哥氏耦合系統(tǒng)中的自發(fā)對(duì)稱破缺

周 鑫,孫曉鵬,肖定邦,吳學(xué)忠

（國(guó)防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073）

0 引言

耦合動(dòng)力學(xué)是當(dāng)前微納機(jī)電系統(tǒng)的研究前沿,其在新型微納傳感器研制、現(xiàn)有微納器件性能調(diào)控方面具有重要的價(jià)值。以往的研究通常關(guān)注耦合系統(tǒng)的本征特性,即系統(tǒng)在激勵(lì)停止之后本身在耦合條件下的固有輸出。主要研究方法是在時(shí)域衰減信號(hào)中提取有用信息,典型的研究是在耦合本征態(tài)中研究經(jīng)典絕熱或非絕熱相變[1]、相干調(diào)控[2-3]、動(dòng)力學(xué)操控[4-5]、幾何相位以及拓?fù)涮匦訹6-7]等。耦合系統(tǒng)對(duì)外界激勵(lì)的響應(yīng)中也蘊(yùn)含了豐富而有趣的信息,然而當(dāng)前人們對(duì)耦合響應(yīng)的研究?jī)H限于在幅頻響應(yīng)中的反交叉效應(yīng)[5],對(duì)相頻響應(yīng)的認(rèn)識(shí)仍然不夠。另外,在考慮幅值和相位的復(fù)平面內(nèi),不動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)被預(yù)測(cè)為將會(huì)存在著與耗散相關(guān)的對(duì)稱性破缺或經(jīng)典相變,然而該現(xiàn)象目前尚未被觀測(cè)到。

本文以一種典型的微機(jī)電系統(tǒng)為對(duì)象,重點(diǎn)研究了該耦合系統(tǒng)中與相位相關(guān)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。該微機(jī)電系統(tǒng)通過哥氏效應(yīng)來(lái)實(shí)現(xiàn)近似簡(jiǎn)并模態(tài)之間的可控耦合,同時(shí)通過靜電負(fù)剛度效應(yīng)實(shí)現(xiàn)固有頻率以及簡(jiǎn)并條件的調(diào)控。哥氏耦合是一種特殊的聲學(xué)耦合特性,它是固體振動(dòng)陀螺的工作基礎(chǔ)。如果轉(zhuǎn)換到行波系,哥氏耦合等效為旋轉(zhuǎn)Doppler 效應(yīng)[8],或者是一種Zeeman 效應(yīng)在聲學(xué)領(lǐng)域的等效[9],因?yàn)樗ǔ？梢砸鸨菊黝l率的偏移。在本研究中,通過轉(zhuǎn)速來(lái)調(diào)節(jié)哥氏耦合強(qiáng)度,可以在一種相位鎖定的穩(wěn)態(tài)中觀測(cè)到自發(fā)對(duì)稱性破缺現(xiàn)象以及對(duì)應(yīng)的二階相變。發(fā)生相變的臨界點(diǎn),正是強(qiáng)弱耦合的分界點(diǎn)。

1 哥氏耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模分析

1.1 嵌套環(huán)式微系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及模態(tài)特性

本文的研究對(duì)象為如圖1所示的微機(jī)電嵌套環(huán)式諧振器,圖1（a）為結(jié)構(gòu)顯微鏡照片,圖1（b） 和圖1（c）分別為諧振結(jié)構(gòu)示意和結(jié)構(gòu)剖面圖。根據(jù)線彈性理論,該諧振器中會(huì)存在一系列本征聲學(xué)模態(tài),對(duì)應(yīng)的本征值給出了一系列固有頻率。本文重點(diǎn)關(guān)注如圖1（d）所示的波數(shù)（n）為2 的簡(jiǎn)并模態(tài),可將圖1（d） 中左側(cè)的模態(tài)定義為主動(dòng)模態(tài),該模態(tài)受到一個(gè)交變驅(qū)動(dòng)力,圖中的X軸為主動(dòng)模態(tài)的波腹軸,其波腹位移定義為x;右側(cè)的模態(tài)定義為被動(dòng)模態(tài),該模態(tài)上沒有外界施加的驅(qū)動(dòng)力,圖中的Y軸為被動(dòng)模態(tài)的波腹軸,其波腹位移定義為y。

圖1 微機(jī)電嵌套環(huán)式諧振器示意圖Fig.1 Diagram of MEMS nested ring resonator

1.2 嵌套環(huán)式微系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)特性

如圖1（b）所示,當(dāng)在諧振器上施加面外角速度Ω時(shí),二階簡(jiǎn)并模態(tài)之間會(huì)因?yàn)楦缡闲?yīng)實(shí)現(xiàn)耦合,一個(gè)模態(tài)的動(dòng)力學(xué)方程中會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)模態(tài)的運(yùn)動(dòng)速率項(xiàng)。當(dāng)不考慮諧振結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)誤差時(shí),該耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為[10]

式（1）中,γ1和γ2分別為兩模態(tài)的阻尼率,ω1和ω2分別為兩模態(tài)的諧振角頻率,F和ωd分別為沿X軸方向施加驅(qū)動(dòng)力的幅值和角頻率,k為哥氏耦合系數(shù)。振動(dòng)陀螺是一個(gè)經(jīng)典的二能級(jí)（Two-level System）系統(tǒng),旋波近似方法[11]非常適合于解決類似的耦合二能級(jí)動(dòng)力學(xué)方程組,該方法將動(dòng)力學(xué)方程放在以頻率為-ωd旋轉(zhuǎn)的框架中,即方程左右兩邊同時(shí)乘以e-iωdt,然后忽略動(dòng)力學(xué)方程中的快速交變項(xiàng)（頻率絕對(duì)值不小于2ωd）來(lái)得到近似解。首先,假設(shè)式（1）的解為如下形式

式（2）中,A和B為復(fù)數(shù)振幅,c.c.指代前面的共軛項(xiàng)。當(dāng)忽略復(fù)數(shù)振幅對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)時(shí),可以推導(dǎo)出近似解x和y對(duì)時(shí)間的一階和二階導(dǎo)數(shù)

將式（2）、式（3）代入式（1）中,在旋轉(zhuǎn)框架中,即方程左右兩邊同時(shí)乘以e-iωdt,并消除兩邊的快速交變項(xiàng),可得近似解為

下面分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng): 在穩(wěn)態(tài)情況下,所有的狀態(tài)變量幾乎沒有變化,此時(shí)==0,將該穩(wěn)態(tài)條件帶入式（4）中,可以得到復(fù)數(shù)振幅的穩(wěn)態(tài)解為

式（5）中,

由式（2）可以得到

主動(dòng)軸與被動(dòng)軸的相位響應(yīng)為

在本文研究中,通過對(duì)主動(dòng)軸的相位鎖定來(lái)保證其始終處在諧振狀態(tài),被動(dòng)軸位移信號(hào)通過主動(dòng)軸的位移信號(hào)來(lái)解調(diào)。在不考慮各種制造誤差影響的情況下,研究主動(dòng)軸的相位鎖定狀態(tài),即通過調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)頻率來(lái)保證主動(dòng)軸的相位?1始終鎖定在-90°。由式（13）可知,此時(shí)a1c+a2d=0,代入式（6）～式（10）中的a1、a2、c和d,可得

式（14）中,

這是一個(gè)關(guān)于ω2d的一元三次方程,一般情況下并不能通過因式分解來(lái)降冪。本文采用卡當(dāng)公式法求ω2d的一般解,首先可將式（14） 化為如下形式

式（18）的解為

式（21）中,實(shí)數(shù)解就決定了相位鎖定后驅(qū)動(dòng)頻率隨外界角速度輸入的變化軌跡,由Xi（i=1,2,3）可以求得

在模態(tài)匹配時(shí),不妨令ω0=ω1=ω2,式（14）可以通過因式分解化簡(jiǎn)為

此時(shí),方程的解為

式（23） 中,判別式Δ=（2ω20-γ22+4k2Ω2）2-4ω40。當(dāng)Δ>0 即時(shí),解ω2d2和ω2d3為實(shí)數(shù)解,否則是沒有實(shí)際意義的復(fù)數(shù)解。因此,當(dāng)時(shí),只有ωd1能夠使得主動(dòng)軸相位保持在-90°;而當(dāng)時(shí),ωd1、ωd2和ωd3都能使主動(dòng)軸相位保持在-90°,不過在ωd1處會(huì)出現(xiàn)反諧振（Antiresonance）,因此諧振器驅(qū)動(dòng)頻率只會(huì)鎖定在ωd2和ωd3中的一個(gè)。

2 自發(fā)對(duì)稱破缺現(xiàn)象仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 耦合系統(tǒng)模態(tài)匹配時(shí)結(jié)果分析

對(duì)于一個(gè)模態(tài)匹配諧振器的開環(huán)工作狀態(tài),當(dāng)主動(dòng)模態(tài)和被動(dòng)模態(tài)頻率均為3942.35Hz,即頻差為零,阻尼率γ1和γ2均取0.74,哥氏耦合系數(shù)k為0.85,則主動(dòng)軸的輸出響應(yīng)受角速度輸入的影響如圖2所示。

圖2（a）和圖2（b）分別為不同轉(zhuǎn)速下諧振器主動(dòng)軸方向幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)的仿真結(jié)果,其中的黑色虛線是由式（23） 得到的主動(dòng)軸相位鎖定在-90°后可能的軌線。當(dāng)外界角速度由0 逐漸增大但小于臨界值時(shí),驅(qū)動(dòng)頻率保持定值ωd=ω1=ω2。當(dāng)角速度進(jìn)一步增大并超過時(shí),諧振頻率將出現(xiàn)“草叉” 分叉,形成三個(gè)分支。由于中間支的原諧振頻率（圖中白色虛線部分）處會(huì)出現(xiàn)反諧振,故理論上諧振器的驅(qū)動(dòng)頻率會(huì)鎖定在兩側(cè)的某一個(gè)分支上,驅(qū)動(dòng)頻率也將隨著外界轉(zhuǎn)速的增大而減?。ㄗ蠓种В?或增大（右分支）,產(chǎn)生自發(fā)性對(duì)稱破缺。

圖2（c）和圖2（d）分別為不同轉(zhuǎn)速下諧振器主動(dòng)軸方向幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,利用靜電負(fù)剛度效應(yīng)可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)模態(tài)的頻率匹配?？梢钥闯鲈趻哳l過程中,隨著轉(zhuǎn)速增大,諧振器的諧振頻率在臨界值處出現(xiàn)分叉,中間支反諧振狀態(tài)下雖然達(dá)到了相位鎖定條件,但其幅值并未響應(yīng),兩側(cè)分支的變化軌跡與仿真結(jié)果一致。

圖2 模態(tài)完全匹配時(shí)諧振器主動(dòng)軸響應(yīng)圖Fig.2 Response diagram of the resonator on the driving shaft during modal matching

圖3所示為另一個(gè)模態(tài)匹配的微諧振器中觀測(cè)到的鎖相頻率在不同外界轉(zhuǎn)速下的變化規(guī)律。圖中的實(shí)線為理論變化結(jié)果,在外界轉(zhuǎn)速低于臨界值時(shí)鎖相頻率保持不變（橙線部分）,轉(zhuǎn)速達(dá)到臨界值后鎖相頻率將以狀態(tài)1 逐漸增大或以狀態(tài)2 逐漸減小。圖中的綠色數(shù)據(jù)點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)測(cè)得鎖相頻率,當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到臨界值后,耦合系統(tǒng)的某種對(duì)稱性被破壞,諧振頻率沿著狀態(tài)1 中的軌跡而逐漸增大,即出現(xiàn)了自發(fā)性對(duì)稱破缺。對(duì)應(yīng)于耦合系統(tǒng)本身,該現(xiàn)象預(yù)示著在臨界值處的某種振動(dòng)狀態(tài)的變化（二階相變）,然而該相變的序參量觀測(cè)仍然有待進(jìn)一步研究。

圖3 模態(tài)匹配諧振器在不同轉(zhuǎn)速下鎖相頻率的變化規(guī)律Fig.3 Variation of phase-locked frequency for modal matching resonator at different rotating rates

2.2 耦合系統(tǒng)模態(tài)不匹配時(shí)結(jié)果分析

進(jìn)一步考慮諧振器兩模態(tài)間存在一定頻差（大小等于其帶寬Bw=0.12Hz）的情況,保持被動(dòng)模態(tài)諧振頻率ω2=3942.35Hz,將主動(dòng)模態(tài)諧振頻率調(diào)節(jié)為ω1=3942.23Hz,使得ω1-ω2=-Bw。通過代入求解式（18）可以得到不同轉(zhuǎn)速下諧振器主動(dòng)軸方向幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)的仿真結(jié)果,如圖4（a）和圖4（b）所示,主動(dòng)軸相位鎖定在-90°時(shí),鎖相頻率仍將產(chǎn)生分支,但此時(shí)的分岔失去平衡。此時(shí),雖然圖4（a）中白色虛線軌跡l1仍處于反諧振狀態(tài),實(shí)際工作中不被鎖定,軌跡l2上的相位雖然也能達(dá)到-90°,但該部分與諧振器初始狀態(tài)（角速度輸入為0 時(shí)的狀態(tài)）脫離,也不被鎖定,實(shí)際中驅(qū)動(dòng)頻率按照?qǐng)D中黑色虛線的軌跡逐漸減小,此時(shí)將不再產(chǎn)生如圖3所示的對(duì)稱性破缺現(xiàn)象。圖4（c）和圖4（d）分別為不同轉(zhuǎn)速下諧振器主動(dòng)軸方向幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,與仿真結(jié)論相符。

相應(yīng)地,當(dāng)調(diào)整諧振器主動(dòng)模態(tài)諧振頻率ω1=3942.35Hz、被動(dòng)模態(tài)諧振頻率ω2=3942.23Hz即ω1-ω2=Bw時(shí),不同轉(zhuǎn)速下諧振器主動(dòng)軸方向幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)的仿真結(jié)果如圖5（a）和圖5（b）所示,對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如圖5（c）和圖5（d）所示?？梢钥闯?此時(shí)的驅(qū)動(dòng)頻率變化軌跡沿圖中黑色虛線的軌跡逐漸增大,與圖4中所示ω1-ω2=-Bw時(shí)的軌跡相反?？梢娫陂_環(huán)模式下,諧振器的模態(tài)匹配是鎖相頻率出現(xiàn)自發(fā)對(duì)稱破缺的必要條件。

圖4 存在小頻差（ω1-ω2=-Bw）時(shí)諧振器主動(dòng)軸響應(yīng)圖Fig.4 Response diagram of the resonator on the driving shaft with small frequency difference when ω1-ω2=-Bw

圖5 存在小頻差（ω1-ω2=Bw）時(shí)諧振器主動(dòng)軸響應(yīng)圖Fig.5 Response diagram of the resonator on the driving shaft with small frequency difference when ω1-ω2=Bw

3 結(jié)論

本文通過建立哥氏耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)解析模型,仿真分析并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了通過改變外界轉(zhuǎn)速進(jìn)而調(diào)控哥氏耦合強(qiáng)度,可以實(shí)現(xiàn)諧振器在模態(tài)匹配時(shí)鎖相頻率的自發(fā)對(duì)稱破缺,其發(fā)生的臨界點(diǎn)也是系統(tǒng)耦合強(qiáng)弱的分界點(diǎn),與諧振器自身結(jié)構(gòu)（阻尼率和哥氏耦合系數(shù)等）有關(guān)。本文研究預(yù)示著在該系統(tǒng)中可能存在一階相變（非連續(xù)相變）、奇異點(diǎn)（Singularity）效應(yīng)以及突變（Catastrophe）效應(yīng),這些現(xiàn)象對(duì)微機(jī)電諧振器性能及工作模式等的潛在影響值得后續(xù)進(jìn)行更深入的探討。