一個(gè)B 型叢代數(shù)的幾何實(shí)現(xiàn)

張杰，戚茜

（北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 102400）

叢代數(shù)是由FOMIN 等[1]提出的一類由叢變量生成的交換代數(shù).最初，研究叢代數(shù)是為了尋找一個(gè)研究李代數(shù)的全正性和典范基[2-3]的工具.叢代數(shù)在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域均有應(yīng)用，例如，李理論、箭圖表示、泊松幾何、組合學(xué)等其他理論[4-7].

FOMIN 等[1]證明，叢代數(shù)的任何叢變量都可以用洛朗多項(xiàng)式由初始叢變量x1,x2,···,xn表示，即

式中：f(x1,x2,···,xn)∈Z[x1,x2,···,xn]，并且di∈Z≥0.找到叢變量的叢擴(kuò)展公式已經(jīng)成為許多數(shù)學(xué)家關(guān)心的課題，例如，F(xiàn)OMIN 等提出的正性猜想[1]被LEE 等[8]通過給出相應(yīng)的叢變量的叢擴(kuò)展公式所證明；MUSIKER[9]利用圖GT,γ的完美匹配給出了叢變量的叢擴(kuò)展公式；一個(gè)叢變量的圖理論組合解釋[10]被MUSIKER 利用從而給出了有限維叢代數(shù)的叢擴(kuò)展公式，其中包括B型叢代數(shù).

注意到DUPONT[11]分析了簡(jiǎn)單帶狀叢代數(shù)和非簡(jiǎn)單帶狀叢代數(shù)之間的關(guān)系，從而可以推測(cè)出一些B型叢代數(shù)的性質(zhì).為了給出叢代數(shù) B的叢變量的叢擴(kuò)展公式，首先研究由一個(gè) (2n+2)- 多邊形P產(chǎn)生的叢代數(shù) A ，并考慮 A 的 叢變量和叢到 B的叢變量和叢的投影.

本文，考慮一個(gè) (2n+2)- 多邊形P和它的三角剖分Γ={τ1,τ2,···,τ2n-1}，如圖1.

圖1 P的 三角剖分ΓFig.1 Triangulation Γ ofP

主要結(jié)果如下：

首先，定義一個(gè)映射e(見第 2節(jié))，它給出了 Γ的對(duì)角線和 B的初始叢變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后通過給出P中任意一條對(duì)角線 γ的多項(xiàng)式Eγ的定義(定義5)，為非初始叢變量提供一個(gè)準(zhǔn)確的公式.

定理1(2n+2)- 多邊形P的每條對(duì)角線 γ均誘導(dǎo)一個(gè)B型 叢代數(shù) B的 叢變量Eγ.

接下來，通過考慮一個(gè)P的對(duì)角線的置換 σ (詳見第 2節(jié) )，給出 σ-不變?nèi)瞧史值亩x(定義6).易知，對(duì)于P的任何對(duì)角線 β，β 和 σ(β)在同一個(gè)軌道上.接下來，闡明由同一軌道的對(duì)角線所產(chǎn)生的叢變量之間的關(guān)系.

推論1σ-不變的三角剖分 Γ的同一個(gè)軌道的對(duì)角線誘導(dǎo)相同 B的叢變量.

通過給出軌道翻轉(zhuǎn)(Γ)的 定義(定義7)，呈現(xiàn)B的叢在k∈[1，n]方向上突變的幾何實(shí)現(xiàn).

推論2(Γ)是 一個(gè) σ-不變的三角剖分.

接下來，用交換圖來構(gòu)建 σ-不變的三角剖分 Γ的軌道翻轉(zhuǎn)和 B的叢的突變對(duì)應(yīng).

定 理2Γ 在 τk方 向 上 的 軌 道 翻 轉(zhuǎn)(Γ)對(duì) 應(yīng) B的叢在k方 向 上 的 突 變 μk().同 時(shí)，存 在 一 個(gè) 映 射e′:Γ′→，滿足 μke(Γ)=e′(Γ)，使下方交換圖成立，如圖2.

圖2 交換圖Fig.2 Commutative diagram

最后，介紹B型叢代數(shù)的叢和 σ-不變的三角剖分之間的關(guān)系.

推論4P的 σ -不變的三角剖分集合與 B 的叢的集合之間存在一個(gè)雙射.

本文的結(jié)果適用于任何 σ-不變的三角剖分，不僅僅局限于三角剖分 Γ.為方便討論，本文將三角剖分固定為 Γ.

1 B 型叢代數(shù)

首先，介紹由賦值箭圖定義的叢代數(shù)的相關(guān)概念.為了給出定義，先給定一些記號(hào)，令F :=Q(x1,x2,···,xn)為 有n個(gè) 變量的有理函數(shù)域，記 [1,n]為正整數(shù)集合 {1,2,···,n-1,n}.

為了給出叢代數(shù)的定義，首先介紹種子的概念.

定義2(種子)一個(gè)種子即為包含以下數(shù)據(jù)的一個(gè)二元對(duì) (x,Q)：

①Q(mào)是一個(gè)含有n個(gè)頂點(diǎn)的賦值箭圖；

②x=(x1,x2,···,xn)是 有理函數(shù)域 F的自由生成集，x與xi分別被稱作叢和叢變量.

一個(gè)新的種子可以由以下操作得到.vjk)∈N×N.

III)如果vikvk j=vij，則消去箭頭 (j,i)和它的賦值.

注意一個(gè)賦值箭圖經(jīng)過突變之后仍是一個(gè)賦值箭圖，并且 μ2k(Q)=Q.現(xiàn)在介紹由賦值箭圖定義的叢代數(shù).首先，對(duì)于賦值箭圖Q來說，取一個(gè)初始種子(x=(x1，x2,···,xn),Q).

定義4(賦值箭圖定義的叢代數(shù)) 由初始種子(x,Q)定 義的叢代數(shù) A(Q)=A(x,Q)是由初始叢變量經(jīng)過所有可能的突變得到的叢變量生成的 Z-子代數(shù).

本文，主要研究B型叢代數(shù) B=A(Q)，其中Q是一個(gè)賦值箭圖，它的底圖如圖3 所示.

圖3 賦值箭圖Q的底圖Fig.3 Underlying graph of valued quiverQ

2 一個(gè)B 型叢代數(shù)的幾何實(shí)現(xiàn)

圖4 P的三角剖分子圖Γ[i,j]Fig.4 Triangulated subgraph Γ[i,j] ofP

圖5 箭圖QΓFig.5 Quiver QΓ

圖6 賦值箭圖Fig.6 Valued quiver

因此，可以定義一個(gè)與三角剖分 Γ 有關(guān)的B型叢代 數(shù) B=B((x1,x2,···,xn)，.同 時(shí)，定 義 一 個(gè) 映 射e:Γ →

圖7 六邊形的一個(gè)三角剖分6Fig.7 Triangulation of the -polygon

圖8 箭圖Fig.8 Quiver

圖9 賦值箭圖Fig.9 Valued quiver

因此，定義一個(gè)與 Γ 有關(guān)的B型 叢代數(shù)B=B((x1,x2),).接下來，定義映射e：Γ →，滿足

任 取 一 個(gè) 穿 過 對(duì) 角 線 τ2和 τ3的 對(duì) 角 線 γ(圖10)，相應(yīng)的三角剖分子圖 Γ[2-3]如圖11 所示.

圖10 三角剖分Fig.10 Triangulation

圖11 三角剖分子圖 Γ[2-3]Fig.11 Triangulated subgraph Γ[2-3]

由定理3 可以得到 B的 叢變量xγ的叢擴(kuò)展公式

圖12 交換圖Fig.12 Commutative diagram

即交換圖13 成立，將這兩個(gè)交換圖組合在一起，則有交換圖14，其中，e=π?.

圖13 交換圖Fig.13 Commutative diagram

圖14 交換圖Fig.14 Commutative diagram

圖15 三角剖分(Γ)Fig.15 TriangulationΓ)

圖16 三角剖分2(Γ)Fig.16 TriangulationΓ)