隨機(jī)變分不等式的二階微分方程方法

莊慧婷，王莉，孫菊賀，賈丹娜，袁艷紅

（1. 沈陽航空航天大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110136；2. 太原理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，太原 030024）

變分不等式是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支。經(jīng)過幾十年的研究與發(fā)展，變分不等式的理論和算法研究已經(jīng)趨于成熟，并在多個(gè)學(xué)科中有所應(yīng)用。變分不等式的研究主要集中于解的存在條件［1-2］、迭代算法及收斂條件［3-5］，并在經(jīng)濟(jì)、交通、工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用［6-8］?；诖?，該問題得到了越來越多研究者的關(guān)注。

Ferguson等［9］在1956年提出了隨機(jī)規(guī)劃問題，而隨機(jī)變分不等式問題作為隨機(jī)規(guī)劃的一個(gè)重要分支，在經(jīng)濟(jì)分析、交通均衡、能源建模等領(lǐng)域［10-11］都有著廣泛的應(yīng)用，更多關(guān)于隨機(jī)規(guī)劃知識(shí)的介紹見文獻(xiàn)［12］。基于此，隨機(jī)變分不等式問題成為近年來的研究熱點(diǎn)之一［13-15］。本文將研究隨機(jī)變分不等式問題，求解x∈C，使得

式中：Rn為n維實(shí)數(shù)空間；f(·，ξ)對(duì)任意ξ是局部Lipschitz連續(xù)。對(duì)每一個(gè)固定的η和?，函數(shù)h(·，η)：Rn×Ω→Rl和g(·，?)：Rn×Ω→Rm均是連續(xù)可微的凸函數(shù)。ξ、η和?是定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機(jī)變量，F(xiàn)是Sigma代數(shù)，P是定義在Ω上的概率測(cè)度。

顯然，隨機(jī)變分不等式問題中存在著隨機(jī)變量，即該問題中可能存在不確定因素。隨著時(shí)代的發(fā)展，人們?cè)絹碓街匾晫?duì)實(shí)際問題中一些不確定性風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測(cè)和處理，特別是在經(jīng)濟(jì)金融、工程應(yīng)用和決策科學(xué)等領(lǐng)域中所涉及的很多因素都是不確定的，因此研究包含的隨機(jī)因素優(yōu)化問題更符合實(shí)際意義。近年來，隨機(jī)變分不等式作為處理不確定環(huán)境下最優(yōu)化問題和博弈論的重要方法之一，受到了廣泛的關(guān)注和研究。

Facchinei等［16］對(duì)變分不等式問題和互補(bǔ)問題的基本理論和應(yīng)用進(jìn)行了全面的介紹和總結(jié)，該書被認(rèn)為是最優(yōu)化領(lǐng)域中最有價(jià)值的工作，記錄了變分不等式和互補(bǔ)問題很大一部分重要結(jié)果，但是卻沒有記錄微分方程方法求解變分不等式的理論。因此，應(yīng)用微分方程方法求解變分不等式這一問題的研究還遠(yuǎn)未深入，這部分內(nèi)容還需要進(jìn)一步補(bǔ)充，這也是本文將要討論的主要問題。

受到Attouch等［17］的啟發(fā)，利用二階微分方程系統(tǒng)求解隨機(jī)變分不等式問題（1）是一個(gè)新的思想。在上述研究成果的基礎(chǔ)之上，本文將研究求解隨機(jī)變分不等式問題（1）的二階微分方程方法。許多文獻(xiàn)的數(shù)值結(jié)果表明SAA方法是一種有效的求解隨機(jī)問題的方法［18-19］，所以本文將運(yùn)用互補(bǔ)函數(shù)和SAA方法將原始問題等價(jià)轉(zhuǎn)換成方程組，利用該方程組建立具有正黏性阻尼系數(shù)γ(t)和時(shí)間尺度系數(shù)β(t)的二階微分方程系統(tǒng)。然后進(jìn)一步研究該二階微分方程系統(tǒng)的收斂性和收斂速度。最后，給出兩個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明該二階微分方程系統(tǒng)求解隨機(jī)變分不等式問題的有效性。

為了建立隨機(jī)變分不等式的二階微分方程系統(tǒng)，首先介紹下面的概念與相關(guān)性質(zhì)。

定理1［17］設(shè)H是希爾伯特（Hilbert）空間，Φ：H→R是凸的連續(xù)可微的函數(shù)，其梯度?Φ是Lipschitz連續(xù)的。

若β，γ：[t0，+∞)→R+，且g：[t0，+∞)→H

是局部可積的，則二階微分方程系統(tǒng)

定義1［17］如果映射?：Rn×Rn→Rn，滿足x∈Rn，y∈Rn，xTy=0??(x，y)=0，則稱?(x，y)為Rn上的互補(bǔ)函數(shù)。特別地，NR函數(shù))就是一類互補(bǔ)函數(shù)，將NR函數(shù)光滑化后可得光滑的NR函數(shù)為。

1 隨機(jī)變分不等式的轉(zhuǎn)化

由優(yōu)化理論不難得到SVIP問題可以等價(jià)為-E[f(x，ξ)]≥0。因此，SVIP問題的KKT條件為

L(x，μ，λ)=E[f(x，ξ)]+JxE[h(x，η)]Tμ+JxE[g(x，?)]Tλ（JxF(x，y)T表示對(duì)函數(shù)F(x，y)中的變量x所求得的Jacobian矩陣的轉(zhuǎn)置表示SVIP問題的拉格朗日函數(shù)。由SAA方法，問題（1）可以轉(zhuǎn)化為如下問題：找到x∈CN，使得

其中約束集合CN表示為

其中

根據(jù)互補(bǔ)函數(shù)的定義1，設(shè)S：R×Rn×Rl×Rm→R×Rn×Rl×Rm，z=(ε，x，μ，λ)∈R×Rn×Rl×Rm，則SAA問題的KKT條件（6）可以轉(zhuǎn)化為如下的光滑化方程

運(yùn)用光滑化的NR函數(shù)和SAA方法將原SVIP問題（1）轉(zhuǎn)化為光滑化方程組（7），下一節(jié)將運(yùn)用光滑方程組（7）建立二階微分方程系統(tǒng)。

2 隨機(jī)變分不等式的二階微分方程方法

由于原SVIP問題（1）轉(zhuǎn)化為光滑化方程組（7），為了求解方程組（7）的值，定義函數(shù)，考慮下面的凸優(yōu)化問題

則有

首先假設(shè)以下條件成立：

（1）Φ(z)=為凸函數(shù)，P=argminΦ非空；（2）γ和→R+為非負(fù)連續(xù)函數(shù)；（3）t0＞0是初始時(shí)間。建立二階微分方程系統(tǒng)如下

式中：?Φ：R→R為Φ的梯度，還有兩個(gè)隨時(shí)間變化的參數(shù)分別為：γ(t)是正黏性阻尼系數(shù)，β(t)是時(shí)間尺度系數(shù)。根據(jù)定理1可知，該方程存在唯一的全局解。在平凡情況Φ(z)=≡0時(shí)，上述二階微分方程系統(tǒng)（11）可直接積分得到

設(shè)二階微分方程系統(tǒng)（11）滿足以下假設(shè)條件

在該假設(shè)條件下，可以定義函數(shù)Γ：

Γ(t)的定義不依賴于初始時(shí)間t0的選擇，當(dāng)t0→+∞時(shí)，可以得到=γ(t)Γ(t)-1。

定義全局能量函數(shù)如下

以及錨點(diǎn)函數(shù)

有了上述三類函數(shù)，下面定義函數(shù)χ：，該函數(shù)在二階微分方程系統(tǒng)（11）的收斂性定理的證明過程中起著重要的作用。具體形式如下

根據(jù)內(nèi)積與范數(shù)的關(guān)系，上式的右邊可以化為

顯然，χ(·)是一個(gè)非負(fù)函數(shù)且是遞減的。運(yùn)用函數(shù)χ(·)可以得到二階微分方程系統(tǒng)式（11）的收斂性定理，該定理也給出了收斂率的估計(jì)。

定理2設(shè)Φ(z)=為凸函數(shù)，P=argminΦ非空，β，γ：)

[t0，+∞→R+為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足假設(shè)條件(H)0，并滿足以下增長條件(H)γ，β

則對(duì)于二階微分方程系統(tǒng)（11）的軌跡z(t)=(ε(t)，x(t)，μ(t)，λ(t))∈R×Rn×Rl×Rm滿足以下收斂性

此外，可以得到該軌跡z(t)=(ε(t)，x(t)，μ(t)，λ(t))在[t0，+∞)上是有界的。

證明：設(shè)m=，為了計(jì)算χ(·)的導(dǎo)數(shù)，首先計(jì)算能量函數(shù)W和錨點(diǎn)函數(shù)h的導(dǎo)數(shù)

結(jié)合以上結(jié)果，可以得到

因此，由假設(shè)(H)γ，β可以推斷出χ?(t)≤0。所以在[t0，+∞)上有χ(t)≤χ(t0)，根據(jù)χ(t)的公式可以得到對(duì)于所有的t＞t0有

此外，證明

在[t0，+∞)上仍為有界的，由χ(·)的公式和遞減性，可得

q(t)=可得{q(t)|t≥t0}是有界的，因?yàn)椋?∞。將（17）除以p(t)，又因?yàn)?q(t)，且C=χ(t0)，可得

因?yàn)閝?(t)=，所以有C)≤0，再除以q(t)2后，可得

上式積分后可得：對(duì)于某些c1＞0，有h(t)≤c1(1+q(t))。

因此z(t)=(ε(t)，x(t)，μ(t)，λ(t))在)[t0，+∞上有界，證畢。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

數(shù)值實(shí)驗(yàn)采用Matlab9.0編寫，常微分方程求解采用龍格-庫塔ode 45。在實(shí)驗(yàn)中，選取系數(shù)γ(t)=，α=25和β(t)≡1。

例1考慮隨機(jī)變分不等式問題（1），其中

和

式中：ξ服從均值為1、方差為1的正態(tài)分布；?是[0，1]上的隨機(jī)分布；該問題的最優(yōu)解為x＊=(3.0000，1.5708，1.0000)。本實(shí)驗(yàn)中取初始點(diǎn)分別為ε0==0.0001，x0=(3，1，1)，λ0=(-0.5，-0.1，-0.1)。

表1總結(jié)了運(yùn)用二階微分方程系統(tǒng)（11）求解例1的數(shù)值結(jié)果。圖1中給出了從所給的初始點(diǎn)出發(fā)，二階微分方程系統(tǒng)（11）求解例1所得到的解的軌跡x(t)。

圖1 例1的二階微分方程系統(tǒng)（11）從初始點(diǎn)出發(fā)的x（t）軌跡曲線

表1 例1的二階微分方程系統(tǒng)（11）的數(shù)值結(jié)果

例2 考慮隨機(jī)變分不等式問題（1），其中

式中：ξ服從均值為1，方差為1的正態(tài)分布；?是[0，1]上的隨機(jī)分布；該問題的最優(yōu)解為x＊=(5，1.57，1，0，1)。本實(shí)驗(yàn)中取初始點(diǎn)分別為ε0==0.000 1，x0=(3，1，1，0，0)，λ0=(-0.5，-0.1，-0.1，0，0)。

在表2中總結(jié)了運(yùn)用二階微分方程系統(tǒng)（11）求解例2的數(shù)值結(jié)果。圖2中給出了從所給的初始點(diǎn)出發(fā)，二階微分方程系統(tǒng)（11）求解例2所得到的解的軌跡x(t)。

圖2 例2的二階微分方程系統(tǒng)（11）從初始點(diǎn)出發(fā)的x（t）軌跡曲線

表2 例2的二階微分方程系統(tǒng)（11）的數(shù)值結(jié)果

4 結(jié)論

本文首次采用Attouch等［17］提出的基于慣性阻尼系數(shù)γ(t)和時(shí)間標(biāo)度系數(shù)β(t)的二階微分方程系統(tǒng)來求解隨機(jī)變分不等式問題（1），得到了該二階微分方程系統(tǒng)軌跡的收斂性和收斂速度，并研究了在γ(t)和β(t)影響下解的收斂性質(zhì)。除了理論結(jié)果外，本文還給出兩個(gè)數(shù)值算例說明二階微分方程系統(tǒng)在求解隨機(jī)變分不等式問題中的有效性。