基于預(yù)定毀傷概率的懸浮式深彈使用方法

吳玲, 王丕琨, 盧發(fā)興

(海軍工程大學(xué), 湖北 武漢 430033)

0 引言

隨著魚(yú)雷技術(shù)的發(fā)展,現(xiàn)代潛射魚(yú)雷對(duì)水面艦艇的威脅越來(lái)越大[1-2]。傳統(tǒng)魚(yú)雷對(duì)抗措施[3-10]難以滿足艦艇對(duì)抗魚(yú)雷的需求,其主要原因是聲吶只能測(cè)定來(lái)襲魚(yú)雷方位變化信息,而其距離測(cè)量量誤差較大。為提升對(duì)魚(yú)雷毀傷概率,采取區(qū)域射擊方式[11],在魚(yú)雷可能航路上布設(shè)深彈攔截線方法逐漸成為研究熱點(diǎn)。如俄羅斯的“蟒蛇”反魚(yú)雷系統(tǒng)利用估計(jì)距離和方位,在魚(yú)雷的可能航向上布設(shè)一個(gè)帶聲吶探測(cè)裝置的懸浮深彈陣,增強(qiáng)對(duì)魚(yú)雷的毀傷概率[12]。

由于艦艇攜帶深彈數(shù)量有限,在達(dá)到既定毀傷概率的前提下合理確定深彈布設(shè)密度成為這一問(wèn)題關(guān)鍵?，F(xiàn)有文獻(xiàn)[13-19]主要通過(guò)布設(shè)線長(zhǎng)與深彈毀傷半徑比來(lái)確定布設(shè)數(shù)量,再通過(guò)乘以比例系數(shù)調(diào)整布設(shè)數(shù)量,改變毀傷概率,無(wú)法根據(jù)既定概率快速求解布設(shè)密度,且沒(méi)有考慮深彈布設(shè)本身存在的誤差,所求初值距真值差距較大。

為解決基于既定概率配置深彈數(shù)量這一問(wèn)題,本文通過(guò)構(gòu)建最優(yōu)中間函數(shù)[20],利用條件極值計(jì)算深彈均勻配置模型下的理論最優(yōu)毀傷概率解析解。根據(jù)最優(yōu)毀傷概率,構(gòu)建初值函數(shù),確定深彈配置數(shù)量初值,通過(guò)迭代計(jì)算既定概率下深彈配置數(shù)量。進(jìn)一步,依據(jù)深彈作戰(zhàn)使用方法,確定區(qū)域射擊范圍和深彈實(shí)際配置方法。相比傳統(tǒng)方法,采取本文方法確定的深彈布設(shè)數(shù)量初值與真值接近,經(jīng)過(guò)較少迭代次數(shù)即可求解真值,且通過(guò)對(duì)初值的修正,可以達(dá)到快速求解計(jì)算的目的,節(jié)省了求解時(shí)間,提升了求解精度。

1 基于區(qū)域射擊的深彈毀傷魚(yú)雷概率模型

建立l坐標(biāo)軸,使之垂直于魚(yú)雷的期望航路,期望航路與坐標(biāo)軸的交于原點(diǎn)O(見(jiàn)圖1)。圖1中αi為第i枚深彈射線與攔截線的夾角,lx為魚(yú)雷航路最可能分布的區(qū)間半徑。

圖1 區(qū)域射擊攔截魚(yú)雷示意圖Fig.1 Diagram of torpedo-intercepting shooting area

由于魚(yú)雷發(fā)射距離較遠(yuǎn),且對(duì)其定位精度有限,認(rèn)為其在(-lx,lx)區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。懸浮式深彈殺傷半徑為Rd,認(rèn)為魚(yú)雷在半徑內(nèi)即被毀傷。

火箭深彈在其射擊坐標(biāo)系上的距離和方向誤差對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σd、σβ(對(duì)應(yīng)的概率誤差為Ed、Eβ),其在l軸上的投影分別為

(1)

(2)

ξxi為第i發(fā)深彈的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)。當(dāng)魚(yú)雷經(jīng)過(guò)l軸坐標(biāo)為x時(shí),第i發(fā)火箭深彈毀傷概率為

(3)

式中:xa為第i發(fā)火箭深彈實(shí)際的布設(shè)坐標(biāo)?？紤]所有魚(yú)雷所有可能經(jīng)過(guò)點(diǎn),其毀傷概率為

(4)

式中:f(·)為關(guān)于魚(yú)雷經(jīng)過(guò)攔截線某一位置的概率密度函數(shù)。魚(yú)雷經(jīng)過(guò)攔截線某一位置這一事件服從均勻分布,因此第i發(fā)深彈對(duì)魚(yú)雷的毀傷概率為

(5)

為減小計(jì)算量和求解難度,深彈采取均勻布設(shè)方式。每個(gè)提前點(diǎn)布置1發(fā)深彈,由于每一發(fā)深彈的誤差投影角αi不同,因此每一發(fā)深彈在l軸服從不同概率誤差的正態(tài)分布,概率誤差為

(6)

當(dāng)魚(yú)雷從l軸上x(chóng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)時(shí),其至少被一發(fā)深彈所毀傷的條件概率為

(7)

pi(|x-ξxi|)為當(dāng)系統(tǒng)誤差為某一固定偏差值|x-ξxi|時(shí),第i發(fā)深彈在此系統(tǒng)偏差下毀傷魚(yú)雷的條件概率,

(8)

考慮魚(yú)雷所有可能經(jīng)過(guò)位置,其毀傷概率為

(9)

2 最優(yōu)毀傷概率求解

求解魚(yú)雷被毀傷的最大概率,等同于求解魚(yú)雷未被毀傷的最小概率:

(10)

引入射彈散布密度函數(shù):

(11)

則魚(yú)雷被毀傷概率變式為

(12)

顯然U在(-∞,∞)上的積分與瞄準(zhǔn)點(diǎn)位置ξxi無(wú)關(guān),構(gòu)造τ:

(13)

將式(13)作為等周條件,通過(guò)變分法求解最優(yōu)U以及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)毀傷概率P,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)變換為

I=f(x)e-U+λU

(14)

式中:λ為引入的待優(yōu)化宗量。由于f(x)服從均勻分布,其在-lx、lx兩點(diǎn)不連續(xù),將其延拓為2階連續(xù)函數(shù)以進(jìn)行變分法求解,其延拓函數(shù)為

(15)

式中:φ1(x)∈C2(-lx-δ,-lx+δ),δ為一無(wú)窮小量,且

(16)

φ2(x)∈C2(lx-δ,lx+δ),且

(17)

因此有

(18)

以f*(x)代替f(x)得到I*,根據(jù)歐拉-拉格朗日條件,U的最優(yōu)值U0應(yīng)為

(19)

的解,即U0應(yīng)使得

-f*(x)e-U0+λ=0

(20)

代入式(13),可得

(21)

因?yàn)楫?dāng)x?[-lx,lx]時(shí),射彈散布對(duì)于目標(biāo)的毀傷無(wú)影響,因此式(21)變換為

(22)

解得

(23)

代入式(20),有

(24)

在x∈[-lx,lx]時(shí),最優(yōu)解同樣滿足:

-f(x)e-U0+λ=0

(25)

對(duì)U0(x)最優(yōu)性進(jìn)行證明,假設(shè)存在最優(yōu)函數(shù):

U1=U0+η(x)

(26)

顯然,U1滿足:

(27)

且有

(28)

證明式(20)最優(yōu),即證明

(29)

由基本不等式1-e-x≤x,可得

(30)

因此

(31)

即證明U0是使P0最大的函數(shù)。因此得到最優(yōu)毀傷概率:

(32)

3 基于預(yù)定毀傷概率求解布設(shè)數(shù)量

當(dāng)確定毀傷概率Pc、誤差條件和配置方法,因此影響毀傷概率只有深彈數(shù)量n。傳統(tǒng)方法通過(guò)攔截區(qū)間長(zhǎng)度與殺傷半徑的比值來(lái)確定布設(shè)深彈數(shù)目:

(33)

式中:kp為比例系數(shù),kp∈+。此方法無(wú)法直接根據(jù)預(yù)設(shè)概率Pc求取布設(shè)彈數(shù)n,只能通過(guò)逆向枚舉計(jì)算求取符合概率Pc的布設(shè)彈數(shù)n。無(wú)法直接根據(jù)預(yù)定毀傷概率確定初值,求解時(shí)間不穩(wěn)定。

為解決此問(wèn)題,本文提出基于預(yù)定毀傷概率的布設(shè)密度求解公式。將毀傷概率表示為關(guān)于布設(shè)深彈數(shù)量的函數(shù)P(n),布設(shè)深彈數(shù)量求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題:

(34)

對(duì)于深彈數(shù)量n,引入序列nk,有

(35)

式中:φ(Pc)為初值計(jì)算函數(shù);?(nk)為布設(shè)深彈數(shù)量計(jì)算迭代函數(shù)。迭代終止條件為|nk-nk-1|<1。首先通過(guò)初值函數(shù)φ(Pc)計(jì)算深彈數(shù)量初值n1,通過(guò)計(jì)算迭代函數(shù)?(nk)迭代,逼近真實(shí)值n∞。為使迭代過(guò)程在滿足終止條件時(shí)有P(nk)≥Pc,需要使P(nk)

?(nk)-nk>1

(36)

求解布設(shè)深彈數(shù)量,首先構(gòu)建初值函數(shù)。為了減少運(yùn)算復(fù)雜度,遵從保守原則,選取散布最大的提前點(diǎn)散布參數(shù)Emax作為所有提前點(diǎn)的散布參數(shù)。

構(gòu)造τ′、τ:

(37)

由式(37)可得

n=-2lxln (1-P0)/τ′

(38)

從而有

n0=φ(Pc)=-2lxln (1-Pc)/τ′

(39)

通過(guò)迭代法求解:

(40)

(41)

結(jié)合式(40),可得

nk+1=?(nk)=

(42)

式中:

(43)

4 確定深彈攔截線

求取預(yù)定毀傷概率下的布設(shè)深彈數(shù)量,需要計(jì)算攔截區(qū)間。根據(jù)實(shí)際作戰(zhàn)使用情況和魚(yú)雷航路張角確定魚(yú)雷可能航路區(qū)間(-lx,lx),確定深彈布設(shè)方案。

假設(shè)某一時(shí)刻t0發(fā)出魚(yú)雷報(bào)警信號(hào),根據(jù)魚(yú)雷與艦艇解相遇原理,滿足

vmsinQm=vTLsinφ

(44)

式中:vm為目標(biāo)艦艇速度;Qm為發(fā)現(xiàn)魚(yú)雷的舷角;vTL為魚(yú)雷運(yùn)動(dòng)速度;φ為魚(yú)雷攻擊提前角。

圖2為最大提前角射擊示意圖。圖3為最小提前角射擊示意圖。圖2和圖3中,T為魚(yú)雷發(fā)射點(diǎn),W為魚(yú)雷發(fā)射時(shí)刻我艦艇位置,CT為魚(yú)雷與我艦艇相遇位置,φmax為最大攻擊提前角,Ds為深彈發(fā)射的期望距離,L為尾流長(zhǎng)度,Q′為魚(yú)雷攻擊尾流時(shí)的最大敵舷角,φ′ 為最大提前角與最小提前角的差角。

圖2 最大提前角射擊示意圖Fig.2 Firing at the maximum advance angle

圖3 最小提前角射擊示意圖Fig.3 Firing of the minimum advance angle

在同一攻擊態(tài)勢(shì)下,魚(yú)雷攻擊提前角與魚(yú)雷種類有關(guān):直航魚(yú)雷攻擊提前角最大,尾流制導(dǎo)魚(yú)雷攻擊提前角最小。當(dāng)魚(yú)雷為直航魚(yú)雷時(shí),根據(jù)式(44),其攻擊提前角為

(45)

當(dāng)魚(yú)雷為尾流制導(dǎo)魚(yú)雷時(shí),其攻擊提前角使得魚(yú)雷與艦艇尾流相遇并進(jìn)入尾流。通常,尾流長(zhǎng)度為

L=180vm

(46)

(47)

設(shè)Qm-φ′=Q′,有

(48)

圖4 確定航路張角示意圖Fig.4 Range of possible routes

圖4為確定航路張角示意圖,圖中Cw為我艦航向。當(dāng)聲吶通過(guò)被動(dòng)方式探測(cè)到魚(yú)雷T,只能獲取其方位信息,其距離信息依靠估計(jì)獲取。聲吶探測(cè)角誤差為σ,則魚(yú)雷最可能存在區(qū)域?yàn)锳A′BB′。為覆蓋魚(yú)雷所有可能經(jīng)過(guò)區(qū)域,在A點(diǎn)選取最小攻擊提前角,在B點(diǎn)選取最大攻擊提前角,則γ為魚(yú)雷航向張角。

當(dāng)魚(yú)雷告警緊急時(shí),必須在魚(yú)雷到達(dá)深彈射擊近界之前將攔截線布設(shè)完成。圖5為緊急條件射擊態(tài)勢(shì)圖,Rmin為深彈發(fā)射近界,φm為在緊急條件射擊態(tài)勢(shì)下的魚(yú)雷攻擊提前角,β為深彈發(fā)射提前角。

圖5 緊急條件射擊態(tài)勢(shì)圖Fig.5 Firing under emergency conditions

t0時(shí)刻艦艇所處位置為W0,魚(yú)雷位于L0,收到魚(yú)雷報(bào)警信息。經(jīng)過(guò)最短準(zhǔn)備時(shí)間trmin后,艦艇于W1處發(fā)射深彈,并進(jìn)行機(jī)動(dòng)規(guī)避,此時(shí)魚(yú)雷位置為L(zhǎng)1,深彈從發(fā)射到進(jìn)入工作狀態(tài)需要經(jīng)歷飛行時(shí)間tf和水下準(zhǔn)備時(shí)間tc。深彈布設(shè)完畢后魚(yú)雷恰好到達(dá)L2。

根據(jù)深彈解相遇原理:

(49)

Dmin=Rdcosβ+vTL(tf+tc+trmin)cosφM+vmcosQm

(50)

式中:Dmin為最小發(fā)現(xiàn)距離。

由于情況緊急,需要從近點(diǎn)C選擇最短的攔截線開(kāi)始布設(shè)。已知發(fā)射深彈時(shí)艦艇位置W1(vwtr,0 m),vw為我艦艇航速,tr為深彈準(zhǔn)備時(shí)間,求取C點(diǎn)坐標(biāo):

(51)

已知:

(52)

式中:Kds為距離誤差系數(shù),則發(fā)現(xiàn)距離范圍為[(1-Kds)Ds,(1+Kds)Ds]。圖6為緊急條件區(qū)域攔截示意圖,α1、α2分別為最大、最小攻擊提前角時(shí)魚(yú)雷航向與我艦航向夾角。

圖6 緊急條件區(qū)域攔截示意圖Fig.6 Diagram of area interception under emergency conditions

由

(53)

確定O點(diǎn)坐標(biāo)(xO,yO)。由

(54)

確定D點(diǎn)坐標(biāo)(xD,yD)。

當(dāng)魚(yú)雷在深彈射程之外被發(fā)現(xiàn)時(shí),將深彈布設(shè)于最大射程處。為最大范圍覆蓋魚(yú)雷航向張角,選取攔截線垂直于航向張角角平分線。圖7為正常條件區(qū)域攔截示意圖。

圖7 正常條件區(qū)域攔截示意圖Fig.7 Diagram of area interception under normal conditions

已知W1(vwtr,0 m),求取F(xF,yF)為布設(shè)基準(zhǔn)點(diǎn):

(55)

式中:xW1、yW1分別為圖7中W1點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)。

攔截線長(zhǎng)度為

(56)

在攔截線長(zhǎng)度2lx和布設(shè)數(shù)量n已知的條件下,深彈布設(shè)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)也得以確定:以間距為2lx/n均勻布設(shè)在攔截線上。

5 仿真計(jì)算

想定條件:某艦艇以30 kn航速航行。于t0時(shí)刻接收到魚(yú)雷報(bào)警,報(bào)警信號(hào)來(lái)自左舷60°,估計(jì)距離5 km,聲吶角誤差σ為0.02 rad,距離誤差系數(shù)Kds為0.02,估計(jì)魚(yú)雷航速44 kn。艦艇準(zhǔn)備利用深彈進(jìn)行區(qū)域攔截射擊,最快準(zhǔn)備時(shí)間trmin為20 s。深彈射擊遠(yuǎn)界Rmax為3 000 m,將深彈布置于最大射程處。根據(jù)式(55)、式(56),算得深彈布設(shè)中心點(diǎn)坐標(biāo)(2 181 m,2 337 m)和攔截線長(zhǎng)度2lx=1 473 m,繪出深彈攔截態(tài)勢(shì)圖(見(jiàn)圖8)深彈毀傷半徑Rd=30 m,射擊方向誤差Eβ=30 m,距離誤差Ed=20 m,基于預(yù)定毀傷概率Pc=0.6對(duì)所需要發(fā)射彈數(shù)進(jìn)行仿真計(jì)算,得到計(jì)算結(jié)果(見(jiàn)表1)。

圖8 深彈區(qū)域攔截示意圖Fig.8 Diagram of area interception of a deep bomb

表1 兩方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比

基于算例的想定條件,改變射擊誤差Eβ、Ed,計(jì)算當(dāng)射擊誤差Eβ、Ed分別取較小、適中和較大值時(shí),本文方法和傳統(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果(見(jiàn)表2)。

表2 不同射擊誤差條件計(jì)算結(jié)果比較

改變聲吶探測(cè)角誤差σ和距離誤差系數(shù)Kds,根據(jù)式(55)、式(56),計(jì)算出不同的布設(shè)基點(diǎn)和攔截線長(zhǎng)度。基于不同攔截線長(zhǎng)度,在Eβ=30 m、Ed=20 m條件下,對(duì)比本文方法確定初值與傳統(tǒng)方法確定初值的精度(見(jiàn)表3)。

表3 不同聲吶精度下計(jì)算結(jié)果比較

通過(guò)仿真計(jì)算可知:

1)通過(guò)表1對(duì)比,本文提出的方法能夠直接基于預(yù)定毀傷概率得出與精確結(jié)果相近的計(jì)算初值。只需經(jīng)過(guò)較少次數(shù)迭代,便可獲得精確計(jì)算結(jié)果。而傳統(tǒng)方法無(wú)法根據(jù)預(yù)定毀傷概率計(jì)算深彈布設(shè)數(shù)量。

2)通過(guò)表2對(duì)比,傳統(tǒng)方法計(jì)算布設(shè)密度,一方面沒(méi)有考慮預(yù)定毀傷概率,另一方面,沒(méi)有考慮射擊誤差。這使得在不同射擊誤差下,傳統(tǒng)方法確定的布設(shè)密度難以達(dá)到預(yù)期的毀傷效果。本文提出的方法保證初值精度的同時(shí),計(jì)算耗時(shí)短,實(shí)用性強(qiáng)。

3)由表2、表3可以發(fā)現(xiàn),本文提出的方法初值與精確計(jì)算結(jié)果誤差不超過(guò)2,因此為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間,可以通過(guò)對(duì)初值計(jì)算進(jìn)行修正,以獲取近似計(jì)算結(jié)果。對(duì)式(39)進(jìn)行修正:

n′0=-2lxln (1-Pc)/τ′+2

(58)

式中:n′0為布設(shè)深彈數(shù)量的近似計(jì)算結(jié)果。

6 結(jié)論

隨著深彈區(qū)域射擊在反潛中應(yīng)用的推廣,在有限的載彈條件下盡可能合理發(fā)揮深彈毀傷來(lái)襲魚(yú)雷的效率,攔截盡可能多批次魚(yú)雷的襲擊,對(duì)于提升艦艇生存概率具有重要意義。本文提出的基于既定概率深彈配置數(shù)量計(jì)算方法以及具有時(shí)效性的近似計(jì)算方法,能夠在既定作戰(zhàn)需求下,準(zhǔn)確地計(jì)算深彈配置數(shù)量,避免傳統(tǒng)反潛過(guò)程中為保證艦艇生存概率而大批量使用深彈攔截單一批次魚(yú)雷,使得艦艇能夠在有限載彈條件下提高攔截魚(yú)雷批次數(shù)量,提升艦艇生存概率。且本文提出的近似計(jì)算方法在保證精度的前提下,極大地減少了計(jì)算耗時(shí),保證了時(shí)效性,具有實(shí)際使用價(jià)值。為后續(xù)反潛作戰(zhàn)深彈戰(zhàn)法運(yùn)用提供了一定理論基礎(chǔ)。