準(zhǔn)素?cái)?shù)子群的δ-置換性對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響

高建玲,毛月梅,曹建基

(1.山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山西 大同 037009;2.山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

論文中所討論的群皆為有限群,G表示群,p表示素?cái)?shù),π表示由素?cái)?shù)構(gòu)成的集合,π(G)表示由|G|的所有素因子構(gòu)成的集合.所用符號(hào)和術(shù)語(yǔ)皆為標(biāo)準(zhǔn)的,見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3].

2003年,Asaad等在文獻(xiàn)[4]中引入了子群的δ-置換性.設(shè)δ為G的Sylow子群完全集,即對(duì)每一個(gè)p∈π(G),δ僅包含G的一個(gè)Sylowp-子群Gp.設(shè)H≤G,稱(chēng)H在G中δ-置換,若H置換δ中每個(gè)元素.通過(guò)研究G的素?cái)?shù)階子群的δ-置換性,得到了一些有趣的結(jié)論.Heliel等[5]證明如下結(jié)論: 令δ是G的Sylow子群的完全集,若對(duì)每一個(gè)Gp∈δ,Gp的每個(gè)p階或4階(p=2)循環(huán)子群在G中δ-置換,則G是超可解的. Li等[6]得到結(jié)論: 若p是|G|的最小素因子,Gp的極大子群在G中δ-置換,其中Gp∈δ,則G是p-冪零的. Li等[7]證明了: 若P的每個(gè)p階或4階(p=2)循環(huán)子群在G中δ-置換,其中p是|G|的最小素因子,P是Sylowp-子群且P∈δ,則G是p-冪零的. Heliel等[8]討論了δ-置換子群的嵌入及δ-置換性對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.

論文將進(jìn)一步討論δ-置換子群對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響,并推廣以上結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義[9]設(shè)K,H≤G,δ是H的Sylow子群的完全集,稱(chēng)K在H中δ-置換,若K置換δ中的每個(gè)元素.

(1)δ∩N及δN/N分別是N及G/N的Sylow子群的完全集;

(2)UN/N是G/N的δN/N-置換子群;

(3) 若U≤N,則U是N的δ∩N-置換子群.

引理2[1]如果|G|=pαqβ,則G可解.

引理3[10]設(shè)N是群G的一個(gè)非平凡正規(guī)子群,若N∩Φ(G)=1,則F(N)為G的極小正規(guī)子群直積.

下面介紹一下文中用到的一些關(guān)于群系的基礎(chǔ)知識(shí)．群的集合F稱(chēng)為群類(lèi),如果當(dāng)這個(gè)集合包含群G時(shí),它也包含所有與G同構(gòu)的群．當(dāng)群G屬于群類(lèi)F時(shí),稱(chēng)G是F-群．如果一個(gè)群類(lèi)F滿足以下兩個(gè)條件:

(1) 當(dāng)G∈F時(shí),對(duì)于G的任意正規(guī)子群N,有G/N∈F;

(2) 當(dāng)G/N1∈F,G/N2∈F時(shí),有G/(N1∩N2)∈F,其中N1,N2為G的兩個(gè)正規(guī)子群,則稱(chēng)F是一個(gè)群系．

一個(gè)群系F稱(chēng)為飽和的,如果G/Φ(G)∈F時(shí),總有G∈F.對(duì)于一個(gè)群系 ,群G的所有使G/N∈F的正規(guī)子群N之交稱(chēng)為G的F-剩余,記為GF．顯然G/GF∈F且GF是G的特征子群．文中用N表示所有冪零群組成的群系.

論文將給出有限群為p-冪零群、p-超可解群、超可解群的一些結(jié)論.

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)p是|G|的素因子,P∈Sylp(G),H是G的p′-Hall子群,滿足G=PH.令δ是H的Sylow子群的完全集,若G滿足以下條件:

(1)NG(P)是p-冪零的;

(2)P的每個(gè)極大子群在H中δ-置換.

則G是p-冪零的.

證明假設(shè)定理不成立,G為極小階反例.分以下幾步證明定理:

(1) 設(shè)Q∈Sylq(H).顯然,若G1=PQ≤G,則NG1(P)是p-冪零的.

(2)Op′(G)=1.

若Op′(G)≠1.因?yàn)镹G/Op′(G)(POp′(G)/Op′(G))=NG(P)Op′(G)/Op′(G)是p-冪零的,由引理1 (2)知G/Op′(G)滿足定理?xiàng)l件.因此由G的極小性可得G/Op′(G)是p-冪零的,從而G是p-冪零的,矛盾.故Op′(G)=1.

(3)G=PQ,其中Q∈Sylq(G)且q≠p.因此|π(G)|=2且|G|=pαqβ.

(4) 得出矛盾.由(3)和引理2可得G可解.再由(2)知Op(G)≠1,令N是G的極小正規(guī)子群且滿足N≤Op(G).由引理1 (2)知商群G/N滿足定理?xiàng)l件,由G的極小性可得G/N是p-冪零的.由于所有p-冪零群組成的群系是飽和群系,所以N是G唯一的極小正規(guī)子群且N≤/Φ(G).由引理3可知Op(G)=N=F(G)是初等交換p-群.故存在G的極大子群L滿足G=NL且N∩L=1.因此P=N(P∩L)且P∩L=P*∈Sylp(L).如果P*=1,則P=N,所以G=NG(N)=NG(P)是p-冪零的,矛盾.現(xiàn)假設(shè)P*≠1.顯然P*≠P,取P的極大子群P1滿足P*≤P1,由假設(shè)知P1在H中δ-置換.因L的Sylowq-子群是H的Sylowq-子群,對(duì)Q∈Sylq(L)且Q∈δ,有P1Q=QP1,又N≤>/P1,所以P1Q

注1在定理1中,條件“NG(P)是p-冪零的”不能去掉.例如,取G=S3,p=3.因?yàn)镾3的Sylow 3-子群P是3階循環(huán)群,所以P每個(gè)極大子群置換S3的Sylow 2-子群,但是S3不是3-冪零的.

定理2設(shè)p是|G|的素因子,P∈Sylp(G),H是G的p′-Hall子群滿足G=PH.令δ是H的Sylow子群的完全集,若(|G|,p-1)=1且P的每個(gè)極大子群在H中δ-置換,則G是p-冪零的.

證明假設(shè)結(jié)論不成立,并設(shè)G為極小階反例.分以下幾步證明定理:

(1)Op′(G)=1.若Op′(G)≠1,顯然(|G/Op′(G)|,p-1)=1且POp′(G)/Op′(G)∈Sylp(G/Op′(G)),由引理1(2)可知,G/Op′(G)滿足定理?xiàng)l件.因此由G的極小性可得G/Op′(G)是p-冪零的,從而G是p-冪零的,矛盾.故Op′(G)=1.

(2)P不循環(huán).如果P循環(huán),那么P≤CG(P)≤NG(P)且|NG(P)/CG(P)|是p′-數(shù).由N/C定理有NG(P)/CG(P)Aut(P)且|Aut(P)|=pn-1(p-1),所以NG(P)=CG(P),那么由Burnside定理可得G是p-冪零的,矛盾.故P不循環(huán).

(3)G=PQ,其中Q∈Sylq(G)且q≠p.因此|π(G)|=2且|G|=pαqβ.

類(lèi)似定理1的(3)的證明,可得結(jié)論.

注2在定理2中,條件“(|G|,p-1)=1”不能去掉,例子同注1.

文獻(xiàn)[12]中,引入了PΣT-群: 稱(chēng)G是PΣT-群,若G=DC是超可解的,其中D=GN是G的奇數(shù)階冪零Hall子群且它的所有極大子群在G中正規(guī).下面將通過(guò)子群的δ-置換性刻畫(huà)PΣT-群.

定理3假設(shè)G是可解群,δ是G的Sylow子群的完全集.若G的所有Sylow子群的每個(gè)極大子群在G中δ-置換,則G=DC是超可解的,其中D=GN是G的一個(gè)奇數(shù)階冪零Hall子群且它的所有極大子群在G中正規(guī).

證明假設(shè)定理不成立,取G為極小階反例.分以下幾步證明定理:

設(shè)P/N∈Sylp(G/N)且M/N是P/N的極大子群,其中p是|G/N|的任一素因子,則存在Gp∈Sylp(G)滿足P=GpN且M∩Gp是Gp的極大子群.顯然M/N=(M∩Gp)N/N.由引理1(2)知M/N在G/N中δN/N-置換,這表明G/N滿足定理?xiàng)l件,因此G/N=DN/NC/N是超可解的,其中DN/N=(G/N)N是G/N的一個(gè)奇數(shù)階冪零Hall子群且它的所有極大子群在G/N中正規(guī).

(3)D是G的冪零Hall子群.由(2)知G′是冪零的,因此D=GN是冪零的.下證D是G的Hall子群.如果D不是G的Hall子群,則G≠D≠1.取P∈Sylp(D)滿足1

(i) 若N是G的極小正規(guī)子群且N≤D,則N=Op(D)=P是D的Sylowp-子群.因?yàn)镹是G的極小正規(guī)子群且N≤D,由(2)知N是素?cái)?shù)冪階群.假設(shè)|N|=qn,其中q∈π(D)且p≠q.由(1)知,D/N=(G/N)N,G/N的Hall子群.因?yàn)镻N/N∈Sylp(D/N),所以PN/N∈Sylp(G/N),故P∈Sylp(G),矛盾.從而p=q且N=Op(D)=P.

(iv) (3)的最后矛盾.

(5) |D|是奇數(shù).若2∈π(D),則D有極大子群M滿足|G/M|=2.所以G/M=CG(D/M)且D/M≤Z(G/M),故G/M是冪零的,D≤M,矛盾.因此|D|是奇數(shù).

(2)～(5)表明定理結(jié)論對(duì)G成立,與G的選取矛盾.因此結(jié)論成立.