基于H∞回路成形的變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)多變量控制

劉露楊 ，郭迎清 ，楊聞浩 ，劉嚴(yán)嚴(yán)

（1.西北工業(yè)大學(xué)動(dòng)力與能源學(xué)院，西安 710129；2.中國(guó)航發(fā)沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)研究所，沈陽 110015）

0 引言

變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)屬于復(fù)雜、強(qiáng)非線性、多變量、時(shí)變的系統(tǒng)，可以根據(jù)不同任務(wù)需求改變當(dāng)前發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)以提升發(fā)動(dòng)機(jī)性能；然而發(fā)動(dòng)機(jī)性能的提升是以增加控制變量為代價(jià)來實(shí)現(xiàn)的，隨著變量的增多，系統(tǒng)的耦合性更加明顯，對(duì)于具有眾多可調(diào)變量的發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，各變量間只有相互協(xié)調(diào)配合才能使發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)揮出整體的優(yōu)勢(shì)。目前的發(fā)動(dòng)機(jī)多變量控制主要采用比例積分（Proportional Integral,PI）控制，還不能完全解決回路間的耦合，因此采用先進(jìn)的多變量控制方法對(duì)于提升變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)性能具有重要意義。

針對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)多變量控制，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)開展了大量研究。比較成功的多變量控制方法主要有線性二次型（Linear Quadratic Regulator, LQR）控制、H∞控制、μ綜合以及自適應(yīng)控制等[1-2]。Szuch等[3]早在20世紀(jì)70年代初就對(duì)F100發(fā)動(dòng)機(jī)開展了LQR多變量控制技術(shù)研究，為了保證控制精度和發(fā)動(dòng)機(jī)的最佳性能，共選擇了5 個(gè)控制量用于發(fā)動(dòng)機(jī)閉環(huán)控制；Shutler 等[4]針對(duì)F120 變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)使用了3 個(gè)閉環(huán)控制量、5 個(gè)開環(huán)控制量用于多變量魯棒控制技術(shù)研究，閉環(huán)控制量中還包括了可變的涵道比；王海泉等[5]針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)多變量魯棒控制器設(shè)計(jì)問題，深入研究了混合靈敏度H∞方法、H∞回路成形法等，并進(jìn)行了半物理仿真試驗(yàn)；何鳳林等[6]采用基于改進(jìn)的非支配序自組織遷移（Non-dominant Sorting Self-organizing Migration Algorithm,NS-SOMA）多目標(biāo)優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了3 變量變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)的解耦控制。

為了進(jìn)一步提升變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)的性能，需對(duì)其多變量控制技術(shù)做進(jìn)一步研究。本文利用3輸入3輸出變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)線性化數(shù)學(xué)模型[7]，采用相對(duì)增益矩陣（Relative Gain Array，RGA）方法[8]分析了發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部的耦合性，設(shè)計(jì)了基于目標(biāo)回路的2自由度H∞回路成形的多變量控制系統(tǒng)，并與傳統(tǒng)的基于PI 的單變量控制方法進(jìn)行了對(duì)比。

1 變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)介

1.1 3涵道變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)基本原理

本研究采用了典型的帶核心機(jī)驅(qū)動(dòng)風(fēng)扇級(jí)（Core Driven Fan Stage, CDFS）的變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)，其基本原理如圖1 所示。該發(fā)動(dòng)機(jī)共有9 個(gè)可調(diào)變量，分別為燃油流量Wf、尾噴管喉部面積A8、3 個(gè)可變涵道引射器面積AVABI1～AVABI3、風(fēng)扇可調(diào)靜子角度α1、CDFS 可調(diào)靜子角度α2、高壓壓氣機(jī)可調(diào)靜子角度α3和低壓渦輪可調(diào)靜子角度α4。發(fā)動(dòng)機(jī)的具體原理詳見文獻(xiàn)[9～10]。

圖1 3涵道變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)基本原理

該發(fā)動(dòng)機(jī)共有2 種工作模態(tài)：在亞聲速巡航等低功率狀態(tài)下以雙外涵模式工作，AVABI1～AVABI2均開到最大，發(fā)動(dòng)機(jī)具有較大的涵道比B和較低的單位燃油消耗率f；在超聲速巡航等高功率狀態(tài)下以單外涵模式工作，AVABI1關(guān)閉、AVABI2關(guān)小，更多的氣流進(jìn)入核心機(jī)，同時(shí)α2、α3開大以適應(yīng)增加的氣流，α4也開大，使高壓渦輪的功率相應(yīng)提高，此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)具有較小的B和較大的推力FN。

1.2 發(fā)動(dòng)機(jī)變量的選擇及線性化

以雙外涵模態(tài)下的變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)模型為例分析多變量控制的優(yōu)勢(shì)，其中控制規(guī)律選擇為使用Wf、A8和AVABI3來控制低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n1、發(fā)動(dòng)機(jī)壓比πe和混合室入口內(nèi)外涵氣流壓比πm，即

定義狀態(tài)變量分別為n1、高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n2、渦輪前總溫Tt4和渦輪入口總壓Pt4。采用線性擬合法，在高度H= 0、馬赫數(shù)Ma= 0 的飛行條件下實(shí)施線性化，得到設(shè)計(jì)點(diǎn)的歸一化線性模型

并將式（2）記為G(s)。歸一化后的輸入、狀態(tài)、輸出變量分別為

1.3 發(fā)動(dòng)機(jī)耦合性分析

在發(fā)動(dòng)機(jī)控制過程中，若采用多個(gè)單變量控制器獨(dú)立工作的方式，則系統(tǒng)會(huì)不可避免地受到發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部耦合作用的影響，例如：?jiǎn)为?dú)調(diào)節(jié)Wf時(shí)，3個(gè)被控變量都會(huì)受到影響；此外，對(duì)任意1 個(gè)被控變量，例如n1，3個(gè)控制變量對(duì)其均有一定的控制作用。因此，在評(píng)估單變量控制是否可行時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先分析發(fā)動(dòng)機(jī)的耦合性。使用以頻率為自變量的RGA 矩陣可以衡量多變量系統(tǒng)各回路的耦合作用，RGA矩陣的定義為

式中：“×”表示元素間的乘積（Schur乘積）。

RGA 矩陣中所有的行和列之和均為1，且第i行第j列元素λij表示的是第j個(gè)控制量對(duì)第i個(gè)被控量的交互作用。RGA 矩陣越接近單位陣，則系統(tǒng)的耦合性越弱。為了方便衡量RGA 矩陣與單位陣的接近程度，定義RGA數(shù)

RGA數(shù)越接近0，耦合性越弱。

針對(duì)G(s)，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下繪制RGA 數(shù)的變化曲線，如圖2 所示。從圖中可見，RGA 數(shù)始終大于0，且隨著頻率提高有不斷加大的趨勢(shì)，表明系統(tǒng)內(nèi)存在耦合且隨著頻率提高不斷加強(qiáng)。

圖2 RGA數(shù)的變化曲線

以控制量AVABI3為例分析3個(gè)被控量間的耦合性，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下繪制RGA 矩陣第1 列元素幅值隨頻率變化的曲線，如圖3 所示。圖中λ13、λ23、λ33分別為AVABI3對(duì)n1、πe、πm交互作用的相對(duì)大小。在單變量控制過程中，AVABI3控制πm，且該通道的帶寬為ωb=1.72 (rad/s)。從圖中可見，在ω＜ωb的范圍內(nèi)，AVABI3僅對(duì)πm具有較大影響，耦合性較弱；在ω≥ωb的范圍內(nèi)，AVABI3對(duì)另外2 個(gè)被控量的影響越來越大，耦合性較強(qiáng)，因此需要采用多變量控制。

圖3 AVABI3通道的RGA矩陣元素隨頻率變化的幅值

2 2自由度H∞多變量控制器設(shè)計(jì)

2.1 H∞回路成形的基本原理

采用H∞回路成形法可以讓系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能都維持在良好的水平，該方法包含了3 個(gè)過程：根據(jù)性能要求設(shè)置前置或后置補(bǔ)償器，使開環(huán)回路的奇異值σ曲線具有期望的形狀；利用H∞優(yōu)化技術(shù)，針對(duì)互質(zhì)因子不確定性，對(duì)成形后的對(duì)象進(jìn)行魯棒鎮(zhèn)定；合成單自由度控制器[11-12]。

（1）開環(huán)回路成形?；芈烦尚蔚倪^程可通過在被控對(duì)象兩端加入補(bǔ)償環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)，如圖4所示。

圖4 開環(huán)回路成形

成形后的對(duì)象用Gs(s)表示，且

為使閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的性能，應(yīng)合理配置補(bǔ)償函數(shù)，使Gs(s)的奇異值曲線σ[Gs(jω)]滿足如下性能要求：（1）低頻段，為減小跟蹤誤差，需滿足-σ[Gs(jω)]?1，一般取20 dB；（2）中頻段，為保持閉環(huán)穩(wěn)定性，衰減率約為-20 dB/10倍頻程；（3）高頻段，為提高噪聲抑制能力，需滿足σˉ[Gs(jω)]?1，一般取-20 dB；（4）為縮短調(diào)節(jié)時(shí)間，提高響應(yīng)速度，穿越頻率ωc應(yīng)該足夠大。

（2）H∞魯棒鎮(zhèn)定。為了提高系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，還需要利用H∞優(yōu)化技術(shù)將攝動(dòng)后的系統(tǒng)鎮(zhèn)定化。將成形后的系統(tǒng)改寫為標(biāo)準(zhǔn)的左互質(zhì)分解形式，得到攝動(dòng)后的對(duì)象模型為

式中：ΔM(s)和ΔN(s)為穩(wěn)定但未知的函數(shù)，表示Gs(s)的不確定性。

魯棒鎮(zhèn)定過程如圖5所示。

根據(jù)小增益定理，圖5中攝動(dòng)反饋系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的條件為：標(biāo)稱反饋系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，且

圖5 魯棒鎮(zhèn)定過程

式中：τ為?到[uT yT]T的H∞范數(shù)；ε為ΔM(s)和ΔN(s)的最大奇異值。

對(duì)應(yīng)的魯棒鎮(zhèn)定控制器K∞(s)可利用Mcfarlane與Glover[13]提出的“中心”控制器，具體步驟參見文獻(xiàn)[13]。

（3）合成單自由度控制器。單自由度控制器如圖6所示，其結(jié)構(gòu)為

圖6 單自由度控制器

2.2 通過目標(biāo)函數(shù)來設(shè)計(jì)補(bǔ)償函數(shù)

在回路成形過程中，補(bǔ)償函數(shù)的設(shè)計(jì)沒有固定的方法，通常需要大量試湊，其過程復(fù)雜。為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過程，采用如下方法：（1）根據(jù)第2.1 節(jié)的性能要求給定目標(biāo)開環(huán)回路傳遞函數(shù)矩陣Gd(s)，并令W2(s)=I；（2）采用GCD 公式法[14]反向求解W1(s)，使得在給定頻率范圍內(nèi)

該過程利用MATLAB 魯棒控制工具箱中的loopsyn函數(shù)求解，調(diào)用格式為

2.3 2自由度方案

若僅采用指令與反饋信號(hào)之間的誤差來驅(qū)動(dòng)控制器，則構(gòu)成了常見的單自由度控制器；但是在對(duì)輸出響應(yīng)有嚴(yán)格時(shí)域指標(biāo)要求的情況下，單自由度方法需要大量的試湊。為了將時(shí)域指標(biāo)納入到控制器的設(shè)計(jì)過程，考慮在參考指令端串聯(lián)1 個(gè)前置濾波器，得到2 自由度控制器，2 自由度回路成形控制系統(tǒng)如圖7 所示。以強(qiáng)制閉環(huán)系統(tǒng)奇異值曲線擬合到指定的參考模型傳遞函數(shù)矩陣Tref(s)。

圖7 2自由度回路成形控制系統(tǒng)

圖中，K1D(s)（式（7））用于滿足魯棒穩(wěn)定性和擾動(dòng)抑制的需求，K2D(s)用于滿足時(shí)域性能指標(biāo)要求，其設(shè)計(jì)步驟為：

（1）閉環(huán)回路成形。采用與第2.2 節(jié)中求解補(bǔ)償函數(shù)相同的方法求解濾波器W3(s)；

（2）穩(wěn)態(tài)增益匹配。對(duì)參考指令r進(jìn)行尺度變換，使閉環(huán)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣T(s)與Tref(s)的輸出在穩(wěn)態(tài)精確匹配，即滿足目標(biāo)

3 控制系統(tǒng)綜合驗(yàn)證

3.1 開環(huán)回路成形設(shè)計(jì)

針對(duì)式（2）中的線性模型，采用基于目標(biāo)回路的方法設(shè)計(jì)補(bǔ)償函數(shù)，給定目標(biāo)開環(huán)回路奇異值曲線低頻段增益為40 dB、高頻段增益為-40 dB、穿越頻率為3 rad/s且穿越頻率處斜率為-20 dB/10倍頻程，優(yōu)化范圍為10-2～102rad/s，得到從誤差到被控量的開環(huán)回路奇異值曲線如圖8所示。

圖8 開環(huán)回路奇異值曲線

從圖中可見，成形后及魯棒鎮(zhèn)定后的開環(huán)回路奇異值曲線滿足第2.1節(jié)中的指標(biāo)要求，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性及擾動(dòng)抑制能力。

3.2 閉環(huán)系統(tǒng)綜合仿真驗(yàn)證

2 自由度H∞方法可直接給定閉環(huán)參考模型以設(shè)計(jì)控制器。例如：給定3 個(gè)閉環(huán)參考模型的階數(shù)均為2、期望調(diào)節(jié)時(shí)間ts= 1.5 s、期望相位裕度PM= 80°（ωc=2.2 rad/s）、開環(huán)穩(wěn)態(tài)增益為80 dB，得到參考模型

為了作對(duì)比，同時(shí)設(shè)計(jì)了基于PI 的多回路單變量控制器，同樣給定ωc= 2.2 rad/s 處相位裕度PM=80°；隨后在非線性模型中進(jìn)行驗(yàn)證。

3.2.1 擾動(dòng)抑制能力驗(yàn)證

使發(fā)動(dòng)機(jī)在設(shè)計(jì)點(diǎn)處平穩(wěn)運(yùn)行，在t=5、10、15、20 s的時(shí)刻分別對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的4個(gè)狀態(tài)量施加一定幅度的沖擊擾動(dòng)，得到發(fā)動(dòng)機(jī)的狀態(tài)恢復(fù)效果如圖9 所示（以n1為例進(jìn)行展示）。

圖9 發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)恢復(fù)效果

從圖中可見，在同等的擾動(dòng)輸入條件下，2 種方法均能使發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)恢復(fù)到初始值，且2 條曲線幾乎重合，說明采用2 種方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)均具有良好的擾動(dòng)抑制能力。

3.2.2 跟蹤性及解耦性能驗(yàn)證

在驗(yàn)證多變量控制系統(tǒng)的跟蹤性及解耦性能時(shí)，每次僅單獨(dú)對(duì)其中1 個(gè)參考指令施加階躍變化量，其他指令不變。例如：在驗(yàn)證n1的跟蹤效果時(shí)，僅給定n1參考指令1000 r/min 的階躍上升量，閉環(huán)階躍響應(yīng)仿真結(jié)果如圖10 所示。n1階躍響應(yīng)、πe回路、πm回路的性能指標(biāo)分別見表1～3。

圖10 閉環(huán)階躍響應(yīng)

表1 n1階躍響應(yīng)性能指標(biāo)

表3 πm回路性能指標(biāo)

從圖10（a）和表1 中可見，在同等頻域指標(biāo)要求下，采用多變量方法設(shè)計(jì)的系統(tǒng)在n1回路的階躍響應(yīng)過程中擁有更小的超調(diào)量和更短的調(diào)節(jié)時(shí)間，其中超調(diào)量從9.58%減小到0.45%，減小了95.3%，調(diào)節(jié)時(shí)間從2.99 s 縮短為1.45 s，調(diào)節(jié)速度加快了51.5%，表明多變量方法性能更優(yōu)；從圖10（b）和表2 中可見，在n1回路階躍跟蹤的過程中，πe回路也會(huì)因系統(tǒng)耦合作用產(chǎn)生波動(dòng)，且采用多變量方法時(shí)這種波動(dòng)更小，πe的最大偏移量從0.0708% 減小到0.0073%，減小了89.69%，調(diào)節(jié)時(shí)間從1.64 s 縮短為1.19 s，調(diào)節(jié)速度加快了27.4%，表明多變量方法的解耦效果更好。同理，對(duì)于πm回路，采用多變量方法時(shí)波動(dòng)更小，解耦效果也更好。

表2 πe回路性能指標(biāo)

（3）模態(tài)轉(zhuǎn)換功能驗(yàn)證。變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)通過調(diào)節(jié)α1～α4和AVABI1～AVABI2等可變幾何參數(shù)來實(shí)現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)換[15]。在2 種模態(tài)下發(fā)動(dòng)機(jī)具有不同的涵道比B，表明發(fā)動(dòng)機(jī)工作于不同的熱力循環(huán)。

以低功率狀態(tài)下（式（2））雙外涵到單外涵的過程為例驗(yàn)證模態(tài)轉(zhuǎn)換，在轉(zhuǎn)換過程中，可變幾何參數(shù)按表4 中給定的數(shù)值以開環(huán)控制的方式線性變化，如圖11 右圖所示；同時(shí)，多變量主控制器以閉環(huán)控制的方式調(diào)節(jié)3 個(gè)控制量Wf、A8和AVABI3，使主要被控變量不變，實(shí)現(xiàn)模態(tài)的平穩(wěn)轉(zhuǎn)換。

表4 2種模態(tài)下VCE的可變幾何參數(shù)

在仿真過程中，使發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)定于雙外涵模態(tài)運(yùn)行5 s，使可變幾何參數(shù)在5 s內(nèi)線性地變化到給定值，繼續(xù)仿真直到被控變量回到穩(wěn)態(tài)值，仿真結(jié)果如圖11～12所示。

圖11 發(fā)動(dòng)機(jī)的性能參數(shù)和可變幾何參數(shù)

從圖11 中可見，發(fā)動(dòng)機(jī)成功實(shí)現(xiàn)了模態(tài)轉(zhuǎn)換，B從0.7008 減小到0.3049；f從0.077 kg/（N·h）提高到0.086 kg/（N·h），提高了11.99%；FN從37.64 kN 減小到36.78 kN，減小了2.28%。結(jié)果表明，在低功率狀態(tài)下發(fā)動(dòng)機(jī)以雙外涵模態(tài)工作更優(yōu)。

圖12 主要被控變量和閉環(huán)控制量

在轉(zhuǎn)換過程中，被控變量雖有小范圍的波動(dòng)，但在多變量閉環(huán)控制器的作用下，均能快速地恢復(fù)到初始值，即采用2自由度H∞回路成形法確保了模態(tài)轉(zhuǎn)換過程的順利實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié)論

（1）對(duì)于變量眾多的變循環(huán)發(fā)動(dòng)機(jī)，采用多變量控制方法和單變量控制方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)均具有良好的擾動(dòng)抑制能力，且能很好地實(shí)現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)換控制；但在跟蹤控制過程中，采用多變量控制方法可以使超調(diào)量更小、調(diào)節(jié)時(shí)間更短、波動(dòng)更小，因此多變量控制方法相對(duì)更優(yōu)。

（2）在回路成形控制器的設(shè)計(jì)過程中，采用基于目標(biāo)回路的方法可以極大地簡(jiǎn)化補(bǔ)償函數(shù)的設(shè)計(jì)過程；采用2 自由度的方案，可以針對(duì)具體的時(shí)域指標(biāo)直接設(shè)計(jì)多變量控制器而無需試湊。