CDB=∠CBD，則BC=DC，即△BDC是等腰直角三角形，可求出BD=4。

（2）因為BC=DC，所以陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為Rt△CDE的面積，S陰影=S△CDE=

【點(diǎn)評】本題是2022 年南通市中考題。第（1）問是原題條件和結(jié)論互換后的變式，解決問題的方法不變。第（2）問是添加條件后的延伸，考查不規(guī)則圖形面積的求解，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想。

變式2如圖3，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點(diǎn)，OA=8cm。動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s 的速度沿AO水平向左做勻速運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以1cm/s 的速度沿ON豎直向上做勻速運(yùn)動。連接PQ交OT于點(diǎn)B。經(jīng)過O、P、Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)C，連接PC、QC。設(shè)運(yùn)動時間為t（s），其中0＜t＜8。

圖3

（1）求OP+OQ的值；

（2）是否存在實數(shù)t，使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（3）求四邊形OPCQ的面積。

（3）過點(diǎn)C作CE⊥OM，CF⊥ON，垂足分別為E、F。

由△QCF≌△PCE，

得S△QCF=S△PCE，

則S四邊形OPCQ=S正方形OECF。

∵OE+OF=OP+OQ=8，

∴OE=OF=4。

∴S四邊形CPOQ=42=16（cm2）。

【點(diǎn)評】本題是2020 年蘇州市中考壓軸題，是教材習(xí)題的深度拓展，綜合性較強(qiáng)，考查同學(xué)們靈活運(yùn)用知識解決問題的能力。

一滴水可以折射太陽的光輝，一道題也能散發(fā)知識的光芒。希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中能做會一題、變式一類、探討一番，從而開闊思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。