基于矩陣重構(gòu)的非等功率相干信號DOA估計

董宛茹 馬秀榮 單云龍

(天津理工大學電氣電子工程學院 天津 300384) (光電器件與通信技術(shù)教育部工程研究中心 天津 300384)

0 引 言

波達方向估計作為陣列信號處理中的主要研究內(nèi)容,一直以來受到學者們的關(guān)注,在電子對抗、導航和移動通信等領(lǐng)域有著廣泛的應用[1-3]。在眾多國內(nèi)外學者的研究探索下,不同的DOA估計算法相繼被提出。其中常用的多重信號分類(Multiple signal classification,MUSIC)算法[4]由Schmidt首次提出,算法利用信號子空間與噪聲子空間的正交性實現(xiàn)DOA估計,之后在MUSIC算法的基礎(chǔ)上相繼提出改進MUSIC[5-6]算法。此類算法由于在相干信號存在時協(xié)方差矩陣會產(chǎn)生秩虧,故無法估計相干信號的波達方向。同時,當信號源功率差異越大時,MUSIC類算法的分辨性能越差[7-8],甚至會導致小功率的信號波達方向估計失敗。而在復雜的電磁環(huán)境下如電子對抗中,存在大量的相干信號,且信號間功率各不相等。因此,研究有效的非等功率相干信號處理算法是當前陣列信號處理中的一個重要研究內(nèi)容。

為了實現(xiàn)對非等功率相干信號的波達方向估計,首先要解決相干信號的估計問題,對算法進行改進或?qū)﹃嚵兴邮盏臄?shù)據(jù)進行處理,從而消除秩虧問題,得出信號正確的波達方向角。常用前后向空間平滑(Forward and Backward Spatial Smoothing,FBSS)算法[9]對相干信號進行DOA估計,通過減少均勻線陣的有效孔徑,解決了相干源導致的協(xié)方差矩陣秩虧。隨后,許多學者對其進行改進[10-11],但當信號功率相差較大時,空間平滑類算法對弱信號的估計會發(fā)生較大偏差甚至無法估計。

為了提高弱信號的估計性能,文獻[12]提出了干擾阻塞(Jamming Jam Method,JJM)算法,但需要已知強信號的個數(shù)與波達方向。該算法利用已知的先驗信息,構(gòu)造含有強信號波達方向的阻塞矩陣,從而實現(xiàn)對陣列流型矩陣進行降秩,抑制強信號對弱信號的影響。然后再利用MUSIC空間譜估計算法對弱信號進行DOA估計。后來,文獻[13-14]對JJM進行改進,進一步優(yōu)化JJM估計性能。但對于JJM而言當強弱信號相鄰較近時,算法在抑制強信號的同時也抑制了弱信號,導致角度相鄰較近時波達方向估計精度不高。針對強弱信號共存的非等功率信號,文獻[15]提出了一種基于噪聲子空間的新算法,利用不變噪聲子空間特性可以同時估計出角度相鄰較近的強弱信號的波達方向。文獻[16-17]對其進行改進,提高波達方向估計精度、降低算法復雜度,但此類算法只能估計不相干信號。為了實現(xiàn)對非等功率相干信號波達方向估計,文獻[18]提出了不變噪聲子空間平滑(Invariant Property of Noise Subspace Smoothness,IPNSS)算法,利用前后向空間平滑與不變噪聲子空間的特性解決了非等功率相干信號的DOA估計。

為了進一步提高DOA估計性能,本文提出一種基于Toeplitz矩陣[19-21]重構(gòu)的不變噪聲子空間算法,充分利用了陣列所接收的數(shù)據(jù)及其復共軛信息,增加了可估計相干信號數(shù)目,同時提高了對相干信源的DOA估計性能。對于等功率和非等功率且相隔較近的相干信號都具有更高的成功率,更強的分辨率。仿真實驗驗證了本文算法的有效性。

1 陣列模型及信號模型

1.1 陣列模型

若均勻線陣(Uniform Iinear Array,ULA)由M個陣元組成,其陣元間隔為d,則陣列模型如圖1所示。

可以看出,若D個遠場窄帶信號入射到均勻線陣中,入射方向角為θ,則相鄰陣元接收到的信號間存在時延Δd,其值為Δd=dsinθ。可以得到陣列的接收信號矢量為:

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

1.2 非等功率相干信號

在實際通信環(huán)境中,多個同頻信號si(t)(i=1,2,…,D)到達天線陣列,認為接收到的信號是彼此相干的。通信過程中由于距離不同或多徑及干擾的影響會導致信號功率不相等現(xiàn)象。

對于兩信號si(t)和sj(t),相關(guān)系數(shù)[21-22]定義為:

(2)

根據(jù)ρij的取值,可定義信號之間的相關(guān)性如下:

(3)

進而通過上述定義可知,相干信號源之間只差一個復常數(shù)。相干信號之間存在如下關(guān)系:

si(t)=αis1(t)i=1,2,…,D

(4)

式中:αi為復常數(shù),表示第i個信號相對于s1(t)的衰落系數(shù);s1(t)為生成信源。

一般而言,常通過判別入射信號的信噪比是否相同來判定信號是否為等功率信號。入射信號信噪比定義為:

(5)

2 基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的不變噪聲子空間算法

本節(jié)首先對各個陣元的接收數(shù)據(jù)與參考陣元(左起第一個陣元)的接收數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)進行排列,形成滿秩的Toeplitz矩陣,然后對其進行奇異值分解得到噪聲子空間及噪聲特征值。再引入虛擬信源對Toeplitz矩陣進行優(yōu)化,對優(yōu)化后的矩陣進行分解得到新的噪聲子空間及新的噪聲特征值。利用虛擬信源引入前后,噪聲子空間不發(fā)生改變這一特性從而實現(xiàn)相干信號的DOA估計。

信號模型:

假設(shè)共有D個窄帶相干信源:s1(t),s2(t),…,sD(t),第i個信號的到達角為θi,則第k個陣元上的接收信號為:

A(k)[s1(t),s2(t),…,sD(t)]T+nk(t)

(6)

式中:si(t)為第i個信號源;nk(t)為第k個陣元上的噪聲;A為陣列天線的陣列流型矩陣,其中A(k)(k=1,2,…,M)表示A的第k行的所有元素。由式(6)可知第一個陣元的接收數(shù)據(jù)矢量為:

(7)

定義如下的相關(guān)函數(shù):

A(1)RsAH(k)+σ2I

(8)

式中:Rs為信號源協(xié)方差矩陣;r(k)當k由1變到M時,得到的相關(guān)矢量為[r(1),r(2),…,r(M)]T,且滿足:

[r(1),r(2),…,r(M)]T=

A(1)Rs[AH(1),AH(2),…,AH(M)]

(9)

可以看出,相關(guān)矢量中包含了所有信號源的信息,利用此M個相關(guān)函數(shù)構(gòu)造協(xié)方差矩陣:

(10)

可以看出RT是M×M階的Hermitian Toeplitz矩陣。

對重構(gòu)后的等效信號協(xié)方差矩陣RT進行特征值分解:

(11)

式中:ΣS為信號特征值矩陣;ΣN為噪聲特征值矩陣。

將得到的M個特征值λ={λ1,λ2,…,λM}正序排列:

λ1≥λ2≥…≥λD≥λD+1≥…≥λM

(12)

特征值λ1至λD對應的特征向量看成信號子空間US,特征值為λD+1至λM對應的特征向量看成噪聲子空間UN。若所入射信號之間的功率不等時,則信號特征值λ1至λD的差值明顯,且功率相差越大,信號特征值相差越大。

此時引入一個虛擬信源來優(yōu)化協(xié)方差矩陣,構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣為:

(13)

(14)

(15)

根據(jù)以上分析可總結(jié)算法實現(xiàn)步驟如下:

(1) 將各個陣元的接收數(shù)據(jù)與參考陣元接收數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)進行排列得到M個相關(guān)函數(shù)。

(2) 對M個相關(guān)函數(shù)進行Toeplitz矩陣重構(gòu),得到協(xié)方差矩陣RT。

(3) 對RT進行奇異值分解得到噪聲子空間對應的特征值λD+1,λD+2,…,λM。

(6) 利用式(15)進行譜峰估計獲得DOA估計值。

3 仿真結(jié)果與比較

為了驗證本文算法DOA估計的有效性,采用陣列模型為均勻線陣,陣元數(shù)目為M=16,陣元間距為d=λ/2,噪聲為加性高斯白噪聲,入射信號均為遠場窄帶信號,且信源數(shù)目已知。

仿真實驗1驗證本文算法可以實現(xiàn)對更多相干信號的DOA估計。

該實驗采用采樣快拍數(shù)為1 024,SNR為30 dB。10個相干信號入射到陣列天線中,仿真結(jié)果如圖2(a)所示;15個相干信號入射到陣列天線中,仿真結(jié)果如圖2(b)所示。

(a) 10個相干信號

(b) 15個信號相干信號圖2 相干信號DOA估計仿真曲線

由圖2(a)可知,當相干信號數(shù)目為10,小于2M/3時,此時空間平滑類算法及本文算法均能準確地估計出相干信源的波達方向。

圖2(b)仿真結(jié)果表明,當相干信號數(shù)目為15,大于2M/3時,空間平滑類算法失效而本文算法仍可準確地估計出所有信源的波達方向。由于本文算法無陣列孔徑損失,最多可估計M-1個相干信號,提高了相干信號可估計信源數(shù)目。

仿真實驗2本文算法對等功率相干信號估計性能驗證。

(1) 仿真采用2個等功率相干信號,入射角度分別為0°、2°。采樣快拍數(shù)為1 024,信噪比從-10 dB增加到30 dB,每隔2 dB統(tǒng)計一次。進行100次獨立實驗,誤差1°以內(nèi)則認為成功估計。該條件下三種算法的成功率對比如圖3所示。

圖3 等功率相干信號成功概率與信噪比的關(guān)系

可以看出,對于等功率相干信號入射角度相差2°時,在低信噪比下成功率遠高于前后向空間平滑算法與不變噪聲子空間平滑算法。當信噪比達到0 dB時,本文算法成功率達到90%左右;信噪比達到4 dB時,本文算法成功率達到100%。

(2) 仿真采用3個等功率相干信號,入射角度分別為-60°、30°、45°。信噪比為0 dB,采樣快拍數(shù)從128增加到2 560,采樣快拍每隔128統(tǒng)計一次,進行100次獨立實驗(以下空間平滑類算法子陣數(shù)均為8)。該條件下三種算法的均方根誤差(RMSE)對比如圖4所示。

圖4 等功率相干信號采樣快拍數(shù)與RMSE的關(guān)系

可以看出,對于等功率相干信號角度相差較大時,本文算法均方根誤差仍低于前后向空間平滑算法和不變噪聲子空間算法。而且隨著采樣快拍數(shù)的增大,均方根誤差越小。

仿真實驗3本文算法對非等功率相干信號相鄰角度分辨力及估計性能驗證

(1) 仿真采用2個相干信號功率相差40 dB,強信號功率為30 dB,弱信號功率為-10 dB,入射角度分別為0°和2°。采樣快拍數(shù)為1 024。該條件下本文算法的DOA估計仿真曲線如圖5所示。

圖5 非等功率相干信號DOA估計仿真曲線

可以看出,在相干信號功率相差40 dB,相鄰角度相差2°時,本文算法能夠成功地估計出強信號和弱信號的波達方向。

(2) 角度分辨力成功概率圖。仿真采用2個相干信號功率相差40 dB,入射角度間隔從2°增加到15°,每隔1°統(tǒng)計一次。采樣快拍數(shù)為1 024。進行100次獨立實驗,誤差1°以內(nèi)則認為成功估計。該條件下三種算法的成功率對比如圖6所示。

圖6 非等功率相干信號成功概率與角度間隔的關(guān)系

可以看出,在相干信號功率相差40 dB時,本文算法在角度相差2°時即可100%估計出波達方向,遠優(yōu)于前后向空間平滑算法及不變噪聲子空間平滑算法。說明本文算法具有更強的分辨力。

(3) 仿真采用2個相干信號功率相差40 dB,入射角度分別為0°、10°。采樣快拍數(shù)從128增加到2 560,采樣快拍每隔128統(tǒng)計一次。進行100次獨立實驗,該條件下三種算法的RMSE對比如圖7所示。

圖7 非等功率相干信號采樣快拍數(shù)與RMSE的關(guān)系

可以看出,在相干信號功率相差40 dB、角度相差10°時,相同條件下本文算法均方根誤差明顯低于其余三種算法。說明本文算法具有較高的DOA估計性能。

4 結(jié) 語

針對非等功率相干信號的波達方向估計,本文提出一種基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的不變噪聲子空間算法,與空間平滑類算法相比,本文算法無陣列孔徑損失,可估計相干信源數(shù)目增加至M-1個。對于等功率相干信號,與其他算法相比,本文算法減小了均方根誤差,在低信噪比下增加了DOA估計的成功率。對于非等功率相干信號,本文算法可成功地估計出信號功率相差40 dB、相鄰角度間隔為2°的波達方向。在非等功率相干信號功率相差40 dB、相鄰角度間隔為10°時本文算法的均方根誤差明顯低于其他算法,具有更高的波達方向估計性能。