子空間在線辨識算法原理及應(yīng)用技術(shù)研究

趙 昂

(中國空空導(dǎo)彈研究院,河南 洛陽 471000)

0 引言

關(guān)于船舶模型的辨識開始于20世紀(jì)末。FOSSEN等[1]提出采用平行離線EKF算法來辨識船舶模型中對應(yīng)的水動力參數(shù),但是算法較為復(fù)雜。WANG等[2]提出了LS-SVM算法對船舶中的水動力參數(shù)進(jìn)行辨識,該算法僅適用于離線辨識領(lǐng)域,并且要求的數(shù)據(jù)量較多。FUJIMORI等[3]提出在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)辨識領(lǐng)域中采用迭代學(xué)習(xí)控制來辨識某一連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型。BERGAMASCO等[4]將基于預(yù)測器的子空間連續(xù)時(shí)間辨識算法應(yīng)用到了四旋翼飛行器的參數(shù)辨識中,并取得了較好的辨識結(jié)果。

傳統(tǒng)的船舶模型需要辨識的動力參數(shù)較多且較為復(fù)雜,因此很多學(xué)者將研究的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了對船舶黑箱模型的辨識中。MOREIRA等[5]采用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型得到了船舶輸入和輸出之間的非線性關(guān)系。MENDES等[6]將T-S模糊模型作為船舶預(yù)測模型,并將其應(yīng)用于船舶廣義預(yù)測控制中。

在過去的20年間,子空間辨識算法得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。NOEL等[7]介紹了在頻域中采用子空間辨識算法得到系統(tǒng)模型。YAN等[8]提出采用遞推子空間辨識算法辨識得到AUV模型。XIA等[9]推導(dǎo)出了船舶Hammerstein模型,并且將子空間辨識算法應(yīng)用到了該模型的辨識中。

本文以動力定位船舶為研究對象,構(gòu)建了船舶Hammerstein黑箱模型,并提出以該模型為基礎(chǔ)的子空間辨識算法,接著提出采用Givens旋轉(zhuǎn)矩陣對算法中復(fù)雜QR分解進(jìn)行簡化,最終形成了適應(yīng)船舶黑箱模型辨識的在線子空間辨識算法。

1 船舶非線性Hammerstein辨識模型推導(dǎo)

1.1 船舶Hammerstein模型

根據(jù)經(jīng)典的船舶三自由度非線性模型[10],選取作用在船上的橫向、縱向作用力和轉(zhuǎn)艏力矩(τ)作為辨識輸入。最終的船舶模型結(jié)構(gòu)圖見圖1。圖中,υ1(k)、ω(k)和υ2(k)分別表示輸入、輸出測量誤差和過程噪聲。定義非線性反饋映射為ffd(·),于是船舶Hammestein模型便具有如下形式：

圖1 帶有非線性反饋的船舶Hammerstein模型

(1)

式中：x(k)∈R3為系統(tǒng)狀態(tài);p(k)∈R3為與推進(jìn)器有關(guān)的參數(shù);y(k)=[uvr]T∈R3為系統(tǒng)的測量輸出;A、Bin、Bf、C、Din、Df為具有適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。

測量的輸入、輸出數(shù)據(jù)可以表示為如下的結(jié)構(gòu)形式(假設(shè)模型中遇到白噪聲)：

1.2 船舶非線性Hammerstein模型的優(yōu)化

首先對Hammerstein模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)膮?shù)化。選取截?cái)嗟腇ourier級數(shù)對系統(tǒng)的非線性部分進(jìn)行逼近。定義基函數(shù)如下：

L1=(xmin)max,L2=(xmin)max

式中：j=1,2,…,p。

非線性函數(shù)fin(·)可以展開成如下的形式：

fin(p)=W·η(p)

Wi=[Wiu1Wiu2Wiu3]∈R1×3(2N+1)

Wiuj=[ωuj0ωuj1…ωujN]∈R1×(2N+1)

η(p)=[ηT(p1)ηT(p2)ηT(p3)]T∈R3(2N+1)×1

式中：N為基函數(shù)的長度。

同樣地,對非線性反饋函數(shù)ffd(y(k))可以展開成類似的形式,船舶模型轉(zhuǎn)換為

(2)

B=[BinWBfM)],D=[DinWDfM)]

ε(k)=[ηT(p(k))σT(y(k))]T代表了系統(tǒng)的輸入向量。

至此,得到帶有非線性反饋Hammerstein船舶模型。

2 基于船舶Hammerstein模型的在線子空間辨識算法

采用Givens旋轉(zhuǎn)矩陣來提高QR分解和奇異值分解的速度。算法推導(dǎo)前做出如下假設(shè)[11]：

(1)系統(tǒng)滿足持續(xù)激勵條件。

(2)噪聲項(xiàng)d(k)、w1(k)、w2(k)不相關(guān)。

2.1 子空間MOESP辨識算法

MOESP辨識算法的思想在于首先得到系統(tǒng)的廣義能觀矩陣,根據(jù)該矩陣得到對應(yīng)的系統(tǒng)矩陣。

首先忽略噪聲項(xiàng)d(k)、w1(k)和w2(k),得到如下的輸出數(shù)據(jù)方程：

Yp=ΓiXp+HiEp

(3)

式中：帶有下角標(biāo)p的矩陣為包含系統(tǒng)已知數(shù)據(jù)的Hankel矩陣; 矩陣Yp、Ep為輸入輸出Hankel矩陣;Xp為狀態(tài)矩陣;Hi為下三角Toepliloz矩陣。

經(jīng)典MOESP辨識算法的核心即通過輔助數(shù)據(jù)方程分解得到廣義能觀矩陣Γi的一致估計(jì)：

(4)

將式(4)和式(3)結(jié)合在一起可以得到：

這表明Γi的列空間在矩陣R22的列空間中。因此,通過對R22進(jìn)行SVD分解就可得到Γi[12]：

(5)

于是可以得到廣義能觀矩陣Γi=R22。根據(jù)子空間辨識算法的定義,可以求出系統(tǒng)矩陣的相似變換矩陣(ATBTCTD)形式[11]。

2.2 變量含誤差的子空間MOESP辨識算法

考慮系統(tǒng)受到d(k)、w1(k)、w2(k)誤差的影響,于是式(3)將變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(6)

式中：W2f、Ωf分別包含了w2(k)、d(k);矩陣P為下三角矩陣。

(7)

從矩陣R22的SVD分解中得到廣義能觀矩陣Γi的一致估計(jì),于是系統(tǒng)矩陣就可以通過上節(jié)中介紹的方法進(jìn)行求解。

2.3 基于Givens旋轉(zhuǎn)矩陣的QR分解優(yōu)化策略

R(t+1)·QT(t+1)

(8)

接著,根據(jù)Givens旋轉(zhuǎn)矩陣的特點(diǎn),可以得到如下一系列Givens變換律：

R(t+1)QT(t+1)=R(t)G1G2…Gm·

Gi為Givens矩陣,且均為正交矩陣。于是括號中的矩陣乘積結(jié)果即形成了新的正交矩陣QT(t+1),最終可以得到：

R(t+1)=R(t)G1G2…Gm

即可以通過這樣一系列的Givens變換進(jìn)行更新。由于Givens矩陣的特殊結(jié)構(gòu),可以對該過程進(jìn)行進(jìn)一步的簡化。假設(shè)當(dāng)有新數(shù)據(jù)到來時(shí),原矩陣R(t)具有如下的形式：

R(t)=[RΦnew data]=

最右邊一列的數(shù)據(jù)為新測量得到的數(shù)據(jù)。首先,為了將Φ1置為0,定義：

于是,對應(yīng)元素(即第一列中的ri,1和最后一列中的元素Φi)可以通過如下的方式進(jìn)行更新：

可以得到第一次遞推之后的R(t)矩陣如下：

通過使用這種方法,可以直接處理原R矩陣中的對應(yīng)列,降低了計(jì)算復(fù)雜度,提高了計(jì)算效率。

3 仿真驗(yàn)證

典型的動力定位系統(tǒng)方框圖見圖2。圖中的虛線框部分為船舶模型辨識模塊,并采用本文的算法對參數(shù)矩陣進(jìn)行不斷地在線調(diào)整。

圖2 典型的動力定位系統(tǒng)框圖

為了驗(yàn)證子空間辨識算法的有效性,對已經(jīng)建模并修正過的實(shí)船數(shù)學(xué)模型進(jìn)行20°Z形操舵實(shí)驗(yàn),并將得到的輸入輸出數(shù)據(jù)用于子空間模型辨識算法[14]和經(jīng)典船舶模型辨識算法中。對比仿真結(jié)果見圖3～圖4,可以看出子空間辨識算法的有效性。

圖3 船舶速度辨識結(jié)果對比

圖4 船舶速度辨識結(jié)果對比

假設(shè)系統(tǒng)的輸入輸出均受到白噪聲的影響。算法中Fourier級數(shù)的項(xiàng)數(shù)取p=6。仿真中船舶初始位置為(0 m,0 m)～(+10 m,+8 m),分別為初始位置的正北和正東向。在定位到300 s的時(shí)刻,移動至(+5 m,+3 m),仿真結(jié)果見圖5～圖8。

圖5 位置和艏向跟蹤情況

圖5、圖6表示船舶位置和艏向的跟蹤情況和偏差,可以看出,基于船舶模型的預(yù)測控制算法能夠滿足動力定位系統(tǒng)的控制要求(位置偏差1 m以內(nèi),艏向誤差1°以內(nèi))。從圖7中可以看出,作用在船上的力和力矩均較為平滑。圖8中數(shù)學(xué)模型的速度項(xiàng)輸出(實(shí)線)和船舶仿真輸出(虛線)結(jié)果基本重合,驗(yàn)證了辨識得到的船舶數(shù)學(xué)模型的正確性及本文在線子空間辨識算法的有效性?？梢缘贸鼋Y(jié)論：基于子空間MOESP算法的辨識方法能夠較為準(zhǔn)確地辨識出船舶Hammerstein模型,實(shí)現(xiàn)了對船舶模型參數(shù)的實(shí)時(shí)調(diào)整,克服了傳統(tǒng)船舶模型辨識算法只能對模型進(jìn)行離線辨識的缺點(diǎn),使得控制器的輸入更為平滑。本文算法可以為緊急情況下的船位推算策略提供較為準(zhǔn)確的模型依據(jù),因此具有十分廣闊的應(yīng)用前景和工程意義。

圖6 跟蹤誤差

圖7 船舶受到的縱向、橫向、回轉(zhuǎn)作用力和力矩

圖8 辨識模型的速度項(xiàng)輸出和仿真結(jié)果對比

4 結(jié)論

本論文推導(dǎo)了動力定位船舶非線性模型的Hammerstein結(jié)構(gòu)形式,接著提出了基于MOESP算法的遞推子空間辨識方法,使用簡化的Givens旋轉(zhuǎn)策略對子空間辨識中涉及到的復(fù)雜QR分解計(jì)算進(jìn)行處理,降低了計(jì)算復(fù)雜度,實(shí)現(xiàn)了辨識算法的在線計(jì)算。最終將本文提出的子空間在線辨識算法應(yīng)用到了船舶動力定位系統(tǒng)中,驗(yàn)證了基于子空間MOESP的在線辨識算法的有效性和適用性,為動力定位系統(tǒng)模型辨識提供了新思路。