簡單隨機(jī)游動通道概率的估計*

梁 靜

(淮南師范學(xué)院金融與數(shù)學(xué)學(xué)院 安徽淮南 232001)

數(shù)學(xué)家O.Schramm首先將復(fù)分析中的Loewner理論與隨機(jī)分析相結(jié)合，創(chuàng)立了SLE理論[1].他首次給出了尺度極限的嚴(yán)格定義，并且引入SLE來描述尺度極限.他進(jìn)一步證明了，環(huán)刪除隨機(jī)游動 (LERW)的尺度極限存在并且滿足共形不變性質(zhì)，收斂于SLE2[2].后續(xù)運(yùn)用SLE可以描述以下模型的極限情形，調(diào)和測度收斂于SLE4[3]，三角形網(wǎng)格中的臨界滲流收斂于SLE6[4]，一致生成樹收斂于SLE8[5-7].文獻(xiàn)[7]中給出了誤差的范圍，文章在其基礎(chǔ)上通過表示出作為領(lǐng)域內(nèi)徑的冪更精確的誤差，進(jìn)而給出了簡單隨機(jī)游動的通道概率的優(yōu)化估計.

1 預(yù)備知識

在這一節(jié)中給出文章涉及的一些定義、記號以及一些基本事實(shí)，更詳細(xì)的請參見文獻(xiàn)[8-10].

分別為離散泊松核與泊松核.

假定A是Ζ2的子集，令τA=min{j≥0：Sj∈?A}.對于x，y∈?A，定義離散游弋泊松殼h?A(x，y)=Px{SτA=y，S1∈A}.有

(1)

(2)

(3)

其中，GA為A上自由隨機(jī)游動的格林函數(shù).

引理1 (Komlo's-Major-Tusna'dy定理)存在常數(shù)c<∞，在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上分別定義一個二維布朗運(yùn)動B和二維簡單隨機(jī)游動S且B0=S0.使得對所有的λ>0，對于每一個n∈N，

(4)

引理2 (強(qiáng)逼近)存在常數(shù)c<∞，在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上分別定義一個二維布朗運(yùn)動B和二維簡單隨機(jī)游動S且B0=S0，使得：

(5)

(7)

2 簡單隨機(jī)游動通道概率的估計

(8)

δ′(n)=minP*{SτA=y}，?M<∞，A?Ζ2，σM=σM，A=min{j≥0：dSj≤M}.

(9)

引理4[7]對于每個ε>0，存在δ>0使得如果A是Z2的有限連通集，V??A，x∈A，且H(x)≥ε，那么h(x)≥δ.

命題1 存在常數(shù)c1，c2，c3，ε，使得如果A∈Α，x∈A，且dA(x)≤c1

σ=min{j≥0：Sj?A，dA(Sj)≥(1+c1)dA(x)，或者|θA(Sj)-θA(x)|≥c2dA(x)}

(10)

則有Px{Sσ?A}≥ε，Px{Sσ∈A，dA(Sσ)≥(1+c1)dA(x)}≥ε以及

Px{|θA(Sσ)-θA(x)|≤c3dA(x)|Sσ∈A}=1

(11)

z∈Sx(12)

|fA(z)-fA(x)|≤c′|fA(z′)-fA(x)|

z，z′∈Sy(13)

Px{Sσ?A}≥ε，

Px{Sσ∈A，dA(Sσ)≥(1+c1)dA(x)}≥ε

(14)

同時，如果y，ω∈A，|y-ω|=1，dA(y)≤dA(x)，且|θA(y)-θA(x)|≤c2dA(x)，那么

|fA(ω)-fA(x)|≤|fA(ω)-fA(y)|+|fA(y)-fA(x)|≤c3dA(x)

(15)

即對于某個特定的c2，有|θA(ω)-θA(x)|≤c2dA(x)，由此命題1得證.

由命題1和推論1，即可得

引理5 對于A∈Αn，令η=min{j≥0：Sj∈A*，n∪AC}.存在常數(shù)c，α使得如果A∈Αn，x∈AA*，n，且r>0，有：

(16)

(17)

Px{ξ<η}≤c0n-5Px{Sη∈A*，n}.

(18)

y∈A*，n(19)

y∈AA*，n(20)

(21)

(22)

對于GA(y)有類似結(jié)果.因而，對于任意x∈AA*，n，有

GA(x)=Px{Sη∈A*，n}Ex[GA(Sη)|Sη∈A*，n]

(23)

(24)

(26)

(27)

(28)

(29)

因而，可知：

GA(x，y)=Px{Sη∈A*，n}

(30)

式(30)結(jié)合式(22)可推出式(19)，如果y∈?iA*，n，那么有：

(31)

(32)

(33)

證明：由a式(1)、式(2)、式(3)及引理6即可得定理1.