挖掘問題本質(zhì) 巧用模型求解

文／康 敏

解決平行四邊形綜合類問題，我們要學(xué)會結(jié)合圖形抓住已知條件中的關(guān)鍵信息，尋求已知條件的內(nèi)涵，結(jié)合所求的結(jié)論，從前向后分析，再從后向前逆推，挖掘問題的本質(zhì)，找準(zhǔn)解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，最終探究到適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題。

例1（2022·江蘇泰州）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG。設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、點(diǎn)G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（ ）。

圖1

【分析】如圖2，連接CF、CG，求d1+d2+d3的最小值，就是求DE+FC+GC的最小值。但是DE與另兩邊沒有公共點(diǎn)，這就需要把“折線段”的和轉(zhuǎn)化為“直線段”的和，所以要轉(zhuǎn)化線段DE。由四邊形DEFG是正方形，可得DE=EF。結(jié)合圖形，還需要把CG也轉(zhuǎn)換，這里就是難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)。由四邊形ABCD是正方形，得到∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，能推出∠ADE=∠CDG，這樣就聯(lián)想構(gòu)造三角形全等。連接AE，利用“SAS”證明出△ADE≌△CDG，得出AE=CG，把DE+FC+GC轉(zhuǎn)化為EF+FC+AE。所以，當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時(shí)，即得最小值。

圖2

解：如圖2，連接CF、CG和AE。

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DEFG是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=∠EDG=90°，DE=EF=DG。

∴∠ADE=∠CDG。

∴AE=CG。∴DE+CF+CG=EF+CF+AE。

當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時(shí)，能取到最小值，即AC的長。

故選C。

【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的證明、勾股定理的運(yùn)用、轉(zhuǎn)換思想等。正確構(gòu)造全等三角形求出邊相等是解決本題的難點(diǎn)，此題的全等證明是“手拉手模型”。求順次相連的多條線段和最小，關(guān)鍵是把“折線段”的和轉(zhuǎn)化為“直線段”的和，簡稱“化折為直”。當(dāng)這幾點(diǎn)共線時(shí)，線段和最小，本質(zhì)上運(yùn)用了兩點(diǎn)之間線段最短，體現(xiàn)了由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。

例2（2022·江蘇連云港）如圖3，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，且BE⊥DC。

圖3

（1）求證：四邊形DBCE為菱形；

（2）若△DBC是邊長為2 的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動，求PM+PN的最小值。

【分析】（1）如圖3，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得AD=BC和AD∥BC。已知DE=AD，得到BC和DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，從而證明四邊形DBCE為平行四邊形，再根據(jù)BE⊥DC，即可證得四邊形DBCE為菱形。

（2）如圖4，點(diǎn)P、M、N都是動點(diǎn)，所以PM+PN是變化的，是“折線段”的和。因此，求其最小值時(shí)，要先變“折線段”為“直線段”，即利用轉(zhuǎn)換思想，找不變量。作點(diǎn)N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N＇，點(diǎn)N＇在DE上，根據(jù)菱形對稱性得到PM+PN=PM+PN＇，PM+PN的最小值即為菱形的高。構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得高的值。

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC。

∵DE=AD，∴DE=BC。

∵點(diǎn)E在AD的延長線上，∴DE∥BC。

∴四邊形DBCE為平行四邊形。

又∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE為菱形。

（2）解：如圖4，由菱形對稱性得點(diǎn)N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N＇在DE上，

∴PM+PN=PM+PN＇。

當(dāng)P、M、N＇共線時(shí)，PM+PN=PM+PN＇=MN＇。

過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H。

∵DE∥BC，∴MN＇的最小值即為平行線間的距離DH的長。

∵△DBC是邊長為2的等邊三角形，

∴在Rt△DBH中，∠DBC=60°，DB=2。

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、求動點(diǎn)類的線段和的最值問題，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法。解決本題的關(guān)鍵是“化折為直”。