二階錐約束變分不等式的最優(yōu)性條件

孫藝寧，王莉，孫菊賀，王彬，袁艷紅

（1. 沈陽航空航天大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110136；2. 太原理工大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院， 太原 030024）

考慮二階錐約束變分不等式問題：找到x*∈Ω滿足

式中：y∈Ω，是歐式內(nèi)積；F：Rn→Rn，g：Rn→Rm是連續(xù)可微的，Ω?Rn為非空閉凸集，K如下定義

式中：mi≥1，且m1+m2+…mp=m；Kmi是在Rmi(i=1，2，…，p)中的二階錐（SOC）；相應(yīng)的g(y)=(gmi(y)，…，gmp(y))。

變分不等式問題是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個重要分支［1］，它被廣泛應(yīng)用于交通、優(yōu)化理論［2］、力學(xué)［3］、金融等［4-5］方面，可見文獻［1-5］。近年來，二階錐約束變分不等式問題受到越來越多的關(guān)注。Sun等［6］利用變分不等式的KKT條件構(gòu)造了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，運用度量投影映射的光滑函數(shù)將二階錐約束變分不等式問題重新定義為方程組形式。Nazemi等［7］將變分不等式問題簡化為凸二階錐規(guī)劃問題，通過使用梯度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解凸二階錐約束變分不等式問題。二階錐約束變分不等式在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，找到其最優(yōu)解是解決該優(yōu)化問題的重中之重。因此，對最優(yōu)性條件進行研究是非常關(guān)鍵的。許多學(xué)者運用不同技術(shù)對不同類型優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件進行研究。Liu等［8］利用投影算子對半正定錐互補的二階方向?qū)?shù)以及半正定錐互補集的二階切集進行討論，得到了半正定互補約束的規(guī)劃問題的二階充分條件。Toan等［9］建立了數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的二階最優(yōu)性條件，從而得到了最優(yōu)性控制問題的二階最優(yōu)性條件。齊爽［10］用內(nèi)點法的原始對偶分解算法，求解兩階段隨機規(guī)劃問題，探討了兩階段隨機二階錐規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件。Tadeusz［11］將非光滑模糊優(yōu)化問題構(gòu)造成雙目標(biāo)優(yōu)化問題，建立并證明了KKT點的最優(yōu)性條件。

在此基礎(chǔ)上，本文研究二階錐約束變分不等式問題的最優(yōu)性條件。在第1節(jié)，介紹二階錐相關(guān)的定義和性質(zhì)以及最優(yōu)性條件分析需要用到的定義和性質(zhì)。第2節(jié)將二階錐約束變分不等式轉(zhuǎn)化為一個特殊的極小值問題，通過等價形式得到一階最優(yōu)性條件。最后，證明滿足Robinson約束規(guī)范的二階充分條件。

1 預(yù)備知識

定義1［12］二階錐也叫做Lorentz錐或冰激凌錐，在Rn中的二階錐Kn表示為

令φ(x)=-x0，則二階錐Kn又可表示為

根據(jù)Fukushima［13］，對于任意x，y∈Rn，Jor‐dan乘法定義如下

對于x=(x0；)∈R×Rn-1有相應(yīng)的譜分解

式中：λ1、λ2為x的特征值；ω(1)，ω(2)為x對應(yīng)特征值的特征向量，其定義形式如下

和

式中：w∈Rn-1，且=1。

定義2［14］對于閉集S及x∈S，則閉集S在x處的切錐TS(x)和正則法錐?S(x)分別如下

定義

和

定義3［12］集合極限

和

分別稱為S在點x沿方向h的內(nèi)二階切集與外二階切集。

命題1［15］令x∈Kn，則

證明：當(dāng)x∈intKn和x=0時，根據(jù)切錐的定義可以直接得出。當(dāng)x∈bdryKn{0}時，即-x0是連續(xù)可微函數(shù)。因為φ(x)是Lipschtiz連續(xù)的，由于φ′=φ↓，有

則φ′(x)(x；d)=?φ(x)Τd=，所以當(dāng)x∈bdryKn{0}時，結(jié)論成立。

命題2［10］假設(shè)x∈Kn，d∈TKn(x)，則

證明：當(dāng)d∈intTKn(x)和x=0時，由外二階切集的定義可以直接得到。

當(dāng)x∈bdryKn{0}，且d∈bdryTKn(x)時，由于φ是二階連續(xù)可微的，且φ(x)是Lipschitz連續(xù)的，φ″=φ↓↓，則

式中

繼續(xù)計算可以得到

2 一階最優(yōu)性條件

將二階錐約束變分不等式（SOCCVI）問題轉(zhuǎn)化成如下的極小化問題

式中：K=Km1×Km2×…×Kmp由式（2）定義，且f(y)≥0。

定義問題式（6）的Lagrange函數(shù)

式中：μ=(μm1，μm2，…，μmp)；μmi∈Rmi，(i=1，2，…，p)。y是原始變量；μ是對偶變量；在一定的正則條件下，原問題的解x*和Lagrange乘子μ*是La‐grange函數(shù)的鞍點，則(x*，μ*)滿足下列KKT條件

則稱x*是問題式（1）的穩(wěn)定點，用Λ(x*)表示滿足KKT條件的Lagrange乘子的集合。

因此，x*是二階錐約束變分不等式問題的局部極小點，滿足Robinson約束規(guī)范

且Lagrange乘子集合Λ(x*)是非空緊致的。

至此，式（7）和式（8）都是二階錐約束變分不等式（SOCCVI）問題的一階最優(yōu)性條件。

3 二階充分性條件

定義4x*是式（1）的一個穩(wěn)定點，則在x*處的臨界錐為

定義支撐函數(shù)

式中

(i=1，2，…，p)，式中

定理1假設(shè)x*是二階錐約束變分不等式問題的一個穩(wěn)定點，且滿足Robinson約束規(guī)范

則在x*處二階增長條件成立當(dāng)且僅當(dāng)下述二階條件成立

其中，H(x*，μ)由式（9）定義。

證明：如果結(jié)論成立，由于集合K在-g(x*)處沿-Jg(x*)h是二階正則的，則下述條件成立

當(dāng)且僅當(dāng)二階增長條件在x*處成立。其中表示在-g(x*)處沿著-Jg(x*)h的二階切集，且σ(·；T2)為T2的支撐函數(shù)，二階切集為

因為h∈C(x*)，從而-Jgmi(x*)h∈TKmi(-gmi(x*))。當(dāng)-μmi∈NKmi(-gmi(x*))，且-gmi(x*)∈Kmi時，根據(jù)二階切集的定義，則

接下來，當(dāng)-gmi(x*)∈bdryKmi{0}，且的情況時，令

根據(jù)式（13），當(dāng)mi∈α?xí)r，有

根據(jù)KKT條件式（7）的μmi?(-gmi(x*))=0，可以得到=-，從而有

則當(dāng)mi∈α?xí)r，

因為σ(-μ；T2)=，從而有

因此，式（11）和式（12）是相互等價的，證畢。

4 結(jié)論

本文通過將二階錐約束變分不等式轉(zhuǎn)化成特殊的極小值問題，得到了二階錐約束變分不等式問題的等價形式。通過等價形式得到了二階錐約束變分不等式問題的解的一階最優(yōu)性條件，最后證明了二階錐約束變分不等式問題的二階充分條件。