基于碰撞檢測的空間超大規(guī)模航天器拼接曲面優(yōu)化

付瑤，康國華，周紹輝，武俊峰，華寅淼，吳佳奇，胡苗苗

（1.南京航空航天大學 航天學院，江蘇 南京 211101；2.上海航天空間技術有限公司，上海 201109）

0 引言

天基太空望遠鏡在天文觀測、空間環(huán)境監(jiān)測等領域都具有重要的應用價值，其主鏡尺寸對成像效果具有重要影響［1-3］。對于單鏡面的天基太空望遠鏡而言，鏡片尺寸一直以來受限于單次發(fā)射運載對航天器體積和質量的約束，而拼接技術可以有效解決該問題。目前拼接技術已經廣泛應用于許多地基太空望遠鏡的設計中，如凱克望遠鏡（Keck）、霍比-埃伯利望遠鏡（Hobby-Eberly Telescope，HET）、加納利大型望遠鏡（Gran Telescope Canarias，GTC）、南非大望遠鏡（South African Large Telescope，SA-LT）等［4］。拼接技術在天基太空望遠鏡中也具有較大的應用價值，如目前國際上最大口徑的天基太空望遠鏡——詹姆斯·韋伯空間望遠鏡（James Webb Space Telescope，JWST），其等效口徑為6.5 m。在太空要實現(xiàn)上述技術將面對模塊化航天器在軌拼接優(yōu)化問題。

模塊化航天器可以分批入軌、在軌拼接和重構，從而擺脫單次發(fā)射運載對航天器體積和質量的約束，有效地降低成本，因此近年成為研究熱點［5-11］。鑒于上述優(yōu)勢，長期受限于單個鏡片大小約束的天基光學望遠鏡、需大規(guī)模面積拼接的空間電站等下一代空間超大型機構都同樣采取了模塊化航天器設計［12-13］。如英國薩里大學和美國加州理工學院聯(lián)合開展的可重構空間望遠鏡的自主組裝（Autonomous Assembly of a Reconfigurable Space Telescope，AAREST）計劃，研究若干個搭載光學載荷的立方星在軌組裝、重構、成像的相關技術［14］。

太空光學孔徑自組裝（Optical Aperture Selfssembly in Space，OASIS）項目通過小模塊自主交會對接后裝配成孔徑大于5 m 的光學望遠鏡［15-16］；蜂巢（Hive）項目將模塊在軌組裝成立方體或蜂巢的形狀并執(zhí)行模塊翻轉、換位、跳躍等［17］；衛(wèi)星在軌服務智能建造模塊（Intelligent Building Blocks for On-Orbit Satellite Servicing，IBOSS）項目研究將立方體形狀的智能模塊在軌裝配成為可重構航天器，目前正在進行在軌演示與測試［18］。

空間超大規(guī)模模塊化航天器的“拼接-變構-重構”規(guī)劃是任務的基礎，但現(xiàn)有研究一般假設目標構型固定不變，對如何變構還缺乏深入研究。如未考慮對接機構及載荷尺寸所帶來的拼接間隙限制，但實際上間隙約束對模塊化航天器的構型規(guī)模、變構范圍和重構順序都將有很大影響。

本文以大型空間望遠鏡為模塊航天器拼接的應用場景，以正六棱柱模塊為航天器單位構型進行拼接。根據(jù)正六邊形可在平面上滿鋪的特性，提出了一種映射平面的不閉合的“蜂巢”構型作為空間望遠鏡目標曲面，即蜂巢中每個正六邊形的面對應為一個模塊衛(wèi)星的頂面，并針對該模型在相鄰模塊的間隙約束的條件下，獲得模塊布局的最優(yōu)解以及構型相關參數(shù)的求解，如圖1 所示。

圖1 自然界球冠曲面Fig.1 Spherical crown surface in nature

1 基于“球冠-平面”映射的拼接曲面建模

1.1 基于“球冠-平面”的拼接映射

分批入軌的模塊航天器如何拼接成所需的成像曲面，是構成空間望遠鏡的關鍵。模塊拼接成曲面，一般有2 種方法：①所有模塊先拼接成整體，再通過模塊間的對接機構調整至目標曲面；② 所有模塊按預先規(guī)劃的路線直接拼成所需的曲面。很明顯，方法①雖有利于模塊拼接，但鑒于模塊間存在多個對接機構的強約束，如中心模塊需要與周圍6 個模塊進行對接，因此在進行整體變形時，將要逐個規(guī)劃每個對接機構的運動，過程復雜且耗時。本文將采取第2 種方法，但需要解決初始模塊位姿和目標模塊位姿之間的規(guī)劃問題。

考慮到空間望遠鏡成像需求，模塊衛(wèi)星構成的鏡面曲面中心對稱性越好，則其成像效果越好。因此所有模塊將會形成以某個模塊為中心的球冠曲面。本文提出了一種“球冠-平面”映射法，將對稱目標曲面與輔助平面的模塊進行一一映射，形成排布規(guī)劃。

如圖2 所示，曲面A為模塊衛(wèi)星所攜帶鏡片需要構成的目標曲面，曲面中心點為O，曲面由模塊衛(wèi)星所攜帶的正六邊形鏡片確定：每個鏡面的中心點Pi（i表示模塊編號，i=1，2，3，…）為鏡面與曲面的外切點。曲面的中心O點與Pi連線在曲面的外切平面B上有映射點，點是Pi所在六邊形鏡面在平面B上投影六邊形鏡面的中心?；谏鲜鰧P系，將模塊衛(wèi)星的曲面拼接，轉換成平面拼接；在平面B上布局后，將模塊移動至曲面對應位置再進行對接，即可得到目標曲面。

圖2 平面輔助映射法Fig.2 Schematic diagram of the plane-assisted mapping method

1.2 拼接曲面模型的建立

為保證整體的中心對稱性，將所有模塊按圈層排布，如圖3 所示。假設共s個模塊，中心模塊為第0 層，從中心模塊向外依次為第0 層、第1 層、第2 層、…、第n層，則n與s之間的對應關系為

圖3 模塊編號順序及間距Fig.3 Schematic diagram of numbering and arrangement of the modules and vertices

以中心模塊正右方的模塊為每層的第1 個，逆時針方向依次為第1 個、第2 個、…、第6n個。對于每個模塊而言，最右側為第1 個頂點，逆時針方向依次為頂點1、頂點2、…、頂點6。

設假想平面B上，第i層與第i+1 層相鄰兩個模塊之間的距離為bi，其中i=1，2，…，n-1。所有模塊的邊長均為a，目標曲面中所有模塊頂面六邊形鏡面拼接后擬合成的球冠的半徑為r，即曲面的曲率半徑為r。這里設目標曲面中所有模塊頂面六邊形對應的球冠球心坐標為（0，0，r），球冠表面方程為x2+y2+（z-r）2=r2。設中心模塊正六邊形中心的位置坐標為（0，0，0），中心模塊上表面六邊形的六個頂點坐標分別為

假設在z=0 平面上繞中心有s個模塊排布成n層，相鄰兩層模塊的相鄰兩條邊之間的距離分別為b0，b1，…，bn-1，則第1 層模塊的每個正六邊形的中心點坐標分別為

依此類推，平面上位于第i層的第j個模塊的中心點坐標的值為

旋轉角為

因此對于每個正六邊形的中心點Pi到其六個頂點的矢量為

1.3 基于包圍盒的模塊碰撞檢測

碰撞檢測（Collide Detection，CD）用于判斷兩個或多個物體占據(jù)的三維區(qū)域在同一時間是否相交，在虛擬現(xiàn)實［19］、3D 游戲［20］、軌跡規(guī)劃［21-22］、多體機器人［23-24］、星座構型保持［25］等領域中都具有廣泛的應用。對于組合體航天器而言，至關重要的是判斷變構過程中或變構結束后航天器的各獨立模塊之間是否發(fā)生碰撞。

目前研究較為成熟且應用較為廣泛的CD 算法主要為層次包圍盒算法等。常見的包圍盒有包圍球、軸向包圍盒AABB、方向包圍盒OBB 等。其中包圍球和AABB 包圍盒緊密性較差，而OBB 包圍盒的計算較為復雜。

因為本文中模塊的正六棱柱結構較為規(guī)則，同時考慮到算法的效率，本文采用改進后的層次包圍盒方法進行CD。在層次包圍盒算法中，針對給定物體E，E中的所有基本幾何元素組成的集合為S，則定義層次包圍盒樹（Hierarchical Bounding Volume Tree，HBVT）［26］：①樹中的每個節(jié)點v與S的一個子集Sv（Sv?S）相對應；② 節(jié)點v的數(shù)據(jù)值為集合Sv的包圍盒b（Sv）；③根節(jié)點對應于全集S，其數(shù)據(jù)集為全集S的包圍盒b（S）；④ 樹中的每個葉節(jié)點指向的是物體的基本幾何元素。

在層次包圍盒算法中，圖元被劃分為不相交的層次結構。但對于本文的正六棱柱模塊而言，直接劃分為如圖4 所示的3 個相交的長方體形狀的AABB 包圍盒，該方法保證了包圍盒與模塊形狀完全相合，相較于傳統(tǒng)的包圍球算法，AABB 包圍盒算法提高了緊密性，且算法的復雜度小于OBB 包圍盒算法。

圖4 層次包圍盒分割Fig.4 Diagram of hierarchical bounding box segmentation

對于組合體中任意相鄰的兩個模塊A和B，分別對A的3 個圖元和B的3 個圖元進行CD，即可判斷A、B之間是否發(fā)生碰撞。

2 基于碰撞檢測的拼接曲面優(yōu)化

2.1 基于“球冠-平面”的拼接映射

在上述“球冠-平面”輔助映射法中，模塊頂面正六邊形邊長a決定模塊的尺寸；模塊數(shù)目s決定拼接曲面的規(guī)模；目標曲面的曲率半徑r決定拼接曲面的彎曲程度；假想平面中模塊間距bi決定拼接曲面中模塊之間的距離。通過改變模塊數(shù)目s、目標曲面的曲率半徑r、假想平面中模塊間距bi的值即可得到不同的拼接曲面。但還需要考慮拼接的可行性：當前曲面中是否會發(fā)生模塊之間的碰撞問題?？紤]到模塊之間是否發(fā)生碰撞的問題，在實際任務中，組合體航天器的拼接曲面存在以下2 個優(yōu)化問題：

①當模塊頂面正六邊形邊長a、模塊數(shù)目s一定而拼接曲面的曲率半徑r和假想平面中模塊間距bi的值改變時，拼接曲面的曲率半徑r越小，曲面的彎曲程度越大，如圖5 所示。當曲面彎曲到一定程度時，無論如何改變假想平面中模塊間距的值都必然會發(fā)生模塊間的碰撞，因此存在拼接曲面的曲率半徑r的最小值求解問題。

圖5 不同彎曲程度的拼接曲面Fig.5 Spliced surfaces of different degrees of bending

② 當模塊頂面正六邊形邊長a、模塊數(shù)目s和目標曲面的曲率半徑r固定而假想平面中模塊間距bi的值改變時，拼接曲面的可行解有多個，模塊間距有疏有密，如圖6 所示。在實際任務中，模塊間距離越短，則星間測量及通信的能量消耗越少，因而存在最緊密的拼接曲面的求解問題。在最緊密的拼接曲面中，模塊頂面邊界的最遠距離l將達到最小值，即曲面的口徑最小。

圖6 緊密/稀疏曲面Fig.6 Compact/sparse surfaces

2.2 優(yōu)化算法適應度函數(shù)的構建

以上兩個問題中均包含一個共同的變量：假想平面中模塊間距bi，在其他變量的值一定時，通過改變bi的值即可得到滿足要求的拼接曲面以及相關變量的取值范圍。但s取值會影響bi的個數(shù)，如s取91時，曲面中模塊排列為6 層，本問題中的自變量包括b0、b1、b2、b3、b4共5 個；而當s取127 時，曲面共7 層，本問題中的自變量包括b0、b1、b2、b3、b4、b5共6 個，因此在處理不同的優(yōu)化問題時自變量的個數(shù)不確定。為了設計不失一般性的優(yōu)化算法，建立bi與模塊所在層數(shù)i之間的函數(shù)關系，將bi與i之間的關系用一個二次函數(shù)進行近似的擬合，即設bi=a0+a1i+a2i2，此時對于上一章中提到的曲率半徑最小值求解問題而言，無論模塊數(shù)目有多少，自變量均為a0、a1、a2、r；對于最緊密拼接曲面求解問題而言，無論模塊數(shù)目有多少，自變量均為a0、a1、a2。

上述兩個優(yōu)化問題本質是含非線性約束條件的非線性優(yōu)化問題，本文采用遺傳算法進行求解，在求曲面曲率變化范圍的問題中需要求得曲率半徑r的最小值；在求最優(yōu)曲面的問題中需要求得曲面口徑l的最小值。約束條件為所有模塊之間均不發(fā)生碰撞，引入一個參數(shù)c對模塊之間是否發(fā)生碰撞進行量化：

基于此，分別構造兩個優(yōu)化問題的遺傳算法適應度函數(shù)：①對于求曲率半徑變化范圍的問題，

② 對于求最優(yōu)曲面的問題，

式中：p為大于1 的常數(shù)。

可以保證在遺傳算法迭代過程中適應度函數(shù)f1和f2始終為非負數(shù)，且適應度函數(shù)f1和f2取得最大值時，對應的曲率半徑r和曲面口徑l分別取得最小值。優(yōu)化變量與指標見表1。優(yōu)化算法流程如圖7所示。

圖7 優(yōu)化算法流程Fig.7 Flow chart of the optimization algorithm

表1 2 個優(yōu)化問題的變量與優(yōu)化指標Tab.1 Variables and optimization indexes of two optimization problems

3 仿真驗證和分析

3.1 平面輔助映射法的仿真與分析

設置所有模塊正六邊形的邊長a=0.3 m，拼接曲面的曲率半徑r=35 m，模塊總數(shù)目為127，繞中心圍成7 層。在輔助平面上a0=a1=a2=0，即b=0時所有模塊頂面剛好將輔助平面上其所在的區(qū)域滿鋪，因此為保證拼接曲面中所有模塊之間均不發(fā)生碰撞，至少需要保證bi＞0（i=1，2，3，4，5，6）。簡單嘗試后設置a0=0.10，a1=0.01，a2=0.01，即bi=0.10+0.01i+0.01i2。

由以上方法得到的127 個模塊頂面的拼接曲面可以擬合為一個半徑r=35 m 的球冠表面，且所有模塊頂面所在平面的法向量均指向球心，頂面中心點均位于球冠表面上。對上述拼接曲面中的所有模塊進行CD，若模塊之間發(fā)生碰撞，則發(fā)生碰撞的兩個模塊顯示為紅色；若不發(fā)生碰撞，則顯示為藍色，結果如圖8 所示。上述仿真結果表明，本文提出的六棱柱分割CD 方法有效。

圖8 碰撞檢測算法驗證Fig.8 Verification of the collision detection algorithm

3.2 拼接曲面優(yōu)化的仿真與分析

使用遺傳算法對最優(yōu)拼接曲面、曲率半徑可變范圍這兩個問題進行求解。

3.2.1 曲率半徑最小值求解

設置所有模塊正六邊形的邊長a=0.3 m，模塊總數(shù)目為127，繞中心圍成7 層。使用遺傳算法求解獲得了曲率半徑的最小值為23.44 m，此時對應的參數(shù)取值分別為a0=0.1，a1=0.000 027，a2=0.004 7。因此，曲率半徑的可變范圍為［23.44 m，∞］，在該范圍內均可找到能使得所有模塊均不發(fā)生碰撞的拼接曲面。因為遺傳算法所得結果具有可能陷入局部最優(yōu)的局限性，為了避免這種情況，將遺傳算法重復運行50 次，所得結果如圖9 所示。

圖9 運行50 次遺傳算法后的曲率半徑結果Fig.9 Results of rafter 50 iterations by the genetic algorithm

50 次結果的均值為23.44 m，且最后都可以穩(wěn)定收斂到最優(yōu)值處。從統(tǒng)計結果來看，優(yōu)化算法所得到的曲率半徑最小值結果穩(wěn)定有效。

3.2.2 最密拼接曲面的求解

設置所有模塊正六邊形的邊長a=0.3 m，拼接曲面的曲率半徑r=50 m，模塊總數(shù)目為127，繞中心圍成7 層。使用遺傳算法求解獲得了最優(yōu)拼接曲面，該拼接曲面滿足所有模塊之間均不發(fā)生碰撞，且該拼接曲面的口徑l值達到最小值6.77 m，此時為該條件下模塊排列最為緊密的最優(yōu)曲面，對應的參數(shù)取值分別為a0=0.000 027，a1=0.007 4，a2=0。重復運行50 次遺傳算法，所得結果如圖10 所示。

圖10 運行50 次遺傳算法后的口徑結果Fig.10 Results of l after 50 iterations by the genetic algorithm

50 次結果的均值為6.77 m，且最后都可以穩(wěn)定收斂到最優(yōu)值處。從統(tǒng)計結果來看，優(yōu)化算法所得到的曲面口徑最小值結果穩(wěn)定，可以有效得到最密拼接曲面。

4 結束語

本文提出了一種可以解決同構正六棱柱模塊化航天器拼接后，組合體拼接曲面可以擬合為一個球冠時的所有模塊位置求解問題的方法——平面輔助映射法，并在此基礎上建立了拼接曲面的數(shù)學模型。本文采用改進的層次包圍盒算法將六棱柱模塊進行分割，從而解決了模塊之間的CD 問題。最后采用遺傳算法，解決了曲率半徑變化范圍和最優(yōu)曲面求解的問題。

本文提出的平面輔助映射法中，模塊化航天器的形狀可以在未來衍生為立方體、四面體等任意形狀，組合體拼接曲面中所有模塊頂面近似的空間圖形也可以衍生為拋物面、錐面等任意空間圖形。