巧用數(shù)學(xué)思想 妙解圓類問(wèn)題

文／仇玉海

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本策略。在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們常用的數(shù)學(xué)思想方法有：分類思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等。

一、分類思想

分類思想是研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維能力。解題時(shí)如果考慮不嚴(yán)密，理解不透徹，形成思維定式，就會(huì)產(chǎn)生誤解。

例1如圖1，將一塊三角板放置在圓O中，點(diǎn)A、B在圓上，邊AC經(jīng)過(guò)圓心O，∠C為直角，∠ABC=60°，P為圓上異于A、B的點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（ ）。

圖1

A.60° B.120°

C.30°或150° D.60°或120

解：連接OB，如圖2。

圖2

當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上時(shí)，如圖2，連接AP、BP。

∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=30°。

∴∠AOB=120°?！唷螾=

當(dāng)點(diǎn)P＇在劣弧AB上時(shí)，連接AP＇、BP＇，∠AP＇B=180°-60°=120°。

∴∠APB的值為60°或120°。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】此題的點(diǎn)P有兩種可能，如果不注意點(diǎn)P所在的位置，就容易遺漏。本題旨在考查思考問(wèn)題的邏輯性、周密性和全面性。

二、方程思想

方程思想是圓中重要的建模思想之一。抓住問(wèn)題中的相等關(guān)系，我們能巧妙建立起已知量與未知量之間的關(guān)系，將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）。

例2如圖3，AB是圓O的直徑，OD垂直于弦AC于點(diǎn)D，DO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E。若AC=4，DE=4，則BC的長(zhǎng)是（ ）。

圖3

解：∵AB是圓O的直徑，

∴∠C=90°。

∵OD⊥AC，

∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)。

∴OD是△ABC的中位線。

∴OD∥BC，且OD=

設(shè)OD=x，則BC=2x。

∵DE=4，∴OE=4-x。

∴AB=2OE=8-2x。

在Rt △ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2。

∴（8-2x）2=+（2x）2，解得x=1。

∴BC=2x=2。

故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)勾股定理建立方程模型得解。方程思想的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)就是使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，方便我們解題。

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)是把新問(wèn)題盡可能轉(zhuǎn)化為能解決或較易解決的問(wèn)題。轉(zhuǎn)化的基本功能是：化生疏為熟悉，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為直觀，化含糊為明朗。

例3如圖4，點(diǎn)M、G、D在半圓O上，四邊形OEDF、HMNO均為矩形，EF=b，NH=c，則b與c之間的大小關(guān)系是（ ）。

圖4

A.b＞cB.b=c

C.c＞bD.b與c的大小不能確定

解：連接OM、OD，如圖5。根據(jù)矩形的性質(zhì)即可作出判斷。

圖5

∵OEDF是矩形。

∴b=EF=OD。同理，c=OM。

∵OM=OD，∴b=c。

故選B。

【分析】本題利用了圓的常用輔助線作法，即連接半徑。根據(jù)矩形對(duì)角線相等的性質(zhì)，把兩條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩條半徑的關(guān)系。轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題。