大型拋物柱面天線展開動力學(xué)分析與展開過程控制

陳金寶，宋志成，陳傳志，董家宇，王治易，張 俞

(1. 南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016；2. 深空星表探測機(jī)構(gòu)技術(shù)工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016；3. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201100)

0 引 言

隨著空間大型可展開天線的發(fā)展,星載天線的口徑也越來越大[1-6],而大尺度引起的機(jī)構(gòu)柔性對天線展開過程的影響也越來越明顯[7],導(dǎo)致其存在顯著的柔性體大變形與大位移耦合現(xiàn)象,難以得到展開驅(qū)動力與各展開參數(shù)間的解析模型,而明確機(jī)構(gòu)運(yùn)動參數(shù)與驅(qū)動力的映射關(guān)系是后續(xù)高效、高穩(wěn)定控制的基礎(chǔ),為提高空間天線展開可靠性和部件受載安全性,必須全面識別天線展開過程中的動力學(xué)特性。為此,各學(xué)者針對天線展開過程中的動力學(xué)特性展開了較為深入的研究[8-9]。為精準(zhǔn)描述可展天線柔性部件的彈性變形與大范圍運(yùn)動的耦合效應(yīng),絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[10]備受青睞。杜雪林等[11]采用Gerstmayr提出的低階柔性梁單元離散周邊桁架式天線支撐機(jī)構(gòu)的柔性桿件,并采用過渡單元模擬反射面索網(wǎng)的力學(xué)行為,建立了天線-張拉索的動力學(xué)模型。彭云等[12]基于幾何精確梁建立了大型環(huán)形天線的動力學(xué)模型,并通過展開過程優(yōu)化分析提升了天線展開過程平穩(wěn)性。馬小飛等[13]基于幾何精確梁研究了大型橢圓環(huán)形桁架天線展開過程中柔性部件的力學(xué)行為。然而現(xiàn)有研究大都集中于周邊式可展天線領(lǐng)域,針對拋物柱面天線這類具有大尺度、多閉環(huán)、強(qiáng)耦合特點(diǎn)的背殼式可展天線尚處于構(gòu)型設(shè)計(jì)階段[14-16],其展開過程動力學(xué)特性的研究并無相關(guān)權(quán)威文獻(xiàn)可查。背殼式天線結(jié)構(gòu)復(fù)雜,支撐桁架眾多,運(yùn)動副繁多且種類復(fù)雜,直接導(dǎo)致其動力學(xué)模型建立極為困難;同時,現(xiàn)有研究往往為了降低計(jì)算量采用不承受剪切變形與扭轉(zhuǎn)變形的縮減梁單元[17],難以精確模擬拋物柱面天線這種背殼式桁架的受力特性,為了精確模擬其真實(shí)的力學(xué)行為,不得不用較為稠密的三維全參數(shù)梁單元來離散可展支撐桁架,最終組集的動力學(xué)方程規(guī)模往往相當(dāng)龐大,導(dǎo)致計(jì)算耗時。面對大規(guī)模的非線性微分代數(shù)方程組,顯示積分求解算法往往難以收斂,縱然是降低步長也難以實(shí)現(xiàn)長歷時的仿真計(jì)算。因此,需采用隱式積分算法,這也導(dǎo)致在每個迭代步需求解彈性力雅可比矩陣,而求解彈性力雅可比將進(jìn)一步增加動力學(xué)方程的求解難度和耗時量[18]。

現(xiàn)有大型空間天線的展開控制方面研究往往針對環(huán)形周邊式等主動展開天線,而本文所研究的大型拋物柱面天線則采用被動形式展開,其展開驅(qū)動力由分布在剛性驅(qū)動組件上的圓柱彈簧提供,當(dāng)釋放外部約束后,可由收攏位形下展開至展開位形,若不控制彈簧勢能的釋放速率,滑塊速度將隨著展開過程逐漸加快并在鎖定階段具備非常大的速度,這必然導(dǎo)致各構(gòu)件承受劇烈的沖擊。

綜上所述,針對大型拋物柱面可展天線,如何快速建立其精確的動力學(xué)模型,并建立高效的展開過程控制策略尚有待更進(jìn)一步的研究。為此,為保障拋物柱面可展天線在軌穩(wěn)定展開,確保各結(jié)構(gòu)部件的力學(xué)性能,本文提出了針對大型拋物柱面天線的模塊化動力學(xué)組裝方法,并基于模塊化思想進(jìn)一步建立了逐塊縮聚與遞歸求解的高維微分方程算法,通過非線性展開過程反饋控制策略降低了可展天線展開過程中驅(qū)動滑塊的展開速度峰值,提高了拋物柱面天線在軌展開過程中的同步性。

1 拋物柱面可展天線支撐機(jī)構(gòu)的基本梁單元

本文研究的拋物柱面可展天線在展開過程中,各剛性驅(qū)動件、剛性連接件是變形微小的粗短桿,可采用NCF(Natural coordinates formulation)模型[19]描述;對具有大變形、大轉(zhuǎn)動的細(xì)長連桿,可采用ANCF(Absolute nodal coordinate formulation)模型描述。

1.1 基于NCF的剛性梁單元

拋物柱面可展支撐機(jī)構(gòu)由驅(qū)動組件存儲的彈性勢能推動其展開,在展開過程中,可以忽略驅(qū)動組件的彈性變形,故將驅(qū)動組件中的各連接件視為剛體,進(jìn)而可采用能得到常數(shù)質(zhì)量矩陣的NCF單元。

圖1 NCF單元Fig.1 NCF element

如圖1所示的空間NCF單元,采用全局坐標(biāo)系中空間剛體上兩端點(diǎn)的位置坐標(biāo)[ri,rj]和兩個相垂直的共面單位矢量坐標(biāo)[u,v]作為廣義坐標(biāo)qe,即

(1)

則由(ri,rj,u,v)可構(gòu)造NCF剛性梁單元的局部坐標(biāo)系Oξηζ,記剛體上任意一點(diǎn)p在局部坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)為[Lc1,c2,c3],其中L為剛性梁的長度,點(diǎn)p在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)列陣可表示為

rp=Cpqe

(2)

式中:Cp∈3×12,由于點(diǎn)p在局部坐標(biāo)系中的位置是不變的,即c1,c2,c3為常數(shù),因此矩陣Cp為常數(shù)矩陣。

1.2 基于ANCF的柔性全參數(shù)梁單元

拋物柱面天線此類背架式天線因其復(fù)雜的連接形式,同時存在著沿弧面方向的分力使可展支撐機(jī)構(gòu)中的連接單元承受剪切力與扭轉(zhuǎn)力,若采用ANCF縮減梁單元難以準(zhǔn)確模擬拋物柱面可展機(jī)構(gòu)中柔性梁因扭轉(zhuǎn)與剪切效應(yīng)對展開過程的影響[11],因此,本文采用能精確模擬柔性部件受力特性的ANCF全參數(shù)梁單元,如圖2所示。

圖2 ANCF全參數(shù)梁單元Fig.2 ANCF full-parameter beam element

相較于縮減梁單元,全參數(shù)梁引入了在梁截面內(nèi)的位移梯度,從而梁端點(diǎn)ei包含12個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),并有

(3)

(4)

根據(jù)單元連續(xù)性可知,梁單元內(nèi)任意點(diǎn)p的全局位置坐標(biāo)rp是梁端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的插值函數(shù),用形函數(shù)表示為

rp=S(x,y,z)e=

(5)

式中:I∈3×3為單位矩陣;插值形函數(shù)的具體形式如下:

(6)

式中:L表示梁單元長度。

2 拋物柱面可展支撐機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的模塊化組裝方法

本文研究的拋物柱面可展支撐桁架如圖3所示,該機(jī)構(gòu)由三類基本子環(huán)組成,分別是弧面子環(huán)(BUD)、柱面子環(huán)(MBUG)與輔助面子環(huán)(ABUG),C0為衛(wèi)星機(jī)械臂與天線的連接點(diǎn)。需要指出的是,拋物柱面可展支撐機(jī)構(gòu)輔助面在提高系統(tǒng)整體穩(wěn)定性的同時還可以提供輔助驅(qū)動,促使天線展開。

圖3 拋物柱面可展支撐桁架Fig.3 Parabolic cylindrical deployable truss

其中,BUD,MBUG和ABUG三類子環(huán)的幾何構(gòu)型相同但幾何尺寸不同。

圖4 基本可展單元Fig.4 Configuration of BUD and MBUG

可展單元,如圖4所示其展開驅(qū)動力由作用于滑塊上的預(yù)壓彈簧提供,推動滑塊a在豎向連桿上移動,從而同步帶動各子環(huán)展開,直到連桿de觸碰限位點(diǎn)H,各桿件的運(yùn)動隨之停止,機(jī)構(gòu)鎖定,滑塊展開到位。

該拋物柱面可展支撐機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型的建立過程是極為復(fù)雜的,其具體體現(xiàn)在建立大規(guī)模廣義坐標(biāo)之間的約束方程,以及約束方程雅可比矩陣的建立過程。拋物柱面天線是包含大量鉸接約束、滑動約束與剛接約束的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng),若逐一建立該系統(tǒng)的約束方程,將面臨繁重的工作量。值得一提的是,往往此類背殼式大型天線系統(tǒng),其整體構(gòu)型可拆分為若干子模塊,如拋物柱面天線可拆分為25個主驅(qū)動子模塊與16個輔助驅(qū)動子模塊,如圖5所示。

圖5 組裝構(gòu)型Fig.5 Assembly configuration

顯然圖5中的25個主驅(qū)動子模塊均由BUD子環(huán)與MBUG子環(huán)組成,16個輔助驅(qū)動子模塊均由ABUG子環(huán)組成,根據(jù)各子模塊內(nèi)子環(huán)的拼接方式,可歸類為表1中的9種主驅(qū)動基本模塊I0～I(xiàn)8和輔驅(qū)動基本模塊I9;進(jìn)一步分析I0～I(xiàn)8模塊的幾何組裝構(gòu)型可知,I1～I(xiàn)8這8類基本模塊均可通過對基本模塊I0執(zhí)行切割剔除部分子環(huán)直接得到。

綜合上述分析,大型拋物柱面可展支撐機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型可拆分為25個主驅(qū)動動力學(xué)子模塊和16個輔助驅(qū)動動力學(xué)子模塊,且25個動力學(xué)子模塊是由9種基本動力學(xué)模塊組成,其中I1～I(xiàn)8是I0的子集,I0模塊幾何構(gòu)型如圖6所示,其由兩個BUD與兩個MBUG組成,I9模塊均由ABUG子環(huán)組成。

圖6 主驅(qū)動基本模塊Fig.6 Basic module of main driver

由于三類子環(huán)均具有如圖4所示相同的幾何構(gòu)型,可分別采用NCF梁劃分剛性構(gòu)件(梁截面為圓形截面),采用ANCF全參數(shù)梁劃分柔性構(gòu)件(梁截面為圓環(huán)形截面),在考慮計(jì)算精度并兼顧計(jì)算代價的同時,本文對子環(huán)中每根柔性構(gòu)件用5個ANCF梁單元來劃分。子環(huán)中各連接件的物理參數(shù)與幾何參數(shù)如表2所示。

表2 物理與幾何參數(shù)Table 2 Physical parameters and geometric parameters

BUD,MBUG與ABUG子環(huán)中的剛性驅(qū)動組件與剛性連接組件如圖7所示,采用NCF單元將剛性驅(qū)動組件劃分為7個梁單元{k′k,c′c,a′a, f′f,k′f′,ab,cd},將剛性連接組件劃分為3個梁單元{g′g,h′h,gh},在建立動力學(xué)方程時,本文將滑塊的質(zhì)量與各連接節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量以質(zhì)量點(diǎn)的形式平均附加到相鄰的NCF梁的端點(diǎn)上。

圖7 剛性組件Fig.7 Rigid components

對于剛性驅(qū)動組件,由于滑塊在k′f′梁對應(yīng)的矢量上滑動,與ab梁對應(yīng)的矢量始終滿足如下方程:

(7)

同時,θ需滿足如下幾何方程式:

(8)

上述方程組即可描述滑塊的滑動約束,即

(9)

同時剛性組件與柔性梁組成的子環(huán)系統(tǒng)含有的剛接約束與旋轉(zhuǎn)鉸約束可分別表示為

(10)

式中:i,j表示鉸接或者剛接的兩個節(jié)點(diǎn),ri,α(α=x,y,z)表示該點(diǎn)的局部坐標(biāo)軸,ri,u表示鉸接約束中的旋轉(zhuǎn)軸矢量,對于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法中的約束方程表達(dá)可具體參考文獻(xiàn)[20]。需要指出的是,為了避免ANCF梁單元的泊松閉鎖效應(yīng),本文在仿真計(jì)算時將泊松比設(shè)定為0,那么基于ANCF-NCF方法建立的I0模塊動力學(xué)方程表示為

(11)

3 高維微分動力學(xué)方程組逐塊縮聚與遞歸求解算法

拋物柱面天線系統(tǒng)約束方程通過拉格朗日乘子法引入到整體動力學(xué)方程中,從而建立描述多體系統(tǒng)動力學(xué)特性的指標(biāo)-3(Index-3)微分-代數(shù)方程組(DAE),對于該微分-代數(shù)方程組的求解方法,目前常用的方法有Baumgarte方法、Bathe積分策略、Newmark方法、HHT-I3方法與Generalized-a方法等,田強(qiáng)等[21]全面對比了各類數(shù)值求解算法的優(yōu)缺點(diǎn),本文采用Newmark算法來求解上述微分代數(shù)方程組,Newmark算法通過差分直接將動力學(xué)方程離散為代數(shù)方程組:

(12)

其中,

(13)

式中:h為積分步長,Newmark算法可通過參數(shù)η,γ,來調(diào)整求解過程的計(jì)算精度與效率,往往為了使得Newmark算法穩(wěn)定可取γ≥1/2,η≥(γ+1/2)2/4。本部分基于Newmark方法,以廣義加速度與拉格朗日乘子為迭代未知變量,在第k個牛頓迭代過程中,均需求解如下代數(shù)方程組:

(14)

式中:

(15)

所以有

(16)

由于拋物柱面天線廣義坐標(biāo)數(shù)目與約束方程數(shù)目量級均非常高,導(dǎo)致微分代數(shù)方程(14)的維度非常高,而超大型矩陣的求逆過程是極為耗時甚至是無法求解的,為了求解上述微分方程組,本文在動力學(xué)方程模塊化的思想上,進(jìn)一步基于模塊化提出逐塊縮聚與遞歸的求解方法。

借鑒于靜力縮聚思想,將拋物柱面可展支撐機(jī)構(gòu)的廣義坐標(biāo)分模塊劃分為q={qj|j=1,2,…,41},qj為Hj模塊中的廣義坐標(biāo)。Hj模塊中的廣義坐標(biāo)數(shù)目為u,該模塊內(nèi)所包含的約束方程數(shù)目為s。此時,不包含Hj模塊的廣義坐標(biāo)總數(shù)為v,不包含Hj模塊的約束方程總數(shù)為t,從而,矩陣方程(14)表示為如下分塊矩陣形式:

(17)

式中:

(18)

方程(17)中下標(biāo)帶b的矢量或矩陣屬于被縮聚的模塊Hb,下標(biāo)帶i的矢量或矩陣為待縮聚參數(shù),將其重新組裝為如下的分塊形式:

(19)

式中:

(20)

(21)

將模塊Hb中的未知變量縮聚:

xb=(Θbb)-1(Gb-Θbixi)

(22)

代回方程式(19),獲得下一個待縮聚的矩陣方程:

Eixi=Pi

(23)

式中:

Ei=Θii-Θib(Θbb)-1Θbi,Pi=Gi-Θib(Θbb)-1Gb

(24)

重復(fù)步驟(17)～(22),逐一縮聚子模塊H1～H40,然后再遞歸求解各未知變量,該逐塊縮聚與遞歸求解步驟可由圖8表示。

圖中,df為收斂判斷參數(shù),d0=0.001為常數(shù)。顯然,求解縮聚模塊xb=(Θbb)-1(Gb-Θbixi)的微分方程要高效容易的多,將最終得到的加速度增量與拉格朗日乘子增量代回方程(16),便可實(shí)現(xiàn)大型柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)微分方程組的求解。

圖8 逐塊縮聚與遞歸求解算法Fig.8 Module-by-module condensation and recursive solution algorithm

4 大型拋物柱面天線展開動力學(xué)分析

拋物柱面天線在完全收攏狀態(tài)下,難以通過分布在剛性驅(qū)動組件上的圓柱彈簧使其展開,此時由分布在旋轉(zhuǎn)鉸關(guān)節(jié)上的扭簧提供驅(qū)動力使其展開到驅(qū)動位形,再由圓柱彈簧提供展開驅(qū)動力。待可展天線展開到驅(qū)動位形時,其驅(qū)動形式變換為由分布在剛性驅(qū)動組件上的圓柱彈簧組成,其中主驅(qū)動彈簧25個、輔助驅(qū)動彈簧20個,主驅(qū)動彈簧驅(qū)動力Qz及輔助驅(qū)動彈簧驅(qū)動力Qf與滑塊行程之間的函數(shù)關(guān)系為

(25)

故此,拋物柱面可展天線動力學(xué)微分方程的初始邊界條件包含天線初始構(gòu)型及所受的廣義外力,

(26)

式中:q0是可展天線驅(qū)動位形下各節(jié)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)。根據(jù)圖5可知,S表示滑塊相對局部坐標(biāo)原點(diǎn)o的距離,隨著天線展開,那么S的值一直減小。在彈簧力開始作用時主驅(qū)動滑塊相對o點(diǎn)的距離為277 mm,輔助驅(qū)動滑塊相對o點(diǎn)的距離為276.6 mm,展開到位鎖緊時各滑塊相對o點(diǎn)的距離均為160 mm。根據(jù)圖8所示的求解流程,可以求解得到拋物柱面可展天線在展開過程中各柱面中心主驅(qū)動滑塊相對o點(diǎn)的位置軌跡。

圖9給出了3、8、13、18、23號滑塊的位置曲線,該五個滑塊均為位于第一、第二、第三、第四與第五號柱面的中間滑塊,可以很明顯的看到,在展開到19 s之后,可展機(jī)構(gòu)不同柱面呈現(xiàn)出較大的展開不一致性,由圖9可知第一個柱面展開較快,第二個柱面展開較慢。

圖9 不同柱面中心滑塊位置軌跡Fig.9 Tracks of sliders on different cylinders

展開全過程中任意兩滑塊的最大位置差值如圖10所示,其表征了可展機(jī)構(gòu)展開過程的同步性,同步性越高,位置差值越小,反之越大。由圖中所示結(jié)果可知,可展支撐機(jī)構(gòu)在展開到19.5 s時位置差值顯著增加,在20.6 s時達(dá)到68.41 mm的峰值,隨后瞬速減弱,直到所有柱面均展開到位。

圖10 任意兩滑塊的最大位置差值Fig.10 The maximum position difference between any two sliders

在滑塊位置差值最大時天線支撐機(jī)構(gòu)的第一個柱面已經(jīng)展開到位,此時可展支撐機(jī)構(gòu)的展開構(gòu)型如圖11所示。

圖11 展開位置差值最大時可展支撐機(jī)構(gòu)展開構(gòu)型Fig.11 The deployed configuration of the deployable supporting structure when the position difference is maximum

從圖11可以發(fā)現(xiàn),第一個柱面基本展開到位,第二個柱面展開程度最低。由于各主驅(qū)動柱面滑塊展開速度趨勢一致,此處給出了拋物柱面可展天線支撐機(jī)構(gòu)第三號主驅(qū)動柱面各滑塊的速度曲線,如圖12所示。

圖12 滑塊速度曲線Fig.12 Speed of the slider

在這里,滑塊速度為負(fù)值表示展開狀態(tài),滑塊速度為正值表示收攏狀態(tài)。由滑塊速度軌跡可知拋物柱面可展支撐機(jī)構(gòu)在展開前19 s內(nèi)速度增長非常緩慢,各柱面上的滑塊速度均小于0.02 m/s,此時各滑塊展開位置在0.25 m附近,即在可展支撐機(jī)構(gòu)展開前19 s,滑塊行程僅為0.027 m;在19.5 s之后各滑塊速度出現(xiàn)飛速遞增直至各可展支撐單元展開到位,滑塊的最大速度峰值達(dá)到2.996 m/s,且在展開末期滑塊速度變化劇烈,表明可展天線呈現(xiàn)出劇烈振動。綜合上述分析可知該可展支撐機(jī)構(gòu)的展開過程呈現(xiàn)出高度的非線性,展開末時滑塊速度過快,在到位鎖定時對可展支撐機(jī)構(gòu)造成較大沖擊,激發(fā)天線系統(tǒng)振動,影響整體衛(wèi)星系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此,需制定合理的控制方法保障天線展開過程中的穩(wěn)定性。

5 大型拋物柱面天線展開過程控制

5.1 基于被動展開的雙邊緩釋方案設(shè)計(jì)

本文基于所研究的拋物柱面天線被動展開控制形式,制定了沿主驅(qū)動柱面方向的雙邊緩釋方案對其展開過程進(jìn)行控制,如圖13所示。

圖13 緩釋驅(qū)動方案Fig.13 Drive strategy

緩釋驅(qū)動方案為采用一條柔索貫穿柱面方向上的多個基本折展單元,由于摩擦力、鉸鏈黏性阻尼等因素的存在,柔索每經(jīng)過一個傳動件,其上的張力就衰減一部分,影響天線的展開同步性。為了降低因摩擦、阻尼等因素引起的天線展開過程不一致,本文將緩釋驅(qū)動裝置設(shè)置在柱面方向上的兩側(cè),通過由兩側(cè)向中心同步釋放柔索,控制展開速度。但由于摩擦的影響,作用于各滑塊上的力顯然要比上述數(shù)值小,馬小飛等[13]對此有相關(guān)研究,指出柔索驅(qū)動力以冪指的形式衰減,該衰減的驅(qū)動力定義如下:

Fi+1=cdFi

(27)

式中:cd為張力衰減系數(shù),與滑輪摩擦系數(shù)相關(guān)。根據(jù)方程(27)可知,隨著拉索經(jīng)過的滑輪越多,摩擦引起的影響越大,緩釋力衰減的越多。

為此,為保障同一柱面作用于各滑塊上的緩釋力大小接近,本文設(shè)定如圖14所示的主驅(qū)動柱面滑塊拉索走線模式。為進(jìn)一步保證作用于各滑塊上緩釋力的均勻性,可通過滑輪摩擦系數(shù)選型使得張力衰減系數(shù)為預(yù)設(shè)值,本文各滑塊張力衰減系數(shù)預(yù)設(shè)值為c1=0.9,c2=0.9,c3=0.17,那么該柱面各滑塊最終所受的控制力為

(28)

圖14 主驅(qū)動柱面滑塊拉索走線方案Fig.14 Cable routing strategy of cylinder slider

5.2 基于滑塊位置與速度反饋的控制器設(shè)計(jì)

對于第三節(jié)建立的動力學(xué)模型,在系統(tǒng)方程中引入緩釋控制力,

(29)

-0.04 m/s≤si(i=1,2,…,25)≤-0.001m/s

(30)

基于上述分析,為實(shí)現(xiàn)天線展開過程中的穩(wěn)定控制,本文制定如下形式的反饋控制力:

(31)

式中:up(s)與滑塊位置有關(guān),

up(s)=Qz(s)

(32)

(33)

根據(jù)反正切函數(shù)的性質(zhì)可知,在滑塊速度達(dá)到-0.04 m/s和0.02 m/s附近時,控制力將陡然增大或減小,實(shí)現(xiàn)對天線非線性展開過程的反饋控制。

在天線展開過程控制中,可展天線的初始構(gòu)型與彈簧驅(qū)動力為初始輸入,在每個迭代步求解動力學(xué)微分方程得到天線系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)的位置、速度及加速度參數(shù),以主驅(qū)動滑塊的位置與速度為參考獲得緩釋控制力,從而建立輸出反饋控制閉環(huán)。基于滑塊位置與速度的輸出反饋控制框圖如圖15所示。

圖15 輸出反饋控制框圖Fig.15 Output feedback control block diagram

5.3 拋物柱面天線展開過程分析

根據(jù)圖14所示的天線展開過程控制方案,需布置10套緩釋控制裝置,每套緩釋控制裝置質(zhì)量為3 kg,以質(zhì)量點(diǎn)的形式附加到對應(yīng)節(jié)點(diǎn)引入系統(tǒng)方程。雙邊緩釋控制方案是通過兩邊的電機(jī)提供控制力,因拋物柱面展開機(jī)構(gòu)具備對稱性,為此兩電機(jī)控制力大小設(shè)定為一致,同時因摩擦阻尼的影響,導(dǎo)致由圖14所示的拉索走線方式施加在各滑塊上的控制力大小保持固定比例,而無法根據(jù)各滑塊速度進(jìn)行反饋調(diào)節(jié)。在此,設(shè)定不同柱面上緩釋電機(jī)的控制力大小根據(jù)該柱面上中心滑塊(3號滑塊)的速度來施加,緩釋控制力大小通過方程(31)獲得。

最終可展支撐機(jī)構(gòu)在展開過程中各主驅(qū)動柱面中心滑塊位置軌跡如圖16所示,由雙邊緩釋控制作用下五個柱面上中心滑塊的軌跡曲線可知,可展天線支撐機(jī)構(gòu)各主驅(qū)動柱面中心滑塊的展開趨勢一致,但因?yàn)榭刂屏o法滿足對每個滑塊展開末期速度的精準(zhǔn)控制及可展機(jī)構(gòu)的彈性變形,各滑塊展開到位時間有所不同,圖17給出了4個輔助驅(qū)動柱面中心滑塊的位置軌跡。

圖16 不同中心主驅(qū)動柱面滑塊位置軌跡Fig.16 Tracks of sliders on different main drive cylinders

圖17 不同輔助柱面中心滑塊位置軌跡Fig.17 Tracks of sliders on different auxiliary cylinders

可展支撐機(jī)構(gòu)展開過程同步性可做為控制方案優(yōu)劣的評價指標(biāo),根據(jù)圖18可知,可展開天線支撐機(jī)構(gòu)的展開過程同步性峰值為12.26 mm,相比無控制力作用下同步性提高了82.07%,表明該控制方法能顯著提高拋物柱面天線各柔性部件的展開同步性。

圖18 任意兩滑塊的最大位置差值Fig.18 Position difference between any two sliders

由圖19給出的可展支撐機(jī)構(gòu)主驅(qū)動柱面中心滑塊速度曲線可以明顯看出,各主驅(qū)動柱面中心滑塊的展開速度峰值得到大幅抑制,且展開末期滑塊速度均很小,能減弱天線展開末期的沖擊響應(yīng)。但由于雙邊緩釋控制力無法滿足對每個滑塊的精準(zhǔn)控制,滑塊展開中后期速度出現(xiàn)了一定范圍的波動。

圖19 各柱面中心滑塊展開相對速度Fig.19 Relative speed of each slider on the center of cylinders

圖21給出了雙邊緩釋控制力作用下拋物柱面可展天線支撐機(jī)構(gòu)展開全過程在不同時刻的展開構(gòu)型圖。

圖20 天線展開過程驅(qū)動控制力Fig.20 The control force of each motor during deployment

圖21 拋物柱面天線展開過程構(gòu)型Fig.21 Deployment configuration of a parabolic cylinder antenna

6 結(jié) 論

本文深入研究了大型拋物柱面天線支撐機(jī)構(gòu)的展開動力學(xué)性能與展開過程穩(wěn)定控制方法,主要結(jié)論如下:

1) 提出了一種針對富含大量零部件的可展天線支撐機(jī)構(gòu)模塊化動力學(xué)方程組裝方法,該方法可快速建立具有大量相同子環(huán)機(jī)構(gòu)的柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)模型。

2) 提出了逐塊縮聚與遞歸求解的高維微分方程計(jì)算方法,針對本文研究的拋物柱面可展天線動力學(xué)方程維度,傳統(tǒng)的靜力凝聚算法在每個迭代步需要消耗約7.1 s,本文所提方法在每個求解步驟所消耗的時間約為1.2 s,大幅提高了動力學(xué)微分方程組的求解效率。

3) 提出一種處于動態(tài)平衡狀態(tài)的天線非線性展開過程反饋控制方法,仿真結(jié)果表明,該控制方法將拋物柱面可展天線各模塊的展開同步性提高了82.07%。

4) 本文所提出的反饋控制方法將拋物柱面可展天線的展開速度峰值由2.996 m/s降低到0.03273 m/s,顯著降低可展天線展開過程中驅(qū)動滑塊的展開速度峰值,且鎖定階段滑塊速度較小,削弱了鎖定瞬間滑塊對可展天線的沖擊作用,提高了天線展開過程中的穩(wěn)定性。